第一讲从自然数到有理数和数轴 讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本讲义围绕“从自然数到有理数”核心内容，从自然数概念出发，延伸至正数负数及0的特殊性，通过相反意义的量建立数与现实联系，系统梳理有理数分类，最终引入数轴实现数的几何表示，构建完整的数系学习支架。 资料以“概念-题型-应用”设计，通过收入支出、温度偏差等实例培养抽象能力与应用意识，数轴折叠滚动问题发展几何直观和推理意识。课中助力分层教学，课后练习覆盖多样题型，帮助学生巩固知识查漏补缺。

第一讲 从自然数到有理数 【知识点1 自然数的概念】 自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等 【知识点2 正数与负数】 1）正数：像，，这样大于的数叫做正数．正数都大于． 2）负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．负数都小于． 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号． 正数前面的“”号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“” 号不可以省略． 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别． 【知识点3 “”的特殊性】 1）既不是正数，也不是负数； 2）是正数与负数的分界； 3）是自然数； 4）的意义：有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；有时是一个数，比如是一个确定的温度；有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度． 【题型1 辨别正数和负数】 【例1】把下列各数填入相应的括号内．，1，5.2，﹣2.3，0.5% 正数：{ }；    整数：{ }； 分数：{ }；    负数：{ }． 【变式1-1】在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【知识点4 具有相反意义的量】 1.相反意义的量：为了表示具有相反意义的量，把0以外的数分为正数和负数。 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例：零上表示为+，则表示零下. 2.用正负数表示允许偏差：实际中每个产品不可能做得与标准规格完全一样，通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大或稍小一点，稍轻或稍重一点，都属于合格品.如一瓶水的标准容量是500ml，那么标有500±10ml指的是实际容量在490ml-510ml之间都是可以的. 【题型2 判断具有相反意义的量】 【例2】下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（　　） A．收入200元与支出20元 B．超过与不足 C．增大与减少 D．上升和下降 【变式2-1】中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升，记作：，那么气温下降可记作（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm）． 【知识点5 有理数】 1.有理数的相关概念 (1)有理数：整数和分数统称为有理数。 正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数. (2)正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； (3)负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 【题型3 有理数的分类】 【例3】把下列各数填入相应的大括号内：，，，0，，， (1)自然数：{______________…}； (2)整数：{______________…}； (3)正分数：{______________…}； (4)负有理数：{______________…}． 【变式3-1】下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】把下列各数分别填入相应的集合：，0，，，，，，． 正有理数集{_______________……}            负有理数集{_______________……}； 非负数集{_______________……}；                整数集{_______________……}；                 分数集{_______________……}． 【知识点6 数轴】 （1）数轴定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴（原点除外）分为两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 （2）数轴的画法 ①画一条直线（一般画水平的数轴）； ②在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； ③通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ④选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，···，从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，··· （3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是±a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【题型4 数轴的三要素及画法】 【例4】．下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 【变式4-1】下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型5 用数轴上的点表示有理数】 【例5】实数b满足，则b的值可以是（    ）    A． B． C．3 D．2 【变式5-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是(    ) A． B． C．或 D．或 【变式5-2】数轴上到数所表示的点的距离为7的点所表示的数是（   ） A． B．4或 C．4或 D．或4 【变式5-3】如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示4的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． 【变式5-4】如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个. 【题型6 用数轴比较有理数的大小】 【例6】若有理数，在数轴上的对应点如图，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-1】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 数轴上两点之间的距离】 【例7】在数轴上与有理数3表示的点距离4个单位长度的点表示的有理数是（    ） A． B．1 C．7 D．或7 【变式7-1】线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是______单位长度． 【变式7-2】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为___________； (2)图中点所表示的数是___________，点所表示的数是___________； (3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄． 【变式7-3】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合． 【变式7-4】一辆货车从超市出发,向东走了3千米到达A地,继续向东走25千米到达B地,然后向西走了10千米到达C地,最后回到超市． (1)以超市为原点,以向东的方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,画出数轴并在数轴上表示出A地、B地、C地的位置； (2)求C地距离A地多远? (3)货车一共行驶了多少千米? (4)货车每千米耗油0.5升,这次共耗油多少升? 课后练习 一、单选题 1．在下列选项中，具有相反意义的量是（ ） A．向东行30米和向北行30米 B．2个老师和2个学生 C．走了100米和跑了100米 D．收入20元和支出30元 2．规定向右移动3个单位记作，那么向左移动2个单位记作（ ）． A． B． C． D． 3．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差（ ） A． B． C． D． 4．零一定是（ ） A．整数 B．负数 C．正数 D．奇数 5．下列结论正确的是（ ） A．有理数包括正有理数和负有理数； B．分数包括正分数、负分数； C．数轴上位于原点两侧的数互为相反数； D．0是最小的整数． 6．在，，70，0，，…六个数中，整数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．－2021的相反数是（ ） A．－2021 B．2021 C． D． 8．下列说法中，错误的是（　　　） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0 C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是 D．数轴上表示的点在原点左边3个单位 9．在原点左侧与原点距离3个单位长度的点所表示的数为（ ） A．3 B． C． D． 10．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（ ） A．0 B．1 C．1.5 D．2.5 11．边长为一个单位的正方形纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1．把正方形纸片绕着顶点A在数轴上向右滚动（无滑动），在滚动过程中经过数轴上的数2021的顶点是（ ） A．点 B．点B C．点C D．点D 二、填空题 12．小南在十一月收入4000元记作元，则他在“双11”购物狂欢节中支出370元可记作____元． 13．下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个． 14．把下列各数填入相应的大括号内：-20%，-2014，0，2.5，1， ，15，-3 负数集：__________________； 负整数集：__________________； 自然数集：__________________；． 15．数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________． 16．今年“十一”黄金周期间，旅游消费再创历史新高，资本市场上的旅游消费类股票迎来一拨行情．针对百威亚太股票在国庆期间5个交易日的股价，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 股价涨跌（元） ＋0.57 ＋0.24 ﹣0.42 ＋0.84 ﹣0.15 则这几天中股价最低的是星期___． 17．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，10，点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是______． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题： （1）如果点A表示数﹣2，将点A向右移动5个单位长度到达点B，那么点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ； （2）如果点A表示数5，将点A先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ； （3）一般的，如果点A表示的数为a，将点A先向左移动b个单位长度，再向右移动c个单位长度到达点B，那么点B表示的数是 ． （4）如果点A表示的数为-100，点B表示的数是99，在数轴上有点P到点A和点B的距离相等，则点P表示的数是 ． 三、解答题 19．把下列个数分别填入相应集合内： -10，6，-，0，，-2.25， 10%， -18 整数集合： ；负分数集合： ； 正分数集合； ；非负数集合： ； 20．把下列各数填在相应的集合内： 100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002… 21．一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0 （1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？ 22．如图，数轴上，两点之间的距离为30，有一根木棒，设的长度为．数轴上移动，始终在左，在右．当点移动到与点，中的一个重合时，点所对应的数为9，当点移动到线段的中点时，点所对应的数是多少？ 23．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数　　表示的点重合； （2）若点到原点的距离是5个单位长度，并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是　　； （3）若数轴上、两点之间的距离为2020（点M在点N的右侧），并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是　　，则点表示的数是　　． 24．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 从自然数到有理数 【知识点1 自然数的概念】 自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等 【知识点2 正数与负数】 1）正数：像，，这样大于的数叫做正数．正数都大于． 2）负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．负数都小于． 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号． 正数前面的“”号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“” 号不可以省略． 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别． 【知识点3 “”的特殊性】 1）既不是正数，也不是负数； 2）是正数与负数的分界； 3）是自然数； 4）的意义：有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；有时是一个数，比如是一个确定的温度；有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度． 【题型1 辨别正数和负数】 【例1】把下列各数填入相应的括号内．，1，5.2，﹣2.3，0.5% 正数：{ }；    整数：{ }； 分数：{ }；    负数：{ }． 【答案】，1，5.2，0.5%；1；，﹣，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣，-2.3 【详解】解：正数：{，1，5.2，0.5%}； 整数：{1}； 分数：{，﹣，5.2，﹣2.3，0.5%}； 负数：{﹣，-2.3}． 故答案为：，1，5.2，0.5%；1；，﹣，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣，-2.3． 【变式1-1】在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】分析：实数分类为：正数，零，负数，其中数字前面带有符号 “﹣”的数为负数，“0”仅有一个数，其余均为正数,由此可得出判断. 详解：这六个数中，只有“1,3,4”这三个数为正数，故答案为C. 【知识点4 具有相反意义的量】 1.相反意义的量：为了表示具有相反意义的量，把0以外的数分为正数和负数。 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例：零上表示为+，则表示零下. 2.用正负数表示允许偏差：实际中每个产品不可能做得与标准规格完全一样，通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大或稍小一点，稍轻或稍重一点，都属于合格品.如一瓶水的标准容量是500ml，那么标有500±10ml指的是实际容量在490ml-510ml之间都是可以的. 【题型2 判断具有相反意义的量】 【例2】下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（　　） A．收入200元与支出20元 B．超过与不足 C．增大与减少 D．上升和下降 【答案】C 【详解】解；A、收入200元与支出20元，是一组互为相反意义的量，故A不符合题意； B、超过与不足，是一组互为相反意义的量，故B不符合题意； C、增加与减少，不是相反意义的量，故C符合题意； D、上升与下降，是一组互为相反意义的量，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升，记作：，那么气温下降可记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若气温上升，记作：，那么气温下降，可记作：， 故选：C． 【变式2-2】大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵10-0.2=9.8， 10+0.2=10.2， ∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg． 所以，四个选项中只有10.2kg合格． 故选：C． 【变式2-3】某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm）． 【答案】 10 9.95 10.05 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm）， 则这种零件的标准尺寸是10（mm），合格产品的零件尺寸范围是9.95～10.05（mm）． 故答案为：10，9.95，10.05． 【知识点5 有理数】 1.有理数的相关概念 (1)有理数：整数和分数统称为有理数。 正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数. (2)正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； (3)负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 【题型3 有理数的分类】 【例3】把下列各数填入相应的大括号内：，，，0，，， (1)自然数：{______________…}； (2)整数：{______________…}； (3)正分数：{______________…}； (4)负有理数：{______________…}． 【详解】（1）解：自然数有：，；故答案为：，； （2）解：整数有：，，；故答案为：，，； （3）解：正分数有：，；故答案为：，； （4）解：负有理数有：，，；故答案为：，，． 【变式3-1】下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意； ②分数包括正分数和负分数，故原说法正确，符合题意； ③既是负数也是整数，但不是自然数，故原说法正确，符合题意； ④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意； ⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意． ∴正确的个数是3个．故选：C． 【变式3-2】把下列各数分别填入相应的集合：，0，，，，，，． 正有理数集{_______________……}            负有理数集{_______________……}； 非负数集{_______________……}；                整数集{_______________……}；                 分数集{_______________……}． 【答案】，，；，，， ；，0，，；，0，，；，，，． 【详解】解：由题意可得， 正有理数集：，，， 负有理数集：，，， ， 非负数集： ，0，，， 整数集：，0，，， 分数集：，，，， 故答案为：，，；，，， ；，0，，；，0，，；，，，． 【知识点6 数轴】 （1）数轴定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴（原点除外）分为两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 （2）数轴的画法 ①画一条直线（一般画水平的数轴）； ②在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； ③通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ④选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，···，从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，··· （3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是±a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【题型4 数轴的三要素及画法】 【例4】．下列说法正确的是（   ） A．有原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C．有些有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】D 【分析】根据数轴的定义及意义，依次分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项可得， A、根据数轴的概念，有原点、正方向且规定了单位的直线是数轴，A错误，不符合题意； B．数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故选项B不符合题意； C．∵任意有理数都能在数轴上表示出来，故选项C不符合题意； D、∵任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式4-1】下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的画法选择即可． 【详解】根据原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，即可知C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查数轴的三要素和画法．掌握原点、正方向、单位长度称数轴的三要素是解题关键． 【题型5 用数轴上的点表示有理数】 【例5】实数b满足，则b的值可以是（    ）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， ， ∴， 观察四个选项，只有选项A符合． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，确定b的取值范围是解题关键． 【变式5-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当长厘米的线段的端点与整数点重合时， 两端与中间的整数点共有个， 当长厘米的线段的端点A不与整数点重合时， 中间的整数点只有个， 故选：D． 【变式5-2】数轴上到数所表示的点的距离为7的点所表示的数是（   ） A． B．4或 C．4或 D．或4 【答案】B 【分析】分两种情况，该点在的左边，该点在的右边，直接计算即可． 【详解】解：当该点在的左侧时，表示的数为：， 当该点在的右侧时，表示的数为：， 在数轴上到的点的距离是7的点表示的数为或4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数轴，解决此题的关键是要注意到有两种情况，不要漏解． 【变式5-3】如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示4的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． 【答案】 【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可． 【详解】解：∵表示的点与表示4的点重合， ∴折痕处所表示的数为：， ∴3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． 【变式5-4】如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个. 【答案】 69 52 【详解】由数轴可知，和 之间的整数点有：-72，-71，……，-42，共31个；和之间的整数点有：-21，-20，……，15，16，共38个，所以被淹没的整数点有69个，负整数点有个52. 【题型6 用数轴比较有理数的大小】 【例6】若有理数，在数轴上的对应点如图，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴得出，，再逐个进行判断即可． 【详解】解：从数轴可知：，， ，，，， 即只有选项A结论错误，符合题意，选项B、C、D结论都正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，相反数，有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是比较容易出错． 【变式6-1】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置得到，再根据有理数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了用轴表示有理数，利用熟知比较有理数的大小，正确得到是解题的关键． 【题型7 数轴上两点之间的距离】 【例7】在数轴上与有理数3表示的点距离4个单位长度的点表示的有理数是（    ） A． B．1 C．7 D．或7 【答案】D 【分析】分在3的左边或右边两种情况解题得到答案． 【详解】解：在数轴上，此数表示的点可能在3的左边或右边， ∴此数为或， 故选D． 【点睛】本题考查数轴，利用数形结合是解题的关键． 【变式7-1】线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是______单位长度． 【答案】5 【分析】先根据题意求出点对应的数是，根据数轴上两点距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达，点A对应的数是， ∴点对应的数是， ∵对应的数是8， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，正确求出点对应的数是是解题的关键． 【变式7-2】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为___________； (2)图中点所表示的数是___________，点所表示的数是___________； (3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄． 【答案】(1) (2)12；21 (3)爷爷67岁，小明15岁 【分析】（1）由图象可知3倍的长为，即可求得长度． （2）A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21． （3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爷爷的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知这跟木棒的长为， ∴A点表示为，B点表示的数是， 故答案为：12，21； （3）解：借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看做木棒，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为， ∴爷爷比小明大岁， ∴爷爷现在的年龄为岁． ∴小明现在的年龄为岁． 【点睛】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键． 【变式7-3】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合． 【答案】0 【详解】解：圆周上的0点与重合， ， ， 圆滚动了506 周到2023， 圆周上的0与数轴上的2023重合， 故答案为：0． 【变式7-4】一辆货车从超市出发,向东走了3千米到达A地,继续向东走25千米到达B地,然后向西走了10千米到达C地,最后回到超市． (1)以超市为原点,以向东的方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,画出数轴并在数轴上表示出A地、B地、C地的位置； (2)求C地距离A地多远? (3)货车一共行驶了多少千米? (4)货车每千米耗油0.5升,这次共耗油多少升? 【答案】（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10. 【详解】(1) ； (2)根据数轴可知：C地距离A地是7.5个单位长度，因而是7.5千米； (3)路程是2×10=20千米； （4）耗油量是：20×0.5=10升. 答：小明家距小彬家7.5千米，这趟路货车共耗油10升. 故答案为（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10. 课后练习 一、单选题 1．在下列选项中，具有相反意义的量是（ ） A．向东行30米和向北行30米 B．2个老师和2个学生 C．走了100米和跑了100米 D．收入20元和支出30元 【答案】D 【详解】解：A．向东与向北不具有相反意义，故此选项不符合题意； B．老师与学生不具有相反意义，故此选项不符合题意； C．走了100米与跑了100米不具有相反意义，故此选项不符合题意； D．收入20元与支出30元是具有相反意义的量，故此选项符合题意．故选：D． 2．规定向右移动3个单位记作，那么向左移动2个单位记作（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：向右移动3个单位记作+3，那么向左移动2个单位记作-2．故选：B． 3．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样， ∴标准大米的质量最多相差：0.4−（−0.4）＝0.4＋0.4＝0.8（kg），故选：D． 4．零一定是（ ） A．整数 B．负数 C．正数 D．奇数 【答案】A 【详解】0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数，0可以被2整除，所以0是一个特殊的偶数，只有A选项符合．故选：A． 5．下列结论正确的是（ ） A．有理数包括正有理数和负有理数； B．分数包括正分数、负分数； C．数轴上位于原点两侧的数互为相反数； D．0是最小的整数． 【答案】B 【详解】 A. 有理数包括正有理数，负有理数和0，故该选项错误； B. 分数包括正分数、负分数，故该选项正确； C. 数轴上位于原点两侧与原点距离相等的数互为相反数，故该选项错误； D. 没有最小的整数，故该选项错误．故选：B． 6．在，，70，0，，…六个数中，整数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：在，，70，0，，…中，整数有，70，0，共3个， 故选C． 7．－2021的相反数是（ ） A．－2021 B．2021 C． D． 【答案】B 【详解】 根据只有符号不同的两个数互为相反数可得－2021的相反数是是2021．故选B． 8．下列说法中，错误的是（　　　） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0 C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是 D．数轴上表示的点在原点左边3个单位 【答案】C 【详解】 A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正确； B. 数轴上的原点表示0，正确； C. 在数轴上表示的点与表示的点的距离是2，错误； D. 数轴上表示的点在原点左边3个单位，正确；故选C． 9．在原点左侧与原点距离3个单位长度的点所表示的数为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在原点左侧与原点距离3个单位长度的点所表示的数为，故选：． 10．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（ ） A．0 B．1 C．1.5 D．2.5 【答案】C 【详解】解：∵点A所表示的数在-2和-1之间， ∴点B所表示的数在1和2之间， 0、1、1.5、2.5四个数中，只有1.5符合题意，故选：C． 11．边长为一个单位的正方形纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1．把正方形纸片绕着顶点A在数轴上向右滚动（无滑动），在滚动过程中经过数轴上的数2021的顶点是（ ） A．点 B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】 解：正方形滚动一周时，点A对就的数为4，且．．．．．．1， ∴当正方形滚动505周时，点A对应的数为2020， ∴数轴上的数2021对应的顶点为点B，故选：B． 二、填空题 12．小南在十一月收入4000元记作元，则他在“双11”购物狂欢节中支出370元可记作____元． 【答案】-370 【详解】解：∵收入4000元记作元， ∴支出370元记作-370元，故答案为：-370． 13．下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个． 【答案】4． 【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、、3.14，故答案为：4． 14．把下列各数填入相应的大括号内：-20%，-2014，0，2.5，1， ，15，-3 负数集：__________________； 负整数集：__________________； 自然数集：__________________；． 【答案】 【详解】 解：根据有理数的分类可得： 负数集：； 负整数集：； 自然数集：； 故答案为：，，． 15．数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________． 【答案】8或4 【详解】解：当E在线段MN上时，MN=ME+NE=2+6=8． 当E在线段MN的反向延长线上时，MN=NE-ME=6-2=4， 综上所述：MN=8或MN=4，故答案为：8或4． 16．今年“十一”黄金周期间，旅游消费再创历史新高，资本市场上的旅游消费类股票迎来一拨行情．针对百威亚太股票在国庆期间5个交易日的股价，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 股价涨跌（元） ＋0.57 ＋0.24 ﹣0.42 ＋0.84 ﹣0.15 则这几天中股价最低的是星期___． 【答案】三 【详解】解：设上周末位a元，则本周依次为（a＋0.57）元，（a＋0.81）元，（a＋0.39）元，（a＋1.23）元，（a＋1.08）元， 因此周三最低，是（a＋0.39）元．故答案为：三． 17．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，10，点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是______． 【答案】1 【详解】 解：∵点A表示的数为−8，点B表示的数为10， ∴线段AB的长度为10−（−8）＝18， ∴当点P到达点B时，点P、Q运动的时间为18÷2＝9（秒）， ∴当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为−8＋（3×9－18）＝1． 故答案为：1． 18．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题： （1）如果点A表示数﹣2，将点A向右移动5个单位长度到达点B，那么点B表示的数是__，A、B两点间的距离是__； （2）如果点A表示数5，将点A先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是__，A、B两点间的距离是__； （3）一般的，如果点A表示的数为a，将点A先向左移动b个单位长度，再向右移动c个单位长度到达点B，那么点B表示的数是__． （4）如果点A表示的数为-100，点B表示的数是99，在数轴上有点P到点A和点B的距离相等，则点P表示的数是__． 【答案】3 5 8 3 a-b+c 【详解】 解：（1）如果点A表示数-2，将点A向右移动5个单位长度到达点B，那么点B表示的数是3，A、B两点间的距离是5， 故答案为：3，5； （2）如果点A表示数5，将点A先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是8，A、B两点间的距离是3， 故答案为：8，3； （3）如果点A表示的数为a，将点A先向左移动b个单位长度，再向右移动c个单位长度到达点B，那么点B表示的数是a-b+c， 故答案为：a-b+c； （4）设点P表示的数是m， 则|m-（-100）|=|99-m|， ∵点P只能在AB之间， ∴解得：m=， 点P表示的数是． 三、解答题 19．把下列个数分别填入相应集合内： -10，6，-，0，，-2.25， 10%， -18 整数集合： ；负分数集合： ； 正分数集合； ；非负数集合： ； 【答案】见解析 【详解】 解：整数集合：-10，6，0，-18； 负分数集合：-，-2.25； 正分数集合；，10%，； 非负数集合：6，0，，10%； 20．把下列各数填在相应的集合内： 100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002… 【答案】见解析． 【详解】 如图 ． 21．一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0 （1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？ 【答案】（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5% 【详解】 解：（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36． （2）因为有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%． 22．如图，数轴上，两点之间的距离为30，有一根木棒，设的长度为．数轴上移动，始终在左，在右．当点移动到与点，中的一个重合时，点所对应的数为9，当点移动到线段的中点时，点所对应的数是多少？ 【答案】点M所对应的数为24或-6． 【详解】 设MN=x， ①当点N与点A重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9， ∵AB=30， ∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+9+15=x+24， ∴点M所对应的数为x+24-x=24； ②当点N与点B重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9， ∵AB=30， ∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+9-15=x-6， ∴点M所对应的数为x-6-x=-6； 综上，点M所对应的数为24或-6． 23．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 根据你对例题的理解，解答下列问题： 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数　　表示的点重合； （2）若点到原点的距离是5个单位长度，并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是　　； （3）若数轴上、两点之间的距离为2020（点M在点N的右侧），并且、两点经折叠后重合，则点表示的数是　　，则点表示的数是　　． 【答案】（1）-9；（2）-11或-1；（3）1007，-1013． 【详解】 解：（1）∵数轴上数-7表示的点与数1表示的点关于点-3对称， -3-3=-6，而-3-6=-9， ∴数轴上数3表示的点与数-9表示的点重合； 故答案为：-9； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或-5， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示-5时，-3-（-5）=2，-3+2=-1， 当点A表示5时，5-（-3）=8，-3-8=-11， ∴B点表示的数是-11或-1； 故答案为：-11或-1； （3）M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合， ∴-3+×2020=1007，-3-×2020=-1013， 又∵点M在点N的右侧， ∴M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是1007，N点表示的数是-1013， 故答案为：1007，-1013． 24．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9 【详解】 解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件， 故答案是：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16． 故答案是：-4或-16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒； 综上所述，t的值为：1.5或3或9． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $