2.2 平方根与立方根 导学案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2.2 平方根与立方根 导学案 · 2026—2027学年 北师大版数学八年级上册 第二章 实数 · 4 课时 · 教材 P29—P37 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、学习目标与重难点 【学习目标】 • 了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，会求一个数的算术平方根。 • 知道算术平方根的双重非负性，会用 = a（a ≥ 0）与 = |a| 进行计算。 • 了解平方根的概念，知道正数有两个平方根且互为相反数、0 的平方根是 0、负数没有平方根。 • 了解立方根的概念，知道正数的立方根是正数、0 的立方根是 0、负数的立方根是负数，任何一个数都有唯一一个立方根。 • 会用两边夹的办法估计一个算术平方根的大致范围，会用计算器求平方根与立方根。 【重点】算术平方根、平方根、立方根的概念与求法；平方根与立方根的性质。 【难点】算术平方根与平方根的区别和联系；正确理解平方根的意义。 【我的预习安排】 教材页码 预习内容 我要做到 完成 P29—P32 算术平方根 会写出一个正数的算术平方根 ○ P32—P33 平方根 能说出一个正数有几个平方根 ○ P34—P35 立方根 会判断立方根的正负 ○ P36—P37 估算与用计算器开方 会估计一个算术平方根的范围 ○ P37 《习题2.2》 把四栏题目看一遍 ○ 二、课前自主学习 上一节我们发现，面积为 2 的正方形，边长 a 满足 = 2，这个 a 不是有理数。那么这样的边长到底怎么表示？这一节就来解决"已知一个数的平方（或立方），怎样把这个数找出来"的问题。 1. 因为 = 9，所以 3 是 9 的 ____。（算术平方根） 我写： 2. 因为 = 16， = 16，所以平方等于 16 的数有 ____ 个，它们是 ____。（两；4 和 -4） 我写： 3. 因为 = 8，所以 ____ 是 8 的立方根；因为 = -27，所以 ____ 是 -27 的立方根。（2；-3） 我写： 4. 计算： = ____， = ____， = ____， = ____。（1；4；9；16） 我写： ◆ 课前速记 • 求一个正数的算术平方根，就是找"平方等于这个正数的那个正数"。 • 平方与开平方互为逆运算；立方与开立方互为逆运算。 • 要估计一个算术平方根的大小，就用"两边的整数平方"把它夹住。 温馨提示：算术平方根与平方根是两个不同的名字。求算术平方根，答案只有一个；求平方根，正数会得到两个答案。下面的学习要特别注意这一点。 三、课中合作探究 ◆ 环节一 算术平方根 课本 P29 从"已知正方形的面积、求它的边长"开始：面积是 9 的正方形，边长是 3；面积是 16 的正方形，边长是 4。如图1。（课本 P29） 图1 从正方形的面积求边长 ( S=9 a=3 S=16 a=4 ) 面积是 9 的正方形，边长是 3 图1 已知正方形的面积，求它的边长 已知面积求边长，就是找"平方等于这个面积的正数"。课本 P30 给出下面的概念。 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 = a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。a 的算术平方根记作 ，读作"根号 a"，a 叫做被开方数。规定 0 的算术平方根是 0，即 = 0。 例如，因为 = 25，所以 25 的算术平方根是 5，记作 = 5；因为 = 1.96，所以 1.96 的算术平方根是 1.4，记作 = 1.4。 算术平方根有两处"非负"：一是被开方数 a 必须大于或等于 0 才有意义；二是算术平方根本身也是一个非负数，即 ≥ 0。这两条合起来，叫做算术平方根的双重非负性。 由算术平方根的意义，可以得到两条常用的式子： = a（a ≥ 0）；当 a ≥ 0 时， = a。 求一个非负数的算术平方根与平方运算是互逆的运算，如图2。 图2 算术平方根与平方互为逆运算 ( 3 9 平方 开平方 ) 从左往右是平方，从右往左是开平方 图2 求算术平方根与平方互为逆运算 由图 2 可以看出： = 9，反过来 9 的算术平方根就是 3，即 = 3。利用这种互逆关系，就能求一个非负数的算术平方根。 例（课本 P31 例 1） 求下列各数的算术平方根：900，1，，14。 解：（1）因为 = 900，所以 900 的算术平方根是 30，即 = 30； （2）因为 = 1，所以 1 的算术平方根是 1，即 = 1； （3）因为 = ，所以 的算术平方根是 ，即 = ； （4）14 的算术平方根是 ，它不是有理数，只能用根号表示。 例（课本 P32 例 2） 由静止自由下落的物体，下落的距离 s（单位：m）与下落的时间 t（单位：s）之间的关系是 s = 4.9。有一个铁球从 19.6 m 高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：把 s = 19.6 代入 s = 4.9，得 4.9 = 19.6，所以 = 4，t = = 2。因此铁球到达地面需要 2 s。 练习：求下列各数的算术平方根：16，0.25，，3。（16 → 4；0.25 → 0.5； → ；3 → ） 我写： 温馨提示：求算术平方根，答案只有一个，而且一定不是负数。 等于 4，不写成 ±4；被开方数是负数时，在学过实数范围里也仍然没有意义。 ◆ 环节二 平方根 把问题反过来问一遍："一个数的平方等于 9，这个数是多少？"因为 = 9， = 9，所以 3 和 -3 的平方都等于 9。也就是说，平方等于 9 的数有两个。 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）。 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数。开平方与平方互为逆运算。 平方根的性质有三条：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。如图3。 图3 一个正数的两个平方根 ( 0 3 -3 互为相反数 ) 两个平方根到原点的距离相等 图3 正数的两个平方根互为相反数 正数 a 的两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另一个是 -，它们互为相反数，合起来记作 ±，读作"正、负根号 a"。所以算术平方根只是正数两个平方根中"正的那一个"。 例（课本 P33 例 3） 求下列各数的平方根：64，0.0004，，11。 解：（1）因为 = 64，所以 64 的平方根是 ±8，即 ± = ±8； （2）因为 = 0.0004，所以 0.0004 的平方根是 ±0.02； （3）因为 = 625，且 = 625，所以 的平方根是 ±25； （4）11 的平方根是 ±。 例（课本 P33 例 4） 求下列各式的值：，-，。 解： = 15；- = -； = = 8。 练习：求下列各数的平方根：49，，0.0081，8。（±7；±；±0.09；±） 我写： 温馨提示：说"4 的平方根是 2"是不完整的，正确答案是 ±2；但说"4 的算术平方根是 2"就是对的。一个正数有两个平方根，一个算术平方根，别把两者混为一谈。 ◆ 环节三 立方根 课本 P34 用一个储气罐的问题引路：某化工厂有一个半径为 1 m 的球形储气罐，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的 8 倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？（课本 P34） 设新储气罐的半径是 r m。由球的体积公式，体积之比等于半径之比的立方，所以 = 8。因为 = 8，所以 r = 2，新半径是原来半径的 2 倍。如果体积是原来的 4 倍，就会得到 = 4，这个 r 又该怎么表示呢？ 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）。a 的立方根记作 ，读作"三次根号 a"，a 叫做被开方数，3 叫做根指数。 要注意：平方根的根号前面不写 2，而立方根的根指数 3 一定要写出来，不能省略。求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 因为 = 1， = -1， = 0， = 8， = -8，可以看到：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。而且任何一个数都有唯一一个立方根。如图4、图5。 图4 从正方体的体积求棱长 ( V=8 a=2 棱长是 2 ) 体积是 8 的正方体，棱长是 2 图4 已知正方体的体积，求它的棱长 图5 平方根与立方根的性质对照 ( 平方根 立方根 被开方数 正数 两个 一个正数 零 0 0 负数 没有 一个负数 ) 被开方数不同，平方根的个数也不同 图5 平方根与立方根的性质对照 把平方根与立方根放在一起比一比：求平方根时，被开方数必须是非负数，正数有两个平方根；求立方根时，被开方数可以是任何数，且任何一个数都只有一个立方根。这就是两者的最大不同。 例（课本 P34） 求下列各数的立方根：64，-，-27，0.008。 解：（1）因为 = 64，所以 64 的立方根是 4，即 = 4； （2）因为 = -，所以 - 的立方根是 -，即 = -； （3）因为 = -27，所以 -27 的立方根是 -3，即 = -3； （4）因为 = 0.008，所以 0.008 的立方根是 0.2，即 = 0.2。 练习：求下列各数的立方根：8，-64，，0。（2；-4；；0） 我写： 温馨提示：立方根与平方根的正负规律正好不同。负数没有平方根，却有立方根，而且立方根还是负数。看见"负数 + 根号"，先分清是平方根还是立方根。 ◆ 环节四 估算与用计算器开方 有些数开平方、开立方以后不是有理数，例如 、、。遇到这种情况，我们常常先估计它的大致范围。 课本 P36 的想一想：某公园有一块长方形荒地，长是宽的 2 倍，面积是 400 000 。公园的宽大约是多少米？它有 1 000 m 吗？（课本 P36） 设宽是 x m，则长是 2x m，由面积关系得 2 = 400 000，即 = 200 000。先试着用 1 000 去比：如果宽是 1 000 m，长就是 2 000 m，面积是 2 000 000 ，比 400 000 大得多，所以宽没有 1 000 m。 要想知道 x 更准确的范围，可以用两边夹的办法估计 。下面以估计 为例。因为 = 9， = 16，而 9 < 10 < 16，所以 3 < < 4。如图6。 图6 估计 10 的算术平方根 ( 3 4 9 16 10 ) 用两边夹的办法把范围一步步缩小 图6 因为 9 < 10 < 16，所以 10 的算术平方根在 3 和 4 之间 再把 3 和 4 之间每 0.1 分一段：算一算 = 9.61， = 10.24。因为 9.61 < 10 < 10.24，所以 3.1 < < 3.2。继续这样分下去， 的范围就越来越小，它的值也越来越清楚。 把刚才的估计整理成下表： 算到哪一步 比较的两个平方 \r{10} 的范围 第一步 = 9 < 10 < 16 = 3 < < 4 第二步 = 9.61 < 10 < 10.24 = 3.1 < < 3.2 第三步 = 9.9856 < 10 < 10.0489 = 3.16 < < 3.17 学会两边夹以后，比较两个数的大小也就有了办法。例如要比较 与 3.2 的大小，只要比它们的平方：因为 = 10， = 10.24，而 10 < 10.24，所以 < 3.2。 对于算起来比较麻烦的开方，可以借助计算器：求平方根时先按根号键，再输入被开方数，最后按等号；求立方根时先按 shift 键，再按根号键，然后输入被开方数。例如用计算器可以算出 ≈ 1.414 214， ≈ 14.142 136。 用计算器还能发现一条规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位。对照上面 与 的结果，就能看出这条规律。 练习：估计 在哪两个整数之间。（因为 = 16 < 17 < 25 = ，所以 4 < < 5） 我写： 温馨提示：估计一个算术平方根的范围，靠的是"算平方、比大小"，不是随便猜。每一步都要写出两个端点值的平方，才能说明它真的夹在中间。 四、当堂达标检测 ◆ A 组（基础） • 9 的算术平方根是（ ）A. 3 B. -3 C. ±3 D. 81 • 求下列各数的算术平方根：25，0.16，。（5；0.4；） • 16 的平方根是（ ）A. 4 B. -4 C. ±4 D. 256 我写： ◆ B 组（提高） • 下列说法中，正确的是（ ）A. 一个正数有两个平方根 B. 负数有一个平方根 C. 0 没有平方根 D. 一个数的立方根有两个 • -27 的立方根是 ____，0 的立方根是 ____。（-3；0） • 若 = 3，则 a = ____；若 = -2，则 b = ____。（9；-8） 我写： ◆ C 组（拓展） • 一个数的平方根是 ±5，这个数是 ____。（25） • 估计 在哪两个整数之间：____ 和 ____。（5；6） 我写： 五、课堂归纳总结 ◆ 知识梳理 • 如果一个正数 x 的平方等于 a，即 = a，那么 x 叫做 a 的算术平方根，记作 ，a 叫做被开方数；0 的算术平方根是 0。 • 算术平方根具有双重非负性：被开方数 a ≥ 0，算术平方根 ≥ 0；并且 = a（a ≥ 0）， = |a|。 • 如果一个数 x 的平方等于 a，即 = a，那么 x 叫做 a 的平方根。正数有两个平方根且互为相反数，记作 ±；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 • 如果一个数 x 的立方等于 a，即 = a，那么 x 叫做 a 的立方根，记作 。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0，任何一个数都有唯一一个立方根。 • 求平方根与平方互为逆运算，求立方根与立方互为逆运算；被开方数的正负决定了平方根是否存在。 • 估计一个算术平方根的大小，用"算平方、比大小"把它夹在两个已知数的平方之间；也可以借助计算器求平方根和立方根。 ◆ 易错清单 • 误：4 的平方根是 2。正：4 的平方根是 ±2，2 只是 4 的算术平方根。 • 误：负数没有平方根，所以也没有立方根。正：负数没有平方根，但有立方根，而且立方根是负数。 • 误： = ±4。正： 表示 16 的算术平方根，等于 4。 • 误：一个数的平方根与算术平方根是同一个数。正：正数的平方根有两个，算术平方根只有一个，是其中正的那一个。 • 误：立方根的根指数可以不写。正：立方根的根指数 3 不能省略。 ◆ 思想方法 • 互逆：平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，可以用一个运算帮另一个运算找答案。 • 逼近：用两边的整数平方把算术平方根夹住，再一步步把范围缩小。 • 分类讨论：被开方数是正数、0 还是负数，结论完全不同，要分开说。 六、课后巩固训练 ◆ A 组（基础巩固） • 求下列各数的算术平方根：36，0.01，。（6；0.1；） • 4 的平方根是（ ）A. 2 B. ±2 C. -2 D. 16 • -8 的立方根是（ ）A. 2 B. -2 C. ±2 D. 不存在 我写： ◆ B 组（能力提升） • 下列说法中，正确的是（ ）A. 负数没有平方根，但有立方根 B. 一个正数有两个算术平方根 C. 0 没有平方根 D. 带根号的数都是无理数 • 若 = 4，则 x = ____；若 = -2，则 y = ____。（16；-8） • 估计 在哪两个整数之间：____ 和 ____。（6；7） 我写： ◆ C 组（综合拓展） • 一个正方体的体积是 343 ，它的棱长是 ____ cm。（7） • 比较大小： ____ 3.2（填 ">"、"<" 或 "="）。（<） • 一个正方形的面积是 20 ，它的边长夹在整数 ____ 和 ____ 之间。（4；5） 我写： ◆ 《习题2.2》（知识技能 · 数学理解 · 问题解决 · 联系拓广） • 知识技能 · 求算术平方根（课本 P37《习题2.2》知识技能栏）：求下列各数的算术平方根：100，，0.000 1，13。 • 知识技能 · 求平方根（课本 P37《习题2.2》知识技能栏）：求下列各数的平方根：16，0.008 1，，。 • 知识技能 · 求立方根（课本 P37《习题2.2》知识技能栏）：求下列各数的立方根：-1，0.125，，-216。 • 数学理解 · 下列说法是否正确？请说明理由。（课本 P37《习题2.2》数学理解栏）（1）4 的平方根是 2；（2）负数没有平方根；（3）一个数的立方根与这个数同号。 • 问题解决 · 一个正方体木块的体积是 216 ，它的棱长是多少？（课本 P37《习题2.2》问题解决栏） • 问题解决 · 估计 在哪两个整数之间，并与 4.5 比较大小。（课本 P37《习题2.2》问题解决栏） • 联系拓广 · 把一块面积为 400 的正方形铁片剪成四块大小相同的小正方形，每块的边长是多少厘米？（课本 P37《习题2.2》联系拓广栏） ◆ 中考真题小练 • (2026年·浙江杭州) 9 的算术平方根是（ ）A. 3 B. -3 C. ±3 D. 81 • (2026年·江苏南京) 4 的平方根是（ ）A. 2 B. -2 C. ±2 D. 16 • (2026年·福建厦门) 下列各数中，立方根等于它本身的数是（ ）A. 1 和 -1 B. 0 和 1 C. -1 和 0 D. 1、0 和 -1 • (2026年·辽宁沈阳) 估计 在哪两个整数之间（ ）A. 2 和 3 B. 3 和 4 C. 4 和 5 D. 5 和 6 • (2026年·四川成都) -8 的立方根是 ____。（-2） • (2026年·湖北武汉) 若 = 5，则 x = ____。（25） 七、学后反思与开方方法小结 ◆ 我的收获 • 我知道了什么是算术平方根，会用 表示一个正数的算术平方根，也知道算术平方根具有双重非负性。 • 我知道了什么是平方根，知道正数有两个平方根且互为相反数、0 的平方根是 0、负数没有平方根。 • 我知道了什么是立方根，知道正数、0、负数的立方根各有什么特点，也知道任何一个数都有唯一一个立方根。 • 我学会用两边夹的办法估计一个算术平方根的范围，也会用计算器求平方根和立方根。 • 我能分清算术平方根与平方根，不再把 写成 ±4。 ◆ 我的疑问 • 一个正数的两个平方根除了互为相反数，还有没有别的规律？ • 估计一个数的立方根的范围，能不能也用两边夹的办法？我打算课后试一试。 ◆ 开方方法小结 我遇到的问题 可以用的办法 容易出错的地方 我的体会 求算术平方根 找平方等于被开方数的那个正数 把答案写成两个或写成负数 求平方根 先求算术平方根，再取相反数，写成 ± 漏掉负的那个平方根 求立方根 找立方等于被开方数的那个数 误以为负数没有立方根 判断根式是否有意义 看被开方数的正负 把平方根与立方根的条件混用 估计算术平方根 算平方、比大小，两边夹 凭感觉猜近似值 我写： 八、参考答案 ◆ （一）课前自主学习 1. 算术平方根。 2. 两；4 和 -4。 3. 2；-3。 4. 1；4；9；16。 ◆ （二）课中合作探究 环节一：16 的算术平方根是 4；0.25 的算术平方根是 0.5； 的算术平方根是 ；3 的算术平方根是 。 环节二：49 的平方根是 ±7； 的平方根是 ±；0.008 1 的平方根是 ±0.09；8 的平方根是 ±。 环节三：8 的立方根是 2；-64 的立方根是 -4； 的立方根是 ；0 的立方根是 0。 环节四：因为 = 16 < 17 < 25 = ，所以 4 < < 5， 在 4 和 5 之间。 ◆ （三）当堂达标检测 A：1.A（9 的算术平方根是 3，答案只有一个） 2.5；0.4； 3.C（16 的平方根有两个，是 ±4）。 B：1.A（正数有两个平方根；负数没有平方根；0 的平方根是 0；立方根只有一个） 2.-3；0 3.9；-8（ = 3 表示 a 的算术平方根是 3，所以 a = = 9； = -2 表示 b = = -8）。 C：1.25（平方根是 ±5，说明这个数是 = 25） 2.5；6（ = 25 < 30 < 36 = ，所以 5 < < 6）。 ◆ （四）课后巩固训练 A：1.6；0.1； 2.B（4 的平方根是 ±2） 3.B（ = -8，所以 -8 的立方根是 -2）。 B：1.A（负数没有平方根但有立方根；算术平方根只有一个；0 的平方根是 0；带根号的数不一定无理数） 2.16；-8 3.6；7（ = 36 < 40 < 49 = ）。 C：1.7（ = 343，所以棱长是 7 cm） 2.<（ = 10 < 10.24 = ，所以 < 3.2） 3.4；5（ = 16 < 20 < 25 = ）。 ◆ （五）课后教材习题（《习题2.2》） 知识技能：求算术平方根，100 的是 10， 的是 ，0.000 1 的是 0.01，13 的是 ；求平方根，16 的是 ±4，0.008 1 的是 ±0.09， 的是 ±， 的是 ±7；求立方根，-1 的是 -1，0.125 的是 0.5， 的是 ，-216 的是 -6。 数学理解：（1）不正确，4 的平方根是 ±2，2 只是它的算术平方根；（2）正确，任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根；（3）正确，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 问题解决：体积是 216 的正方体，棱长是 = 6 cm；又因为 = 16 < 20 < 25 = ，所以 在 4 和 5 之间，而 = 20 < 20.25 = ，所以 < 4.5。 联系拓广：把面积为 400 的正方形剪成四块大小相同的小正方形，每个小正方形的面积是 100 ，边长是 = 10 cm。 ◆ （六）中考真题 1.A（9 的算术平方根是 3） 2.C（4 的平方根是 ±2） 3.D（ = 1， = 0， = -1，所以立方根等于本身的数是 1、0 和 -1） 4.B（ = 9 < 15 < 16 = ，所以 3 < < 4） 5.-2（ = -8） 6.25（ = 5 表示 x 的算术平方根是 5，所以 x = = 25）。 学科网（北京）股份有限公司 $