27.3 课时1 实际问题中的反比例函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.3 实际问题与反比例函数 课时1 实际问题中的反比例函数 22051 1.灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 2.能够根据实际问题确定自变量的取值范围. 3.能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，解决实际问题. 学习目标 22051 现实世界中的变化现象多种多样，除了一次函数、二次函数，还有其他函数模型可以用于刻画不同的变化规律. 与研究一次函数、二次函数类似，我们仍然从现实世界中具有某种变化规律的具体实例出发，用函数的眼光分析问题中变量之间的对应关系，抽象出它们的共同特征 新课导入 22051 在本章节的开头我们提到过函数是具有广泛应用的数学模型.对于某些实际问题如果其中两个变量之间具有反比例关系，那么我们就可以利用反比例函数来研究它 例如，同一条铁路线上，在路程一定的情况下列车平均速度 随运行时间之间的关系 新课导入 22051 【例1】港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 𝑡货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h． （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：𝑡/ℎ）与卸载完所有货物的总时间（单位：ℎ）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 典例精析 22051 （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：𝑡/ℎ）与卸载完所有货物的总时间（单位：ℎ）之间有怎样的函数关系？ 分析：根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到关于的函数解析式. 货物总量 = 装载速度 × 装载时间 = (t) 故 即 典例精析 22051 （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 把 代入 得 不超过 6 h 卸载完毕 对应的是 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1 050t．对于函数当时，𝑡越小，𝑣越大.因此，若货物不超过6 小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 典例精析 22051 【思考】第（1）问的解题思路是什么？第（2）问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？ 方法总结：第（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，然后根据公式：货物总量 = 装载速度 × 装载时间 ，由题意知v是函数，t是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式.第（2）问实际上是已知函数v的值，求自变量t的取值. 新知讲解 22051 古希腊科学家阿基米德（公元前287-前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂 新知讲解 22051 【例2】某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. （1）动力 （单位：N）与动力臂 （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 典例精析 22051 （1）动力 （单位：N）与动力臂 （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 解：根据杠杆原理得： 所以关于的函数解析式为 (). 当 m 时， (N). 对于函数，当，400 N ，此时杠杆平衡，因此，要撬动石头，动力至少需要 400 N. 典例精析 22051 （2）若想使动力不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 分析：对于函数，当时，随的增大而减小.因此要求，只需求出时对应的的值，就能确定动力臂至少应加长的量. 将代入，得 ， 解得 因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5（m）. 典例精析 22051 结合反比例函数性质分析形如y= （k为常数，k ≠ 0）的函数是反比例函数. 在中，k= 600 >0，根据反比例函数的性质: 当k>0时，在自变量取值的正范围内，y随x的增大而减小 对应到本题中：动力臂动越长（自变量越大），所需的动力F动就越小（函数值越小），因此使用撬棍时，动力臂越长就越省力. 【思考】用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 新知讲解 22051 你能总结反比例函数在实际问题中的解题步骤吗？ 1.审：审清题意，识别常量与变量，提取等量关系； 2.建：根据 “乘积为定值” 的等量关系，建立反比例函数解析式； 3.定：结合实际意义，确定自变量的取值范围； 4.解：代入求值或结合增减性，求解变量的值或范围； 5.验答：检验结果是否符合实际，规范作答. 注：涉及 至少最多类问题时，必须结合反比例函数的增减性判断变量的最值对应关系，避免范围写反. 归纳 22051 【练习】小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省　　　N的力.  解：设动力为F(单位：N)，动力臂为l(单位：m)，根据“杠杆原理”有Fl=1 000×0.6， ∴F关于l的函数解析式为，当l=1.5 m时，=400(N)，当l=2 m时，=300(N)， ∴撬动这块石头可以节省400-300=100(N)的力. 100 巩固练习 22051 实际问题与反比例函数 步骤 审：识别常量与变量，提取等量关系 建：建立反比例函数解析式 定：确定自变量的实际取值范围 解：代入求值或求解变量范围 验答：检验结果，规范作答 过程 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 课堂小结 22051 1.正在建设中的临滕高速是重点建设项目，一段工程施工需要运送土石方总量为105 m3，设土石方日平均运送量为(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为(单位：天)，则与满足（ ） A.反比例函数关系 B.无函数关系 C.一次函数关系 D.二次函数关系 A 当堂检测 基础 22051 2.修路队修建一段乡村公路，原计划每天修 120 米，25 天可以完工. （1）求每天修路长度 （单位：米 / 天）与完工所需天数 （单位：天）的函数解析式； （2）为了赶工期，需要提前 5 天完工，每天至少需要多修多少米？ 由 ，得函数解析式： （2）提前5 天后，完工天数为25−5=20 将 代入 ，得： 每天需多修：（米） 答：每天至少需要多修 30 米. 解： （1）公路总长度为： （米） 当堂检测 提升 22051 3.木工用羊角锤拔铁钉，已知铁钉的阻力为 500N，阻力臂长度为 1.2cm. （1）求动力 （单位：N）与动力臂 （单位：cm）的函数解析式； （2）若手握位置到支点的动力臂长为 20cm，拔起铁钉至少需要多大的动力？ 解：（1）根据杠杆平衡原理： 阻力 阻力臂 代入已知条件，得 整理得函数解析式： （2）将 代入 ，得： 答：拔起铁钉至少需要 30N 的动力. 当堂检测 提升 22051 $