第五章 三角函数 单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 单元检测卷【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.（2025-2026·湖南长沙高一上月考）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（  ） A. B. C. D. 2.（2025-2026·湖南长沙高一上月考）已知半径为的扇形面积为，则扇形的圆心角为（） A. B. C.1 D.2 3.（2025-2026·湖南张家界高二下期末）已知，，则（） A. B. C. D. 4.已知tan α＝－2，则＝(  ) A.3 B.－3 C.2 D.－2 5.已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是() A. B. C. D. 6.已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(  ) A. B. C. D. 7.若函数f(x)＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在[－，－]上有零点，则实数a的取值范围为(  ) A.[－，2] B.[－] C.[－2，] D.[] 8.（2024-2025·湖南株洲高一下期末）若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2025-2026·湖南岳阳高一上月考）下列命题，其中正确的命题有（ ） A.若角的终边经过点，则 B.若，则 C.若，且为第四象限角，则 D.若，且，则 10.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知函数，下列说法正确的是（） A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于直线对称 C.函数在区间上的最大值为 D.把的图象先横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，最后纵坐标缩短为原来的得到的图象；且在内仅有个零点 11.（2025-2026·湖南衡阳高一下期末）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（） A.的最小正周期为 B.在区间上恰有个零点 C.的图象关于点中心对称 D.的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设为锐角，若，则的值为                  ． 13.（2025-2026·湖南永州高一上联考）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是                    . 14.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）关于函数. ①的一个周期为； ②的图像关于中心对称； ③的最大值为； ④在上的所有零点之和为. 以上说法正确的有                    . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的值域. 16.（2024-2025·湖南长沙高二下期末）单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． (1)如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； (2)记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 17.（2024-2025·湖南邵阳高一下期中）已知. （1）求的值； （2）求的值. 18.（2024-2025·湖南娄底高一下期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 19.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式及其减区间； (2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数 单元检测卷【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.（2025-2026·湖南长沙高一上月考）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】终边在轴非负半轴的角与终边相同，终边相同的角相差，， 由此可得终边在轴非负半轴上的角的集合为. 故选：D. 2.（2025-2026·湖南长沙高一上月考）已知半径为的扇形面积为，则扇形的圆心角为（） A. B. C.1 D.2 【答案】D 【解析】设扇形的圆心角为， 由扇形面积公式结合已知条件得， 化简得， 解得. 故选：D. 3.（2025-2026·湖南张家界高二下期末）已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由诱导公式得，由同角三角函数基本关系得，又，故. 代入，得，从而. 故选：D. 4.已知tan α＝－2，则＝(  ) A.3 B.－3 C.2 D.－2 【答案】B 【解析】＝＝＝＝－3.故选B. 5.已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为， 所以， 又因为函数是区间上的增函数， 所以，解得，又， 所以，所以正实数的取值范围是. 6.已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos α－5＝0，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－.∵α∈(0，π)，∴α∈(，π)，则sinα＝＝＝. 7.若函数f(x)＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在[－，－]上有零点，则实数a的取值范围为(  ) A.[－，2] B.[－] C.[－2，] D.[] 【答案】A 【解析】∵函数f(x)＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在[－，－]上有零点， ∴方程a－1＝sin x＋cos x－2sin xcos x在[－，－]上有解，设t＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，∵x∈[－，－]，∴x＋∈[－，0]，∴t∈[－，0]， ∵t2＝1＋2sin xcos x，∴y＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝t－t2＋1＝－(t－)2＋，t∈[－，0]， 当t＝0时，y取得最大值1；当t＝－时，y取得最小值－－1，故可得－－1≤a－1≤1， ∴－≤a≤2. 8.（2024-2025·湖南株洲高一下期末）若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由相邻顶点、，可知， 因为两顶点横坐标差为是半个周期，故周期， 则过，代入得， 即，结合，得， 所以图象左移1个单位， 得， 再上移个单位，可得， 则. 故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2025-2026·湖南岳阳高一上月考）下列命题，其中正确的命题有（ ） A.若角的终边经过点，则 B.若，则 C.若，且为第四象限角，则 D.若，且，则 【答案】ACD 【解析】， 由三角函数定义得， 故A正确. ，结合，得， 故B错误. 由诱导公式得， 故， 因为为第四象限角， 所以， 化简得， 故C正确. 由，得，结合得， 故， 由此得， 故D正确. 故选：ACD. 10.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知函数，下列说法正确的是（） A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于直线对称 C.函数在区间上的最大值为 D.把的图象先横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，最后纵坐标缩短为原来的得到的图象；且在内仅有个零点 【答案】AC 【解析】对选项A，由三角函数周期公式得，故A正确. 对选项B，将代入函数得，计算得，函数对称轴处必取最值，故不是对称轴，B错误. 对选项C，当，可得，结合正弦函数性质得的最大值为，故，C正确. 对选项D，横坐标缩短为原来的得，再向右平移个单位得，最后纵坐标缩短为原来的得，变换步骤正确. 令，得，，化简得，，结合，无满足条件的，故区间内没有零点，D错误. 故选：AC. 11.（2025-2026·湖南衡阳高一下期末）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（） A.的最小正周期为 B.在区间上恰有个零点 C.的图象关于点中心对称 D.的最大值为 【答案】BC 【解析】选项A：， 由，得不是的最小正周期，选项A错误. 化简，令，得或， 在上，的解为，的解为，与已有解重合， 故在上恰有个零点，选项B正确. 对任意，， 即， 故的图象关于点中心对称，选项C正确. ， 计算得， 故的最大值不是，选项D错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设为锐角，若，则的值为                  ． 【答案】 【解析】为锐角，，， ，. 故 . 13.（2025-2026·湖南永州高一上联考）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是                    . 【答案】8. 【解析】， 又， 因此 即最小值为8. 14.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）关于函数. ①的一个周期为； ②的图像关于中心对称； ③的最大值为； ④在上的所有零点之和为. 以上说法正确的有                    . 【答案】①② 【解析】由，故①正确. 由，故②正确. 若最大值为，则需且，由得，，即，，代入得此时，故③不正确. 和差化积化简得，令，得或. 结合，得，故仅需，由，得，，，解得，，，由此得所有零点之和为，故④不正确. 故答案为：①②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的值域. 【答案】解：(1)根据题意易知，， 因此的最小正周期为. (2)当时， ， 易知当时， ， 当时， ， 因此函数的值域为. 16.（2024-2025·湖南长沙高二下期末）单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． (1)如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； (2)记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】解：(1)单位圆半径，长， 圆心角， 所以，， 所以. (2)设， 点在单位圆第一象限，横坐标为，得， 所以，， ，，得， . 17.（2024-2025·湖南邵阳高一下期中）已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】解：（1）由， 因为，， 所以， 即， 所以. （2）因为，，. 则 . 【解析】 18.（2024-2025·湖南娄底高一下期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 【答案】解：(1)因为， 由二倍角公式， 代入得， 再由辅助角公式（其中）， 得. 因为的最小正周期，所以. 令（）， 两边加后除以2，得（）， 故的单调递减区间为（）. (2)由(1)知， 当时，的范围是到， 即. 因为在单调递增，在单调递减， 所以在时，取，在时，取，在时，取， 故的最小值为-1，最大值为1. (3)因为， 所以. 又， 由诱导公式，得. 19.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）已知函数为奇函数，且图像相邻的对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式及其减区间； (2)在中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且，，求的周长的取值范围． 【答案】解：(1)由二倍角公式，得， 故. 利用辅助角公式， 化简得. 相邻对称轴距离为，故周期， 由得. 为奇函数，则， 即，故. 结合，得， 因此. 令， 解得， 即减区间为. (2)由， 得. ，故， 解得即. 由正弦定理，得， 故，. 周长， 因，故，则： . ，故，， 因此. 周长范围为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $