专题06相似多边形及三角形相似的条件知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题06相似多边形及三角形相似的条件知题通关讲义 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 对应角全部相等； 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点06:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点07:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点08. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点09：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 1. 判定相似多边形缺少双重判定条件 提醒：判定多边形相似必须同时满足：对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可。仅对应角相等或者仅对应边成比例，不能判定多边形相似。 2. 相似多边形对应元素识别错误 提醒：相似多边形的角、边要依次一一对应；书写相似多边形名称时，顶点字母顺序必须遵从对应关系，不可随意调换字母顺序。 3. 相似多边形周长、面积比例运算混淆 提醒：相似多边形周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。已知面积比反推相似比时，应对面积比进行开平方运算，不可直接使用面积比作为相似比。 4. 误认为全部矩形或者全部菱形彼此相似 提醒：所有矩形内角均相等，但邻边比值不一定相同；所有菱形各边相等，但内角不一定相等。因此任意矩形之间、任意菱形之间不一定相似。 5. 仅一组对应角相等判定三角形相似 提醒：两角分别相等判定三角形相似，要求是两组对应角分别相等；只有一组对应角相等，无法判定两个三角形相似。 6. 两边成比例判定相似未验证夹角相等 提醒：两边对应成比例判定三角形相似，必须是两组边的夹角对应相等；若是其中一边的对角相等，不能用来判定相似，警惕SSA类错误。 7. 三边判定相似时没有按顺序比对对应边 提醒：使用三边对应成比例判定相似，需要先把两个三角形的三边分别由小到大排序，再依次计算对应边的比值；不排序直接取边计算容易出现比例匹配错误。 8. 审题未区分相似符号与文字描述，出现漏解 提醒：题干使用相似符号“∽”书写，则顶点对应关系固定；若只是文字表述“两个三角形相似”，没有使用相似符号，对应关系不唯一，需要分类讨论。 9. 利用公共角直接默认三角形一定相似 提醒：图形中的公共角只能提供一组相等的角，还需要再寻找另外一组对应角相等或者夹这个公共角的两边成比例，仅公共角不能推出三角形相似。 10. 错误认为全等不属于相似的特殊情况 提醒：全等三角形是相似比等于1的特殊相似三角形；全等满足对应角相等、对应边比值等于1，属于相似的特例。 题型 考察方向 难度 题型一 成比例线段 ★ 题型二 相似多边形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型六 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型八 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型九 黄金分割 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 成比例线段 1．线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 【答案】9 【分析】根据成比例线段的定义，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，，是成比例线段， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 解得． 2．下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，四条线段成比例需满足最长线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：成比例线段的判定规则：对于四条线段、、、，若，则四条线段成比例． ∵选项A中，，∴是成比例线段 ∵选项B中，，∴是成比例线段 ∵选项C中，，∴是成比例线段 ∵选项D中，，，，∴不是成比例线段 故选：D． 3．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 4．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 题型二 相似多边形 5．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 6．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 题型三 相似多边形的性质 8．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“相似多边形的对应边成比例”即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 9．如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 ______时，矩形矩形． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例． 先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形矩形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 10．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 题型四 利用两角对应相等判定相似 11．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 12．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 13．将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 14．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 15．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 16．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】已知，结合对顶角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似判定定理，判断哪两个三角形相似． 【详解】解：∵，， ∴，即①和③相似． 17．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 题型六 利用三边对应成比例判定相似 18．若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等），逐一验证各选项的边长比例是否相等即可. 【详解】解：A答案：对应边的比相等，所以两三角形相似； B答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； C答案：对应边的比不都相等，所以两三角形不相似； D答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； 故选： A． 19．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 20．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 21．若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 【答案】A 【分析】先将两三角形的边按从小到大排序，验证三边是否对应成比例，即可判断相似性． 【详解】解：将两三角形的边长按从小到大排序． 的三边长为，，． 的三边长为，，． ∵， ∴两三角形三边对应成比例，一定相似． 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 22．如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定方法是解答此题的关键．根据相似三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：A、，， ， 故A选项不符合题意； B、，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 故C选项不符合题意； D、，， 不能判定， 故D选项符合题意； 故选：D． 23．如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 【答案】或或或（答案不唯一） 【分析】根据，然后利用两角分别相等的两个三角形相似或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴； 或∵，， ∴； 或∵， ∴， 又∵， ∴； 或∵，， ∴； 综上可知答案不唯一， 故答案为或或或（答案不唯一） 24．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 题型八 相似三角形的判定综合 25．如图，下列四个三角形中，与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是等边三角形，结合各选项是否符合相似的条件即可. 【详解】解：三条边都为6，为等边三角形，故其相似三角形也为等边三角形， 因为A、B、C选项中都只有两边相等，都为等腰三角形，不符合题意， 只有D选项中三角形的各边都为3，为等边三角形. 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大. 26．如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与______（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．先求得，根据，推出． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：相似． 27．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．图中与相似的三角形（它本身除外）有____________个． 【答案】 【分析】根据三角形中位线的性质可得：，，易得，同理可得：，，根据有三边对应成比例的三角形相似，可得． 【详解】 解：D，E，F分别是，，的中点， ，，，，，， ，，，， ． 图中与相似的三角形共有4个，它们是、、、． 28．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 题型九 黄金分割 29．已知P为线段的黄金分割点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为线段的黄金分割点，且, ∴. 交叉相乘得. 30．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 / 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 31．已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 / 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 32．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 解答题 1．如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 【答案】(1)不相似 (2)相邻两条小路宽度的比值为 【分析】（1）根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可． （2）设横向小路的宽度为，纵向小路的宽度为，根据两矩形相似得出比例式，求出相邻两条小路宽度的比值即可． 【详解】（1）解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似， 由题意得，小路外边缘矩形的长、宽， ∵， ∴小路内外边缘形成的两个矩形不相似． （2）解：如图，设相邻两条小路的宽度分别是和． ∵相对两条小路的宽度相等， ，． ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴相邻两条小路宽度的比值为． 2．已知，，，，在图中，除矩形与矩形外，还有几对矩形的长和宽是成比例线段？请写出具体的矩形和比值． 【答案】共有7对矩形的长和宽是成比例线段. 矩形与矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为. 【分析】分别求出各个矩形的长和宽的比，即可得出结果. 【详解】解：由题意，，，，， ∴，，， ∴矩形与矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； ∵， ∴矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为. 综上：共有7对矩形的长和宽是成比例线段. 3．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． (1)如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） (2)如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2)证明：，是线段的黄金分割点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点D是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割点的定义列一元二次方程求解即可； （2）根据黄金分割数分别求，，的长，根据黄金分割点的定义进行验证即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）略 4．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【答案】证明：， ， ∵， ∴， ． 【分析】由两组对应角相等的两个三角形相似可证． 【详解】略 5．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 6．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 7．解答下列问题： 【思路梳理】 (1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____； (2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计） 【答案】(1)10 (2)证明：∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． (3)平方米 【分析】（1）得出，则，据此计算即可； （2）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证； （3）先求出当点三点共线时，最小，再根据三角形的面积关系可得，进而可得的长，则可得的长、的面积，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点在边上，且， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∵的面积为25， ∴， 解得， 即的面积为10． （2）证明：略． （3）解：∵是等边三角形，米， ∴米，， ∴点在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上， ∴由圆的性质可知，如图，当点三点共线时，最小，最小值为， 过点作于点，作于点，过点作，交延长线于点， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， ∴，即， ∴米，则米， 又∵， ∴， ∴， ∴米，米， ∵， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， ∴平方米， 答：当最小时，郁金香园（即）的面积为平方米． 【点睛】本题的难点在于正确判断出点的轨迹，进而确定当最小时，点的位置． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相似多边形及三角形相似的条件知题通关讲义 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 对应角全部相等； 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点06:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点07:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点08. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点09：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 1. 判定相似多边形缺少双重判定条件 提醒：判定多边形相似必须同时满足：对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可。仅对应角相等或者仅对应边成比例，不能判定多边形相似。 2. 相似多边形对应元素识别错误 提醒：相似多边形的角、边要依次一一对应；书写相似多边形名称时，顶点字母顺序必须遵从对应关系，不可随意调换字母顺序。 3. 相似多边形周长、面积比例运算混淆 提醒：相似多边形周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。已知面积比反推相似比时，应对面积比进行开平方运算，不可直接使用面积比作为相似比。 4. 误认为全部矩形或者全部菱形彼此相似 提醒：所有矩形内角均相等，但邻边比值不一定相同；所有菱形各边相等，但内角不一定相等。因此任意矩形之间、任意菱形之间不一定相似。 5. 仅一组对应角相等判定三角形相似 提醒：两角分别相等判定三角形相似，要求是两组对应角分别相等；只有一组对应角相等，无法判定两个三角形相似。 6. 两边成比例判定相似未验证夹角相等 提醒：两边对应成比例判定三角形相似，必须是两组边的夹角对应相等；若是其中一边的对角相等，不能用来判定相似，警惕SSA类错误。 7. 三边判定相似时没有按顺序比对对应边 提醒：使用三边对应成比例判定相似，需要先把两个三角形的三边分别由小到大排序，再依次计算对应边的比值；不排序直接取边计算容易出现比例匹配错误。 8. 审题未区分相似符号与文字描述，出现漏解 提醒：题干使用相似符号“∽”书写，则顶点对应关系固定；若只是文字表述“两个三角形相似”，没有使用相似符号，对应关系不唯一，需要分类讨论。 9. 利用公共角直接默认三角形一定相似 提醒：图形中的公共角只能提供一组相等的角，还需要再寻找另外一组对应角相等或者夹这个公共角的两边成比例，仅公共角不能推出三角形相似。 10. 错误认为全等不属于相似的特殊情况 提醒：全等三角形是相似比等于1的特殊相似三角形；全等满足对应角相等、对应边比值等于1，属于相似的特例。 题型 考察方向 难度 题型一 成比例线段 ★ 题型二 相似多边形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型六 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型八 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型九 黄金分割 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 成比例线段 1．线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 2．下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 4．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 题型二 相似多边形 5．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 6．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 7．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 题型三 相似多边形的性质 8．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 ______时，矩形矩形． 10．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 题型四 利用两角对应相等判定相似 11．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 12．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 13．将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 14．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C．D． 15．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 16．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 17．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 题型六 利用三边对应成比例判定相似 18．若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 19．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 20．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 21．若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 题型七 选择或补充条件使两个三角形相似 22．如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 24．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 题型八 相似三角形的判定综合 25．如图，下列四个三角形中，与相似的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与______（选填“相似”或“不相似”）． 27．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．图中与相似的三角形（它本身除外）有____________个． 28．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型九 黄金分割 29．已知P为线段的黄金分割点，且，则（     ） A． B． C． D． 30．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 31．已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 32．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 2．已知，，，，在图中，除矩形与矩形外，还有几对矩形的长和宽是成比例线段？请写出具体的矩形和比值． 3．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． (1)如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） (2)如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 4．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 5．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 6．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 7．解答下列问题： 【思路梳理】 (1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____； (2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $