1.2一定是直角三角形吗教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

1.2 一定是直角三角形吗（教学设计） 课题 1.2 一定是直角三角形吗 单元 第一章 勾股定理（1.2 一定是直角三角形吗 第2课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、经历“画三角形—量角—归纳”的探索过程，理解勾股定理的逆定理，会用逆定理判定一个三角形是不是直角三角形； 2、了解勾股数的概念，知道满足 a²+b²=c² 的三个正整数叫做勾股数，会判断一组数是不是勾股数； 3、能运用逆定理解决“检验零件是否合格”“判断三条线段能否组成直角三角形”等实际问题，体会由“数”判“形”的思想； 4、在勾股定理与其逆定理的对比中，感受互逆关系，发展推理能力和应用意识。 5、【核心素养】发展推理能力、运算能力和应用意识，体会由“数”判“形”的思想。 教材分析 1、内容地位：本节是第一章“勾股定理”的第2节。勾股定理揭示了“由形到数”的规律，本节则反过来研究“由数到形”的判定方法，两者互为逆命题，共同构成直角三角形边角关系的完整认识。 2、编写思路：教材先回顾勾股定理，随即提出反向问题——“如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？” 再通过“思考·交流”，让学生分别以 3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41 为三边画三角形并测量，归纳出判定方法；随后以旁注框给出勾股数的概念，最后用“零件检验”例题和“古比伦泥板”等习题落实应用。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“探索勾股定理及其逆定理”“能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题”，并“在观察、实验、猜想、证明等活动中发展推理能力”。 4、前后联系：本节既是勾股定理的延续和深化，又为下一节“勾股定理的应用”提供判定工具，同时为后续学习“证明”一章中命题的互逆关系积累经验。 学情分析 1、已有基础：学生已掌握勾股定理，能由直角三角形的两边求第三边；会用平方运算进行简单计算。 2、主要障碍： （1）容易把逆定理当成勾股定理的“反过来”，忽视逆定理需要先说清“三边满足什么关系”这一前提； （2）判断时不会先找出最长边，导致平方关系对应错误；（应比较“较短两边的平方和”与“最长边的平方”） （3）对“勾股数必须是正整数”这一限制条件印象不深，会把 0.3，0.4，0.5 之类当成勾股数； （4）缺乏“由数判形”的经验，面对零件、纸片等实际问题时不会建模。 3、教学策略：让学生亲手画图、测量，在操作中感受结论；用“先算平方、再比大小”的口诀规范判断步骤；通过勾股定理与逆定理的对比表格，突出互逆关系。 教学重点 勾股定理的逆定理；勾股数的概念。 教学难点 区分勾股定理与它的逆定理，并用逆定理判定直角三角形。 教学准备 多媒体课件（PPT）；三角板、量角器、圆规、方格纸（每人一份）；计算器（用于探索泥板数字规律）。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【复习引入：反过来还成立吗】 教师：上一节课我们学习了勾股定理，请同学们复述它的内容。 学生：在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 教师：板书 a²+b²=c²，并追问——这个定理的已知是什么，结论又是什么？ 学生：已知是“直角三角形”，结论是“两直角边的平方和等于斜边的平方”。 教师：教材上提出了一个相反的问题—— “在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。反过来，如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？” 教师：同学们先猜一猜，再想办法验证。 学生：猜“是直角三角形”的居多，也有学生表示不确定。 教师：光靠猜不行，我们要动手试一试。（板书课题） 1、复述勾股定理，说清它的已知和结论； 2、对“反过来是否成立”作出猜想，并说明猜想的依据。 由勾股定理的逆问题引入，制造认知冲突，激发学生验证的欲望，同时为理解互逆命题埋下伏笔。 探究 新知 【活动一：画一画、量一量，归纳判定方法】 教师：请同学们分别以下面每组数为三条边的长度画出三角形。 3，4，5；　5，12，13；　8，15，17；　7，24，25；　9，40，41。 教师：画好以后用量角器量一量最大的那个角，把你的结果填在表格里。 学生（分组操作、汇报）： · 3，4，5 —— 最大角是 90°； · 5，12，13 —— 最大角是 90°； · 8，15，17 —— 最大角是 90°； · 7，24，25 —— 最大角是 90°； · 9，40，41 —— 最大角是 90°。 教师：这些三角形都是直角三角形。请再算一算，每组数满足什么关系？ 学生：3²+4²=9+16=25=5²；5²+12²=25+144=169=13²；8²+15²=64+225=289=17²；7²+24²=49+576=625=25²；9²+40²=81+1600=1681=41²。 教师：每组的两个较小数的平方和都等于最大数的平方。由此你能得到什么结论？ 学生：如果三角形三条边的长度 a，b，c 满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 教师（板书并强调）：这就是勾股定理的逆定理。它是判定一个三角形是不是直角三角形的依据。 教师追问：逆定理中的“a，b，c”有什么要求？直角又是哪一个角？ 学生：a，b 是较短的两条边，c 是最长的边；直角是边 c 所对的角。 教师强调：用逆定理判定时必须先找出最长边，再比较“较短两边的平方和”与“最长边的平方”。 1、按给定三边长度画三角形（可用圆规或方格纸）； 2、用量角器测量最大角，填写记录表； 3、计算每组数的平方关系，归纳共同特征； 4、用自己的语言表述勾股定理的逆定理。 让学生经历“画图—测量—计算—归纳”的完整过程，在动手操作中自主发现逆定理，避免直接告知结论，发展合情推理能力。 探究 新知 【活动二：认识勾股数，掌握判断方法】 教师：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41 这几组数有什么共同特点？ 学生：都是三个正整数，而且满足 a²+b²=c²。 教师：满足 a²+b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。 教师：请同学们判断，0.3，0.4，0.5 是不是勾股数？为什么？ 学生：不是，因为勾股数要求是三个正整数。 教师：很好。勾股数是“正整数”，判断时不要忘记这个条件。 教师：下面请同学们完成一组判断，并说说你的步骤。 （1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39。 学生（板演）： · （1）最长边 15，9²+12²=81+144=225=15²，是直角三角形； · （2）最长边 22，12²+18²=144+324=468≠484=22²，不是直角三角形； · （3）最长边 36，12²+35²=144+1225=1369≠1296=36²，不是直角三角形； · （4）最长边 39，15²+36²=225+1296=1521=39²，是直角三角形。 教师：请把判断步骤概括成三句话。 学生：第一步，找出最长边；第二步，算出另外两边的平方和；第三步，与最长边的平方比较，相等就是直角三角形，不相等就不是。 教师（追问）：如果把 3，4，5 这三条边同时扩大 2 倍，得到 6，8，10，它还是直角三角形的三边吗？为什么？ 学生：6²+8²=36+64=100=10²，仍然是。 教师：这说明勾股数（或直角三角形的三边）同时扩大相同的正整数倍，仍然是勾股数（仍是直角三角形的三边）。 1、概括勾股数的定义，辨析 0.3，0.4，0.5 是否勾股数； 2、按“找最长边—算平方和—比大小”的步骤板演判断； 3、验证并解释“三边同时扩大相同倍数仍是直角三角形”。 在辨析与板演中落实勾股数的概念和判断方法，用“扩大倍数”的追问把结论一般化，加深对逆定理的理解。 例题 精讲 【例题精讲：检验零件是否合格】 例 一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中 ∠A 和 ∠DBC 都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示（单位：cm），这个零件符合要求吗？ 图1-15 中量得：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12。 教师：要求 ∠A 是直角，应该研究哪个三角形？要求 ∠DBC 是直角呢？ 学生：∠A 在 △ABD 中，∠DBC 在 △BCD 中。 教师：对。所以要把四边形分成 △ABD 和 △BCD 两个三角形，分别用逆定理判断。 【解】在 △ABD 中，AB²+AD²=9+16=25=BD²，所以 △ABD 是直角三角形，∠A 是直角。 在 △BCD 中，BD²+BC²=25+144=169=CD²，所以 △BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角。 因此，这个零件符合要求。 教师：请同学们想一想，为什么第二问中要算 BD²+BC²，而不是 BC²+CD²？ 学生：因为要判断的是 ∠DBC，它的两边是 BD 和 BC，所以用 BD²+BC² 与 CD² 比较。 教师强调：用逆定理判断哪一个角是直角，就要看这个角的两边与它的对边，不能张冠李戴。 【方法归纳】已知三角形的三边长度，判断它是不是直角三角形，只要比较“较短两边的平方和”与“最长边的平方”是否相等。 1、读图，明确要判断的两个角分别在哪两个三角形中； 2、写出完整的推理过程，规范书写“因为……所以……”； 3、交流“为什么要算 BD²+BC²”，明确边与角的对应关系。 以真实的零件检验情境为载体，让学生体会“由数判形”的应用价值，通过书写规范训练发展演绎推理能力。 巩固 练习 【随堂练习（教材第11页）】 1、下列几组数能否作为直角三角形三条边的长度？说说你的理由。 （1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39。 【答案】（1）能，9²+12²=225=15²；（2）不能，12²+18²=468≠484=22²； （3）不能，12²+35²=1369≠1296=36²；（4）能，15²+36²=1521=39²。 2、如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？ （点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CD 上，连接 BE，EF，BF） 【答案】图中共有 4 个直角三角形。 由正方形的性质可知，△ABE（∠A=90°）、△DEF（∠D=90°）、△BCF（∠C=90°）都是直角三角形； 又 DE=AD−AE=4−2=2，CF=CD−DF=4−1=3， 所以 BE²=AB²+AE²=16+4=20，EF²=DE²+DF²=4+1=5，BF²=BC²+CF²=16+9=25。 因为 BE²+EF²=20+5=25=BF²，所以 △BEF 也是直角三角形，∠BEF=90°。 因此，图中共有 4 个直角三角形：△ABE、△DEF、△BCF、△BEF。 3、（习题1.2 知识技能第1题）如果三条线段 a，b，c 满足 a²=c²−b²，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？ 【答案】是。由 a²=c²−b² 得 a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。 1、独立完成第1题，同桌互批，重点说清“哪一条是最长边”； 2、第2题先独立数一数，再小组交流判断方法； 3、第3题体会勾股定理逆定理的等价变形。 分层练习：第1题巩固判断步骤，第2题在图形中综合运用勾股定理与逆定理，第3题训练式子的等价变形，发展推理能力。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、勾股定理的逆定理：如果三角形三条边的长度 a，b，c 满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形 二、勾股数：满足 a²+b²=c² 的三个正整数（如 3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41） 三、判断步骤：找最长边 → 算较短两边的平方和 → 与最长边的平方比较 四、勾股定理与逆定理的对比： 　　勾股定理：已知直角三角形 → 得到 a²+b²=c²（由形到数）； 　　逆定理：已知 a²+b²=c² → 得到直角三角形（由数到形）。 五、应用：检验零件、判断三条线段能否组成直角三角形 1、对照板书口头梳理知识结构； 2、说出勾股定理与逆定理的区别与联系； 3、完成学习任务单上的自我评价。 通过对比梳理，突出互逆关系，把“判定”与“性质”区分清楚，形成结构化的认知。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第11页 习题1.2 知识技能 第1题；第12页 习题1.2 第3题。 2、提升题：教材第11页 习题1.2 数学理解 第2题（三边同时扩大相同倍数还是直角三角形吗？你还能提出什么问题？）。 3、实践题：用一根长绳和卷尺，设计一个方法检验教室的墙角是不是直角（参考习题1.2 问题解决第5题）。 4、拓展题：教材第12页 习题1.2 问题解决 第4题，借助计算器探索古巴比伦泥板上数字之间的关系。 5、预习：阅读教材1.3《勾股定理的应用》，想一想勾股定理还能解决哪些实际问题。 1、记录作业内容； 2、独立完成基础题与提升题；实践题以小组为单位完成并写出方案。 作业分层：基础题巩固判定方法，提升题引向一般化思考，实践题把判定方法用到真实情境中，拓展题激发探索兴趣。 板书 设计 1.2 一定是直角三角形吗 一、勾股定理的逆定理 　　如果 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形（c 为最长边） 二、勾股数：满足 a²+b²=c² 的三个正整数 　　3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41 三、判断三步：找最长边 → 算平方和 → 比大小 四、对比：勾股定理（形→数）｜逆定理（数→形） （副板书：例题零件图，△ABD 与 △BCD 的计算过程） 教学 反思 1、成功之处：以“反过来还成立吗”引入，学生动手画图、测量、计算，自己发现了逆定理，参与度高；用“找最长边—算平方和—比大小”三步法规范判断，正确率明显提高。 2、不足之处：部分学生在零件例题中仍会混淆“判断哪个角”与“用哪两条边”，说明边角对应关系还需强化；练习中个别学生把 0.3，0.4，0.5 当作勾股数。 3、改进设想：下一次教学可在例题后增加“改变判断目标”的变式（如判断 ∠C 是否为直角），并用错例辨析的方式强化“勾股数必须是正整数”。 学科网（北京）股份有限公司 $