第1章专题1《有理数与数轴》讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

专题1　有理数与数轴 　考点加油站　 (1)我们在小学的时候就已经认识了自然数，其中包括正整数和0．正整数、0和负整数统称为整数．而整数和分数，则统称为有理数．有理数可以分为正有理数、负有理数和0，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数． (2)有理数的大小关系具有三歧性：两个有理数 之间的大小关系一定是 的其中一种，不能都不是，也不能同时是两种或以上． (3)有理数大小比较的传递性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ． (4)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度．数轴形象地表示有理数，利用数轴可以比较有理数的大小． 　典例展示厅　 类型一　有理数的分类 例1　把下列各数分别填入相应的大括号内：（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）． 自然数：　　　　　　　　　；　整数：　　　　　　　　　； 正分数：　　　　　　　　　；　非正数：　　　　　　　　　； 有理数：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 点拨　根据各个括号的数的种类的定义，逐一核对． 变式1　下列说法中，不正确的有＿＿＿．（填序号） ①是有理数；②是分数；③是有理数；④整数可以分为素数和合数；⑤分数可以分为真分数和假分数；⑥有理数可以分为自然数、负数和分数；⑦0是正数；⑧一个数可以同时是正数和负数；⑨分数一定可以写成有限小数或循环小数；⑩任何一个数都是有理数． 归纳总结　有理数的分类 非负数：正数和0统称非负数；　　　　　非正数：负数和0统称非正数； 非负整数：正整数和0统称非负整数；　　非正整数：负整数和0统称非正整数． 类型二　数轴与有理数 例2　（福建中考改编）已知 是数轴上的三个点．点 表示的数分别是 ，如图所示．若 ，则点 表示的数是＿＿＿． 点拨　首先求出 的长度，然后根据 的位置分类讨论． 变式2　如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位长度，点 对应的数分别是整数 ，且 ，那么数轴的原点应是（　） A． 点　　　　B． 点　　　　C． 点　　　　D． 点 归纳总结 求数轴上点的坐标问题，若已知原点，则根据已知点代表的数，把未知点用代数式表示出来求解；若未知原点，则通过各点表示的数之间的关系，反推出原点的位置． 类型三　数轴上点的运动规律 例3　一个动点从数轴上的某点 出发，第一步从点 向左移动1个单位长度到点 ，第二步由点 向右移动2个单位长度到点 ，第三步由点 向左移动3个单位长度到点 ，第四步由点 向右移动4个单位长度到点 按以上规律移动了100次时，动点移动到在数轴上的点 表示的数恰是 ，试求动点的初始位置点 所表示的数． 点拨　设这个动点的初始位置表示的数为 ，把每一步移动到的数用含有 的代数式表示，可以列方程求解． 变式3　如图，点 从原点向距离原点左侧1个单位长度的点 处跳动，第一次跳动到 的中点 处，第二次从点 跳动到 的中点 处，第三次从点 跳动到 的中点 处……如此不断跳动下去，则第四次跳动后，点 表示的数为＿＿＿． 归纳总结 数轴上不带速度的动点问题，运动次数 是一个很重要的变量．需要找到每一次运动的规律，然后列出运动到达的点关于运动次数 的代数式，由此代入求值或列出方程求解． 类型四　有理数与数轴综合 例4　一根木棒放在数轴（数轴上每个单位长度均为 ）上，木棒的左端点与数轴上的点 重合，右端点与点 重合，点 表示的数分别为 ，点 表示的数是 ． (1)　如图，木棒长为 ，它的左端点 表示的数是 ，将木棒沿数轴向左移动． ①当木棒的右端点移动到点 时，求此时木棒的左端点在数轴上所对应的数； ②若该木棒移动到左端点与表示 的点重合，则此时木棒共覆盖了＿＿＿个整数； (2)　若将木棒沿数轴向左移动，则它的右端点移动到点 时，木棒的左端点与原点 的距离为 个单位长度；若将木棒沿数轴向右移动，则它的左端点移动到点 时，木棒的右端点与点 重合． ①求此时木棒的长；②求 的值． 点拨　(1)①根据右端点运动的路程，可得左端点对应的数；②算一算木棒的右端点在数轴上所对应的数即可解答；(2)①按照木棒左端点表示的数分类讨论计算；②分两种情况解出 的值． 归纳总结 (1)数轴上两点之间的距离是两点表示的数之差的绝对值，如果遇到长度一定的未知线段，线段的长度就是左右端点表示的数之差的绝对值，因此，它本质上是考虑一个端点的动点问题； (2)将数轴平移或等比放缩后，各个线段长的比例不变，由此可以列出关系式求解． 　强基直通车　 类型五　数轴上的动点问题 例5　如图，数轴上线段 个单位长度， 个单位长度，点 在数轴上表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是 ．若线段 以 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以 个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)　问：运动多少秒时， 个单位长度？ (2)　当运动到 个单位长度时，点 在数轴上表示的数是＿＿＿． (3)　 是线段 上一点，当点 运动到线段 上时，是否存在关系式 ？若存在，请求出线段 的长；若不存在，请说明理由． 点拨　(1)设运动 秒时， 个单位长度，然后分点 在点 的左边和右边两种情况，根据题意找出等量关系求解；(2)由(1)中求出的运动时间即可求出点 在数轴上表示的数；(3)随着点 的运动，分别讨论当点 和点 重合，点 在点 和 之间，点 与点 重合及点 在点 之间时的情况． 归纳总结 数轴上带速度的动点问题，时间 是一个很重要的变量．数轴上的点有动点和定点之分，已知或可求的定点所处的位置可以表示出，而动点所处的位置可以表示为含有时间 的代数式，由此可以转化为代数式化简求值或解一元一次方程的问题． 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　 分别是数 在数轴上对应的点．使线段 沿数轴向右移动到 ，且线段 的中点对应的数是 ，则点 对应的数是＿＿＿，点 移动的距离是＿＿＿． 2　★★★　已知点 在数轴上的 处，点 表示的有理数比点 表示的有理数小 ，将点 向右移动 个单位长度得到点 ，点 是线段 的两个三等分点，且点 在点 左侧．在所给的数轴（如图）上标出 四点，再写出它们各自对应的有理数． ▍竞赛集训（针对强基自招） 3　★★　如图所示，圆的周长为 个单位长度，在圆周的 等分点处标上字母 ，先将圆周上的字母 对应的点与数轴上的数字 所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的 所对应的点与圆周上重合的字母是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4　★★　如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位长度，点 对应的数分别是整数 ，且 ，那么数轴的原点应是（　） A．点 　　　B．点 　　　C．点 　　　D．点 5　★★　如图，已知数轴上三点 对应的数分别为 ， 为数轴上任意一点，其对应的数为 ．如果点 以每秒 个单位长度的速度从点 向左运动，同时点 和点 分别以每秒 个单位长度和每秒 个单位长度的速度也向左运动．设 秒时点 到点 的距离相等，则 的值为＿＿＿． 6　★★　已知数轴上有一动点 ，从原点出发沿着数轴移动，每次只允许移动 个单位长度．经过 次移动，点 移动到距离原点 个单位长度处，点 的移动方法有＿＿＿种． 7　★★★　已知数轴上有 三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足 倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：数轴上点 所表示的数分别为 ，此时点 是点 的“关联点”． (1)　若点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，下列各数 所对应的点分别是 ，其中是点 的“关联点”的是＿＿＿； (2)　点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， 为数轴上一个动点． ①若点 在点 的左侧，且点 是点 的“关联点”，求此时点 表示的数； ②若点 在点 的右侧，点 中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点 表示的数． 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　自然数：；整数：；正分数：；非正数：；有理数：． 变式1　②④⑥⑦⑧⑩　解析：① 是有理数，正确；② 不是有理数，所以不是分数，错误；③ 是有理数，正确；④1不是素数也不是合数，错误；⑤分数可以分为真分数和假分数，正确；⑥负数和分数都包含负分数，错误；⑦0不是正数，错误；⑧一个数不可以同时既是正数又是负数，错误；⑨分数一定可以写成有限小数或循环小数，正确；⑩ 不是有理数，错误． 例2　 或 　解析：． 在 的右边时， 表示的数为 ； 在 的左边时， 表示的数为 ，故点 表示的数是 或 ． 变式2　B　解析： 点对应的数为 点对应的数为 ，故 ，解得 ，再观察坐标可知原点是 点．故选 B． 例3　 点 所表示的数为 ， 点 所表示的数分别为 ．由题意知 ，．故这个动点的初始位置点 所表示的数为 ． 变式3　　解析： 点 距离原点左侧 个单位长度， 点 表示的数是 ． 是 的中点， 表示的数是 ． 是 的中点， 表示的数是 ． 是 的中点， 表示的数是 ． 是 的中点， 表示的数是 ，故答案为 ． 例4　(1)① 木棒长度为 ， 当木棒的右端点移动到点 时，木棒的左端点在数轴上所对应的数为 ．②　解析：，即木棒右端点与表示 的点重合， 此时木棒覆盖的整数有 ， 木棒覆盖的整数有 个．(2)① 木棒沿数轴向左移动，则当它的右端点移动到点 时，它的左端点与原点 的距离为 个单位长度， 此时木棒左端点所表示的数为 或 ．当木棒左端点所表示的数为 时，．当木棒左端点所表示的数为 时，．综上，木棒的长为 或 ．②当木棒的长为 时，，则点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，则 ；当木棒的长为 时，，则点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，则 ．综上所述， 的值为 或 ． 强基直通车 例5　(1)设运动 秒时， 个单位长度．①当点 在点 的左边时，由题意得 ，解得 ；②当点 在点 的右边时，由题意得 ，解得 ．综上，运动 秒或 秒时， 个单位长度．(2) 或 　解析：当运动 秒时，点 在数轴上表示的数是 ；当运动 秒时，点 在数轴上表示的数是 ．故答案为 或 ．(3)存在．设运动时间为 秒．当 时，点 和点 重合，点 在线段 上，，且 ，当 时，，即 ，此时 ；当 时，点 在点 和点 之间，，①点 在线段 上时，，当 时，有 ，即 ，此时 ；②点 在线段 上时，，当 时，有 ，即 ，此时 ；当 时，点 与点 重合，，当 时，有 ，即 ，此时 ；当 时，点 在点 之间，，当 时，有 ，即 ，此时 ．综上， 的长有 种可能，即 或 ． 学霸训练营 1　，　解析：根据题意，线段 的中点对应的数为 ，又 线段 的中点对应的数是 ， 中点移动的距离为 ． 点 对应的数为 ． 2　 点 在数轴上的 处，点 表示的有理数比点 表示的有理数小 ， 点 所表示的数为 ．将点 向右移动 个单位长度得到点 ，因此点 所表示的数为 ． 点 是线段 的两个三等分点，且点 在点 左侧，， 点 所表示的数为 ，点 所表示的数为 ． 点 所表示的数分别为 ．在数轴上标出点 ，如图． 3　D　解析：结合数轴，分析题意可知，圆在向左滚动过程中每四个点为一周期，依次是 ， 点最初对应数轴上的 ， 到 有 个单位长度，而 ， 所对应的点将与圆周上字母 所对应的点重合．故选 D． 4　B　解析：由题图可知点 与点 相隔 个单位长度，即 ；又已知 ，可解得 ，则 ，即 为原点． 5　 或 　解析：由题意， 秒时，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为 ，点 到点 、点 的距离相等时，则有 ，解得 或 ，故答案为 或 ． 6　　解析：由题意， 有两种可能的移动方法：向左移动 次，向右移动 次；向左移动 次，向右移动 次．向左移动 次，向右移动 次时，当第一个向左移动在第 次的时候（），第二个向左移动可以在第 次，从而可能的移动方法为 （种）．向左移动 次，向右移动 次也同理．因此移动方法有 种． 7　(1)　解析： 点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，． 是点 的“关联点”． 点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，． 不是点 的“关联点”． 点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，． 是点 的“关联点”． 点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，． 不是点 的“关联点”．故答案为 ．(2)①若点 在点 的左侧，且点 是点 的“关联点”，设点 表示的数为 ．（Ⅰ）当点 在点 的左侧时，则有 ，即 ，解得 ；（Ⅱ）当点 在点 之间时，有 或 ，即有 或 ，解得 或 ．因此点 表示的数为 或 或 ．②若点 在点 的右侧，（Ⅰ）若点 是点 的“关联点”，则有 ，即 ，解得 ；（Ⅱ）若点 是点 的“关联点”，则有 或 ，即 或 ，解得 或 ；（Ⅲ）若点 是点 的“关联点”，则有 ，即 ，解得 ． 点 表示的数为 或 或 ． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $