1.3勾股定理的应用教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

1.3 勾股定理的应用（教学设计） 课题 1.3 勾股定理的应用 单元 第一章 勾股定理（1.3 勾股定理的应用 第3课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、能运用勾股定理及其逆定理解决测量、检验、折叠、最短路径等简单的实际问题； 2、经历“实际问题→建立直角三角形模型→列方程或计算→回到实际”的建模过程，学会把实际问题转化为数学问题； 3、在“引葭赴岸”等古代数学问题中感受我国数学文化的魅力，增强民族自豪感； 4、通过“问题解决策略：反思”，初步掌握“理解问题—拟订计划—实施计划—反思”的解题流程，发展模型观念和应用意识。 5、【核心素养】发展模型观念、应用意识和运算能力，体会数学与生活、与古代数学文化的联系。 教材分析 1、内容地位：本节是第一章“勾股定理”的第3节，是勾股定理及其逆定理的综合应用课。教材把测量检验、图形折叠、古代数学名题、空间最短路径等素材集中编排，让学生在丰富的情境中体会勾股定理的应用价值。 2、编写思路：教材先由“装修用砖”引出用卷尺检验垂直的问题（图1-16），体现逆定理的应用；接着用“正方形纸片折叠”引导学生发现折叠中的等量关系并列方程（图1-17）；再以《九章算术》“引葭赴岸”名题训练建模（图1-18）；最后通过“问题解决策略：反思”栏目，完整呈现“理解问题—拟订计划—实施计划”的解题流程，用圆柱侧面最短路径问题（图1-19、图1-20）落实“把曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题”的转化思想。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题”“经历将实际问题抽象为数学问题的过程，形成模型观念”，并“在问题解决后进行反思，积累解题经验”。 4、前后联系：本节是勾股定理一章的应用与总结，所训练的“列方程求线段长”“化曲面为平面”等思想方法在后续学习相似三角形、圆以及高中立体几何中都会反复用到。 学情分析 1、已有基础：学生已掌握勾股定理及其逆定理，会用平方根求线段长，也有一元一次方程的基础，能够列方程解决简单问题。 2、主要障碍： （1）面对实际问题读不懂题意，不会把文字语言转化为图形语言； （2）折叠问题中不清楚“折叠前后哪些线段相等”，不会设未知数列方程； （3）空间最短路径问题中，想象不出把圆柱侧面展开后点 A、点 B 的位置；（关键是先明确展开图的形状和对应关系） （4）求出的结果不检验是否符合实际意义。 3、教学策略：坚持“先画图、再建模、后计算”的三步流程；用实物或动态演示帮助学生理解折叠与展开；用“问题解决策略：反思”的四步框架规范解题；每道题算完后追问“结果符合实际吗”。 教学重点 运用勾股定理及其逆定理解决实际问题；把实际问题转化为直角三角形模型。 教学难点 折叠问题中的等量关系与列方程；空间最短路径问题中的“化曲面为平面”。 教学准备 多媒体课件（PPT）；正方形纸片（每人一张，用于实际折叠）；圆柱形水杯或纸筒（每组一个）；直尺、卷尺。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：李叔叔的难题】 教师：装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图1-16）的边 AD 和边 BC 是否分别垂直于边 AB。 （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm。边 AD 垂直于边 AB 吗？ （3）如果李叔叔随身只带了一把长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗？ 学生（讨论后回答）：第（1）问可以用卷尺量出 AD、AB、BD 三条边的长度，再看是否满足 AD²+AB²=BD²； 学生：第（2）问中 30²+40²=900+1600=2500=50²，所以 △ABD 是直角三角形，AD⊥AB。 教师：第（3）问只带 20 cm 的刻度尺，量的长度可能不够，怎么办？ 学生：可以把三条边按相同的比例缩小后再量，比如各取一半得 15、20、25。 教师：非常有想法！把三条边同时缩小相同的倍数，三角形是否还是直角三角形，结论不变。 教师：这节课我们就用勾股定理及其逆定理来解决这样的实际问题。（板书课题） 1、读图并理解“检验垂直”的实际要求； 2、讨论只带卷尺时该怎么办，写出判断过程； 3、思考只带短刻度尺时的替代办法。 以工人师傅检验装修用砖为情境，把逆定理的应用放到真实任务中，让学生体会数学“能用、好用”，同时训练读图与建模能力。 探究 新知 【活动一：折叠问题——正方形纸片折一折】 教师：如图1-17，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这张正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F。你能求出 DF 的长吗？ 教师：请同学们拿出正方形纸片，按要求实际折一折，看看折叠前后有哪些线段相等。 学生（动手折叠后回答）：折叠后 CF 与 EF 重合，所以 CF=EF。 教师：很好，这是折叠问题最关键的一步——折叠前后互相重合的线段相等、互相重合的角相等。 教师：要求 DF 的长，怎么设未知数？ 学生：设 DF=x，则 CF=8−x，所以 EF=CF=8−x。 教师：在哪个三角形中用勾股定理？ 学生：在 Rt△DEF 中，∠D=90°，DE=AD÷2=4，所以 DE²+DF²=EF²。 教师：请同学们把方程写完整并求解。 学生（板演）：4²+x²=(8−x)²，即 16+x²=64−16x+x²，整理得 16x=48，解得 x=3。 教师：所以 DF=3 cm。请同学们检验一下：CF=8−3=5，EF=5，而 △DEF 中 4²+3²=25=5²，确实成立。 教师小结：折叠问题的一般思路是“设未知数—用折叠找相等线段—在直角三角形中列勾股方程”。 1、动手折叠正方形纸片，指出折叠前后重合的线段和角； 2、设 DF=x，用含 x 的式子表示 CF、EF； 3、在 Rt△DEF 中列方程并求解，检验结果。 通过动手折叠获得直观体验，再抽象出“折叠⇒线段相等”这一关键结论，让学生掌握折叠类问题的通法，突破教学难点。 探究 新知 【活动二：古代名题——引葭赴岸】 教师：出示《九章算术》中的名题—— “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？” 教师：先请同学们读“题目大意”——有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 教师补充：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1 丈 = 10 尺。 教师：请同学们在图上找一找，水深、芦苇长、岸边距离分别对应图中的哪条线段？ 学生：水深是 OA，芦苇长是 OB，水面到岸边的距离 AC 是水池边长的一半，即 5 尺。 教师：设水深 OA 为 x 尺，那么芦苇长 OB 怎么表示？ 学生：芦苇高出水面 1 尺，所以 OB=x+1，而拉向岸边后芦苇的长度不变，即 OC=OB=x+1。 教师：很好！这样在 Rt△OAC 中，三条边就都用含 x 的式子表示出来了。请同学们列方程求解。 学生（板演）：AC²+OA²=OC²，即 5²+x²=(x+1)²，25+x²=x²+2x+1，解得 x=12。 学生：12+1=13，所以水池深 12 尺，芦苇长 13 尺。 教师：请检验——5²+12²=25+144=169=13²，符合题意。 教师：这道题两千多年前的古人就会做了，他们用的正是我们今天学习的勾股定理。把实际问题转化为直角三角形，再列方程求解，这就是数学建模的力量。 1、把古诗文翻译成现代语言，明确已知和所求； 2、在图上指认水深、芦苇长、岸边距离对应的线段； 3、设未知数，用含 x 的式子表示三条边并列方程； 4、解方程后检验结果是否符合实际。 以《九章算术》名题为载体，既训练建模与列方程的能力，又让学生感受中国古代数学的成就，落实文化自信与数学应用意识。 探究 新知 【活动三：问题解决策略——反思（空间最短路径）】 教师：教材在“问题解决策略：反思”栏目中给我们提出一个有趣的问题—— “如图1-19，一个圆柱的高为 12 cm，底面圆的周长为 18 cm。在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？” 教师：请大家按教材给出的四步流程来研究。 第一步【理解问题】：已知条件有哪些？足够解决问题吗？沿侧面爬行可能的路线有哪些？ 学生：已知圆柱的高 12 cm、底面周长 18 cm，点 B 与点 A 相对。用圆柱形水杯感受一下，蚂蚁可以绕着爬，路线有很多条。 第二步【拟订计划】：以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前有什么不同？怎样把曲面上的问题转化为平面上的问题？ 学生：以前学“两点之间线段最短”，那是在平面上；这里在曲面上，所以要先把侧面展开。 第三步【实施计划】：把圆柱侧面剪开展成长方形，标出点 A 和点 B，再连线段求长度。 教师：展开后的长方形长是多少？宽是多少？ 学生：长是底面周长 18 cm，宽是圆柱的高 12 cm。 教师：点 A 在哪里？点 B 在哪里？ 学生：点 A 在长方形的一个顶点处；点 B 与点 A 相对，也就是沿着底面圆走过半个圆周，所以在长方形上边的中点处，距离点 A 所在的竖边是 18÷2=9 cm。 教师：请同学们计算最短路程。 学生（板演）：在展开图中，A 到 B 的水平距离是 9 cm，竖直距离是 12 cm， 所以最短路程 = √(9²+12²) = √(81+144) = √225 = 15（cm）。 第四步【反思】：解决这个问题用到了什么关键方法？ 学生：把曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题，再用“两点之间线段最短”。 教师强调：“化曲面为平面”是解决立体图形表面最短路径问题的通法；展开时要特别注意各个点在新图形中的位置。 1、按“理解问题—拟订计划—实施计划—反思”四步开展研究； 2、用圆柱形水杯实际感受蚂蚁可能爬行的路线； 3、剪开圆柱侧面得到展开图，确定 A、B 两点的位置； 4、用勾股定理计算最短路程，并反思方法的要点。 完整呈现教材的解题策略栏目，让学生在真实探究中掌握“反思”这一重要的元认知策略，并突破“化曲面为平面”这一难点。 巩固 练习 【随堂练习（教材第14页）】 1、五根小木棒的长度分别是 7 cm，15 cm，20 cm，24 cm，25 cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图形中哪个是正确的？ 【答案】因为 7²+24²=49+576=625=25²，15²+20²=225+400=625=25²， 所以应把 7 cm、24 cm、25 cm 摆成一个直角三角形，把 15 cm、20 cm、25 cm 摆成另一个直角三角形，且以 25 cm 的木棒作为两个直角三角形的公共斜边。 【习题1.3】 2、如图（单位：cm），阴影部分是一个长方形，它的面积是多少？ （直角三角形的两条直角边分别为 8、15，斜边上覆盖一条宽 3 的长方形） 【答案】斜边长 = √(8²+15²) = √(64+225) = √289 = 17（cm）， 阴影长方形的面积 = 17×3 = 51（cm²）。 3、一座城墙高 11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根 9 m 处架一架长为 15 m 的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？ 【答案】云梯能到达的高度 = √(15²−9²) = √(225−81) = √144 = 12（m）。 因为 12 > 11.7，所以云梯能够抵达城墙的顶端。 4、某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 m，宽为 2.6 m。一辆卡车装满货物后，高为 3.6 m，宽为 2.4 m，它能通过该隧道吗？ 【答案】以长方形底边中点为原点，半圆的半径为 4÷2=2（m）。 卡车宽 2.4 m，靠边处离中心 1.2 m，此处隧道的高度为 2.6+√(2²−1.2²)=2.6+1.6=4.2（m）。 因为 4.2 > 3.6，所以卡车能通过该隧道。 1、独立完成随堂练习第1题，先算出两组勾股数再对照图形判断； 2、完成第2、3题，写出完整的计算过程； 3、第4题先画出示意图，找出最不利的位置再比较高度。 练习覆盖测量检验、面积计算、实际限高三种典型情境，让学生在应用中巩固勾股定理，并体会“找出最不利位置”这一重要的解题策略。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、用勾股定理的逆定理检验垂直：量出三边，看是否满足 a²+b²=c² 二、折叠问题：折叠前后重合的线段相等 → 设未知数 → 在直角三角形中列勾股方程 三、实际问题建模：读题→画图→找直角三角形→设元列式→计算→检验 四、空间最短路径：化曲面为平面（把圆柱侧面展开成长方形），用“两点之间线段最短”，再用勾股定理计算 五、问题解决策略：理解问题 → 拟订计划 → 实施计划 → 反思 1、对照板书口头梳理本节课的模型与方法； 2、说出“折叠问题”和“最短路径问题”的关键步骤； 3、完成学习任务单上的自我评价。 以“模型+方法+策略”为线索梳理全课，突出转化思想与建模流程，帮助学生形成可迁移的解题经验。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第14页 习题1.3 知识技能 第1题。 2、提升题：教材第15页 习题1.3 问题解决 第2、3题。 3、实践题：教材第15页 习题1.3 问题解决 ※第4题——借助勾股定理，利用升旗的绳子和卷尺设计一个测算旗杆高度的方案，并写出测量步骤和计算过程。 4、拓展题：整理“问题解决策略：反思”的四步流程，并用它独立解决一个最短路径问题。 5、预习：阅读教材第二章第1节《认识实数》，想一想“面积为 2 的正方形的边长是多少”。 1、记录作业内容； 2、实践题以小组为单位完成，注意测量的安全与数据的真实； 3、整理解题反思，写进数学学习笔记。 作业分层：基础题巩固计算，提升题训练建模，实践题让学生真正动手测量并设计测量方案，拓展题强化元认知策略。 板书 设计 1.3 勾股定理的应用 一、检验垂直（逆定理）：AD²+AB²=BD² ⇒ AD⊥AB 二、折叠问题：折叠⇒线段相等 　　设 DF=x → CF=EF=8−x → 4²+x²=(8−x)² → x=3 三、古代名题：设水深 OA=x，则 OC=OB=x+1 　　5²+x²=(x+1)² → x=12，水深 12 尺，葭长 13 尺 四、最短路径：化曲面为平面 　　√(9²+12²)=15（cm） 五、解题策略：理解问题→拟订计划→实施计划→反思 教学 反思 1、成功之处：用“李叔叔检验瓷砖”“折叠正方形”“引葭赴岸”“蚂蚁吃食”四个情境贯穿全课，学生兴趣浓厚；动手折纸和用圆柱水杯体验的环节，让折叠与展开这两个难点变得直观可感。 2、不足之处：引葭赴岸一题中用含 x 的式子表示 OC 时，仍有学生不理解“拉向岸边后长度不变”；隧道限高一题中部分学生没有考虑“最不利位置”。 3、改进设想：下次教学可先用一根绳子或细木棒演示“引葭赴岸”，让学生亲眼看到长度不变；隧道问题可增加“如果卡车再宽 0.4 m 还能通过吗”的追问，引导学生体会临界位置。 学科网（北京）股份有限公司 $