第一章 集合与常用逻辑用语 复习课 [培优讲义]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　章末复习课 题型一　集合的基本概念与集合间的基本关系 1.理解集合的概念,明确集合中元素的特征,能选择恰当方法表示集合,求解相关问题时应注意三点: (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性. 2.集合与集合之间的关系是包含和相等的关系,判断两集合之间的关系,可从元素特征入手,并注意代表元素.利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用. [例1]　(1)已知集合A={1,3a+1,2a2+a-3},若-2∈A,则a=(　　) A.-1 B. C.1 D.-1或 (2)已知集合A={x|-1<x<10},非空集合B={x|a+1<x<2a-2},且B⊆A,则a的取值范围为(　　) A.3≤a≤6 B.3≤a<6 C.3<a<6 D.3<a≤6 (1)分类讨论,注意判断是否满足元素的互异性. (2)根据集合的包含关系列出不等式组求解即可. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)因为集合A={1,3a+1,2a2+a-3},且-2∈A,分以下两种情况讨论: ①若3a+1=-2,则a=-1,此时,2a2+a-3=2-1-3=-2, 此时集合A中的元素不满足互异性,舍去; ②若2a2+a-3=-2,即2a2+a-1=0,解得a=或a=-1(舍), 当a=时,3a+1=+1=,符合题意. 综上所述,a=. (2)因为B⊆A,B≠⌀,所以解得3<a≤6,故选D. 1.设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中元素的个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　C　∵a∈A,b∈A,x=a+b,∴x=2,3,4,5,6,8,∴B中有6个元素. 2.满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析　C　{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},所以集合A的个数与{3,4,5}的子集的个数相等,个数为23=8. 题型二　集合的基本运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对⌀的讨论,不要遗漏. [例2]　设集合A={x|0≤x≤4},B={x|a≤x≤3a+2}. (1)若a=2时,求A∪B,(∁RA)∩B; (2)A∩B≠⌀,求a的取值范围. (1)由a=2求出集合B,即可根据集合的交、并、补运算得出答案. (2)由A∩B≠⌀判断集合B的范围列不等式解出答案. 解　(1)因为a=2, 所以B={x|a≤x≤3a+2}={x|2≤x≤8}, 则A∪B={x|0≤x≤8}, ∁RA={x|x<0,或x>4}, 则(∁RA)∩B={x|4<x≤8}. (2)因为A∩B≠⌀,所以B≠⌀,所以a≥-1, 则0≤a≤4或0≤3a+2≤4或 解得-≤a≤4, 故a的取值范围为. 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析　A　法一　因为-3=<<-1<0<1<<=2,所以由交集的定义得A∩B={-1,0} 法二　根据题意,结合集合B中的元素知,-3,2,3∉A,-1,0∈A,所以A∩B={-1,0}. 4.(2025·天津卷)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} 解析　D　由A={1,3},B={2,3,5},则A∪B={1,2,3,5},集合U={1,2,3,4,5},故∁U(A∪B)={4}. 题型三　充分条件与必要条件 1.(1)若p⇒q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件. (2)若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件. 2.判定充分条件与必要条件的常用方法 (1)利用定义:判断若p,则q的真假. (2)利用集合间的包含关系判断. [例3]　(1)下列不等式中,可以作为“x-3<0”的一个必要不充分条件的是(　　) A.1<x<4 B.x<4 C.x<1 D.0<x<2 (2)已知条件p:-1≤x≤3,条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　) A.{a|a>3} B.{a|a≥3} C.{a|a<-1} D.{a|a≤-1} (1)根据必要不充分条件的概念求解. (2)p是q的充分不必要条件→{x|-1≤x≤3}⫋{x|x>a}→列不等式组→a的取值范围. 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)对于A:1<x<4为x-3<0的既不充分也不必要条件;对于B:x<4为x-3<0的必要不充分条件;对于C:x<1为x-3<0的充分不必要条件;对于D:0<x<2为x-3<0的充分不必要条件. (2)因为p是q的充分不必要条件,则{x|-1≤x≤3}⫋{x|x>a},于是a<-1,所以a的取值范围是{a|a<-1}. 5.设x,y是实数,“x>y>0”是“x2>y2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　当x>y>0时,x2>y2,当x=-10,y=1时,满足x2>y2,不满足x>y>0,所以“x>y>0”是“x2>y2”的充分不必要条件. 6.“-2<x<2”的一个必要不充分条件是(　　) A.-2<x<2 B.-1<x<2 C.x>2 D.x>-2 解析　D　“-2<x<2”可以推出“x>-2”,“x>-2”不能推出“-2<x<2”,所以“x>-2”是“-2<x<2”的必要不充分条件,D选项正确;“-2<x<2”是“-2<x<2”的充要条件,A选项错误;“-1<x<2”可以推出“-2<x<2”,“-1<x<2”是“-2<x<2”的充分条件,B选项错误;“-2<x<2”不可以推出“x>2”,“x>2”不是“-2<x<2”的必要条件,C选项错误. 题型四　全称量词与存在量词 1.全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.对含有量词命题进行否定:一是改写量词,二是对结论进行否定. 2.根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围,一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.解题过程中要注意变量取值范围的限制. [例4]　已知命题p为“对于任意实数x,函数y=x2+4x-1的函数值恒大于实数m.” (1)写出命题p的否定; (2)若命题p为真命题,试求m的取值范围. (1)根据全称量词命题否定的概念写出其否定. (2)将y=x2+4x-1配方→函数y=x2+4x-1的最小值→m的取值范围 解　(1)命题p的否定“存在实数x,使函数y=x2+4x-1的函数值不大于实数m”. (2)令y=x2+4x-1,x∈R, 则y=(x+2)2-5, 因为∀x∈R, 不等式x2+4x-1>m恒成立, 所以只要m<-5即可. 所以所求m的取值范围是{m|m<-5}. 7.若命题“任意-2≤x≤4,x2-2x-a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|a<8} 解析　由于“任意-2≤x≤4,x2-2x-a≤0”为假命题,所以“存在-2≤x≤4,x2-2x-a>0”为真命题,所以a<(x2-2x)max,结合-2≤x≤4,当x=-2或4时,x2-2x取得最大值为(-2)2-2×(-2)=8,所以a<8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　章末复习课 题型一　集合的基本概念与集合间的基本关系 1.理解集合的概念,明确集合中元素的特征,能选择恰当方法表示集合,求解相关问题时应注意三点: (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性. 2.集合与集合之间的关系是包含和相等的关系,判断两集合之间的关系,可从元素特征入手,并注意代表元素.利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用. [例1]　(1)已知集合A={1,3a+1,2a2+a-3},若-2∈A,则a=(　　) A.-1 B. C.1 D.-1或 课堂笔记： (2)已知集合A={x|-1<x<10},非空集合B={x|a+1<x<2a-2},且B⊆A,则a的取值范围为(　　) A.3≤a≤6 B.3≤a<6 C.3<a<6 D.3<a≤6 课堂笔记： 1.设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中元素的个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 题型二　集合的基本运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对⌀的讨论,不要遗漏. [例2]　设集合A={x|0≤x≤4},B={x|a≤x≤3a+2}. (1)若a=2时,求A∪B,(∁RA)∩B; (2)A∩B≠⌀,求a的取值范围. 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 4.(2025·天津卷)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} 题型三　充分条件与必要条件 1.(1)若p⇒q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件. (2)若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件. 2.判定充分条件与必要条件的常用方法 (1)利用定义:判断若p,则q的真假. (2)利用集合间的包含关系判断. [例3]　(1)下列不等式中,可以作为“x-3<0”的一个必要不充分条件的是(　　) A.1<x<4 B.x<4 C.x<1 D.0<x<2 课堂笔记： (2)已知条件p:-1≤x≤3,条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　) A.{a|a>3} B.{a|a≥3} C.{a|a<-1} D.{a|a≤-1} 课堂笔记： 5.设x,y是实数,“x>y>0”是“x2>y2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“-2<x<2”的一个必要不充分条件是(　　) A.-2<x<2 B.-1<x<2 C.x>2 D.x>-2 题型四　全称量词与存在量词 1.全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.对含有量词命题进行否定:一是改写量词,二是对结论进行否定. 2.根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围,一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.解题过程中要注意变量取值范围的限制. [例4]　已知命题p为“对于任意实数x,函数y=x2+4x-1的函数值恒大于实数m.” (1)写出命题p的否定; (2)若命题p为真命题,试求m的取值范围. 7.若命题“任意-2≤x≤4,x2-2x-a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $