3.2.2奇偶性的概念 学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦函数奇偶性的概念、判定及应用核心知识点，通过表格梳理奇偶性定义的前提、条件与结论，结合注意事项区分单调性（局部）与奇偶性（整体），设置思考问题引导关注定义域对称性，搭建从概念到性质的学习支架。 资料亮点在于融合直观想象（图象判断奇偶性）、逻辑推理（辨析题深化判定条件）、数学运算（求值求参数）等核心素养，自我检测题辨析认知误区，例题分层设计，随堂检测巩固，引导主动探究（如“既是奇偶函数的函数”思考），提升学习效率与思维严谨性。

函数奇偶性的概念 知识梳理 1．函数的奇偶性 前提 设函数f(x)的定义域为I,如果_____,都有_____ , 条件 且 且 结论 那么函数f(x)就叫做 那么函数f(x)就叫做 注意： 1．函数最重要的性质之一，当自变量互为相反数时，函数值相等则为偶函数，函数值互为相反数则为奇函数．反映在图象上关于y轴对称的为偶函数，关于原点对称的为奇函数． 2．函数的单调性是针对函数定义域或定义域上一个区间而言，是局部概念，函数的奇偶性是针对定义域内任意x而言，是整体概念． 思考：函数奇偶性定义的前提条件是“如果∀x∈I，都有－x∈I”，说明奇偶函数的定义域有什么特征？ 2．奇偶函数的图象特征 (1)函数是偶函数⇔ _____ ；(2)函数是奇函数⇔______ ． 思考： 1．若已知函数的图象关于y轴对称，那么函数是什么函数？ 2．有没有既是偶函数，又是奇函数的函数？ 自我检测 1． 如果定义域内存在x0，满足f(-x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？ 2． 若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(-x)＝0，则函数f(x)是奇函数吗？ 3． 奇函数的图象一定过原点吗？ 4．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 5．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________． 想一想：观察教材图3.2­7(2)，若a>0，g(a)＝，那么g(-a)＝？ 类型一　奇偶性的判断(直观想象、逻辑推理) 1．函数f(x)＝2x－的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．直线y＝x对称 D．坐标原点对称 2．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 微提醒：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 【结论通用】 若函数f(x)，g(x)具有共同的定义域，那么由函数f(x)，g(x)的奇偶性可以得到其加、减、乘、除的奇偶性，其规律是：偶±偶＝偶、奇±奇＝奇、偶×偶＝偶、偶×奇＝奇、奇×奇＝偶，相除时类似于相乘的情况． 3.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 类型二　奇偶函数图象的应用(直观想象) 1.如图是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论正确的是(　　) A．f(－2)－f(6)＝0 B．f(－2)－f(6)<0 C．f(－2)＋f(6)<0 D．f(－2)－f(6)>0 2.设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________． 练习：定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示． (1)请在平面直角坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小． 综合类型　利用函数的奇偶性求值(数学运算) 1.利用奇偶性求函数值 (1）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　) A．21 B．－21 C．26 D．－26 2.利用奇偶性求参数值 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝________． 变式：若函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2是奇函数，则a＝________． 随堂检测 1．函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　) 3．函数f(x)＝－x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 4．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) 5．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝______． 学科网（北京）股份有限公司 $