第23章 解直角三角形 章末复习（课件）2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

章末复习 23 华东师大版·九年级数学上册 1 解直角三角形 一、测量 二、直角三角形的性质 三、锐角三角函数 四、锐角三角函数值 五、解直角三角形 知识结构 1. 利用相似测量 2. 利用勾股定理测量 一、测量 二、直角三角形的性质 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_______. 2. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的_______. 一半 一半 要点巩固 三、锐角三角函数 正弦： sin A = 斜边 = c a 余弦： cos A = 斜边 = c b 正切： tan A = ∠A 的邻边 = b a ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ∠A 的对边 同角三角函数的关系： sin2A + cos2A =____. tan A = cos A sin A 1 四、锐角三角函数值 1. 特殊角的三角函数值： sin30°=______，cos30°=______，tan30°=______. sin45°=______，cos45°=______，tan45°=______. sin60°=______，cos60°=______，tan60°=______. 2. 用计算器求锐角三角函数值 五、解直角三角形 1. 概念： 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2. 常用关系： 三边关系：____________. 锐角关系：∠A + ∠B = 90° 边角关系： A = cosB = ，cosA =______= ，A = ，tanB = a2 + b2 = c2 B 3. 所有类型： 已知两条边 已知斜边和一直角边 已知两直角边 已知一条边和一个锐角 已知一斜边和一锐角 已知一直角边和一锐角 4. 应用： 应用领域：航空、航海、建筑、工业、水利工程等 解决问题：计算距离，测量高度、角度等 相关概念：方位角，仰角、俯角，坡角、坡度等 1. 如图，某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚， 棚宽 a = 4 m，高 b = 3 m，长 d = 35 m，求覆盖在顶上的 塑料薄膜的面积. 解: ∵ 直角三角形斜边长为 ∴ 覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为 5×35 = 175（m2） 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 巩固练习 2. 如图，正方形 ACDE 的面积为 25 cm²，AB = 12 cm， BC = 13 cm．问：E、A、B 三点在同一条直线上吗？ 为什么？ 解: 在同一条直线上. 理由如下: ∵ 正方形 ACDE 的面积为 25 cm2 ， ∴ AC ＝ 5 cm，∠EAC ＝ 90°. 又∵ AB ＝12 cm，BC ＝13 cm， ∴ AC2 + AB2 ＝52 +122 ＝132 ＝BC2， ∴ △ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°， ∴ ∠EAB ＝∠BAC + ∠EAC ＝180°， ∴ E、A、B 三点在同一条直线上. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 3. 已知直角三角形的两条直角边长分别为 6、8，求斜边上 的中线的长. 解:由题意，得斜边长为 故斜边上的中线的长为 5. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 4. 求下列各式的值： （1）2cos30°－2tan45°； （2）sin245°+ cos260°； （3）sin230°+ cos230°+ . 解:（1）原式= 2×－2×1 = 2. （2）原式= + = . （3）原式= + + = . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 5. 分别求下列直角三角形中各字母表示的边长. （1） （2） （3） 解:（1）a = 10，b = . （2）c = 10，d = . （3）e = ，f = . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 6. 小明放一个线长为 125 m 的风筝，他的风筝线（近似地 看作直线）与水平地面构成 39°角，若小明身高 1.40 m， 那么他的风筝有多高？（精确到 1 m） 解:设风筝的高与小明的身高相差 x m. 由题意，得 sin39° = ， ∴ x ≈ 78.7. ∴ 他的风筝约有 78.7 + 1.4 = 80.1 ≈ 80（m）高. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 60°，∠A 的平分线 AM 的长为 15 cm. 求直角边 AC 和斜边 AB 的长. （精确到 0.1 cm） 解: 如图. 由题意，知 ∠CAM = . 在 Rt△ACM 中，∵ AM = 15 cm， ∴ CM = 7.5 cm，∴AC ≈ 13.0 cm. ∴ AB = 2AC ≈ 26.0 cm. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边 AC 的长是直角边 BC 的长的 2 倍，求 ∠B 的三个三角函数值. 解: 设 BC = t（t > 0），则 AC = 2t. 在 Rt△ABC 中，AB = . sinB = cosB = 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 9. 在如图所示的平面直角坐标系中，P 是第一象限的点， 其坐标为（6，y），且 OP 与 x 轴正半轴的夹角 α 的 正切值为 . （1）求 y 的值； （2）求 α 的正弦值. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解: （1）如图，过点 P 作 PA ⊥ x 轴，垂足为 A. 在 Rt△OPA 中，tan= . ∴ y = 8. （2）由（1）知，OA = 6，AP = 8， 易求得 OP = 10， ∴ sin α = 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 10. 如图，飞机 A 在地面目标 B 的正上方 1000 m 处， 飞行员测得另一地面目标 C 的俯角为 30°. 求 B、 C 之间的距离.（精确到 0.1 m） 解:由题意，知AB = 1000 m，∠C = 30°. 在 Rt△ABC 中，tan= . ∴BC = ≈ 1732.1 (m) 答：B、C 之间的距离约为 1732.1 m. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 11. 如图，某古代文物被探明埋于点 A 地面下 24 m 处. 由于 点 A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘， 他们被允许从与点 A 的距离为 8 m 的点 B 处挖掘，考古 人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短 路线挖到文物？他们需要挖多长的 距离？（角度精确到 1′，距离精确 到 0.1 m) 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解: 如图，设文物所在位置为点 C . 由题意，知 AB = 8 m，AC = 24 m， ∴ tan B = ∴ ∠ 由勾股定理，得 BC = 答:考古人员应以与地平面形成约 71°34′ 的角度进行挖掘 才能沿最短路线挖到文物，需要挖约 25.3 m 的距离. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 12. 如图，一段河坝的断面为梯形 ABCD，试根据图中数据， 求出坡角 α 和坝底宽 AD.（保留根号） 解: 在 Rt△CDE 中，i = 1 ∶ 易得 tan α = . ∴ α = 30°. ∴ DE = . 如图，过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F. 由题易知 EF = BC = 4.5 m. BF = CE = 4 m. 在 Rt△ABF 中，AF = ∴AD =AF + EF + DE = 3 + 4.5 + 4 F 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 13. 如图，两座建筑物 AB 和 DC 的水平距离 BC 为 24 m， 从点 A 测得点 D 的俯角 α = 30°，测得点 C 的俯角 β = 60°，求这两座建筑物的高.（精确到 0.1 m) 解: 如图，延长 CD 交过点 A 且平行于 BC 的直线于点 E，则 AE ＝BC ＝ 24 m. 在 Rt△ABC 中 ，∵∠ACB = β = 60°，BC = 24 m. ∴AB = BC×tan∠ACB = 24×tan60°=24 ≈ 41.6 m 在 Rt△ADE 中 ，∵∠DAE = α = 30°，AE = 24 m. ∴DE = AE×tan∠DAE = 24×tan30°= 8 m ∴CD = CE－DE = AB－DE = 16 ≈ 27.7 m 答：两座建筑物 AB 和 DC 的高分别约为 41.6 m 和 27.7 m. E 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 14. 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 3，CE 是 斜边 AB 上的中线，CD 是斜边 AB 上的高，求 DE 的长. 解: 在 Rt△ABC 中，AC = . ∵ S△ABC = AC · BC = CD，∴ CD = . ∵ 在 Rt△ACD 中，AD = . 又∵ AE = AB = AE = . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 15. 已知关于 x 的方程 5x²－10xsinα－7sinα + 6 = 0 有两个相等 的实数根，求边长为 10 cm 且两边所夹的锐角为 α 的菱形 的面积. 解: ∵关于 x 的方程 5x2－10x sinα－7sinα + 6 = 0 有两个相等 的实数根. ∴Δ = (－10 sin α)2－4×5×(－7 sin α + 6) = 0， 解得 sin α1 = ，sin α2 = －2（舍去）. ∵ 菱形边长为 10 cm，∴ 菱形一边上的高为 10 sinα ＝ 6 (cm). ∴ 边长为 10 cm 且两边的所夹的锐角为α 的菱形的面积为 10×6 ＝ 60 (cm2 ). 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 16. 如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1.2m 的 测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 42°，再向电视塔 方向前进 120 m，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 61°求这个 电视塔的高度 AB.（精确到 1 m） 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解: 如图，设 AE ＝ x m，则电视塔的高度 AB 为 (x + 1.2) m. ∵ tan61°= ∴ EF = ∴ CE = CF + EF ≈ (120 + 0.554x) m. 又∵ tan42°= ∴ 0.9 ，∴ x ≈ 215.4，∴ x + 1.2 ≈ 217. 答:这个电视塔的高度 AB 约为 217 m. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 17. 如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点 A，再在河的这边取两点 B、C，使得∠ABC = 60°， ∠ACB = 45°，量得 BC 的长为 30 m. （1）求河的宽度(即求△ABC 中边 BC 上的高)(精确到1m)； （2）请再设计两种测量河的宽度的方案. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解: （1）如图①，过点 A 作 AD ⊥ BC，垂足为 D，设河宽为 x m， 则 AD ＝ x m. ∵ ∠ACB = 45°，∴ CD = AD = x m. 又∵ BC = 30 m，∴ BD = (30－x) m. ∵ ∠ABC = 60°，∴ tan∠ABC = . ∴ ，∴ x = 45－15 ≈ 19. 答:河的宽度约为 19 m. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 （2）方案一: 如图②，延长BA、CA，在 BA、CA 的延长线上 分别找到点 E、D，连结 DE，使 DE∥BC，量得 DE、BC 和 DE 边上的高，利用相似三角形知识解答. 方案二:如图③，延长 AB、AC，在延长线上取两点 G、H， 使 G、H 的连线平行于 BC，也可用相似三角形知识解答. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 18．“荡秋千”问题.我国明朝数学家程大位（1533—1606）写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千 有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地. 送行二步与人齐，五尺人高曾记. 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉. 良工高士素好奇，算出索长有几? 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推进 10 尺（5 尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为 5 尺，如果秋千的绳索拉得很直，试问：秋千有多长？ 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解:设秋千长为 x 尺，则 (x + 1－5)2 + 102 ＝ x2 ， 解得 x ＝ 14.5. 答: 秋千长为 14.5 尺. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 课堂小结 $