第1章专题2《绝对值与相反数》 讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

专题2　绝对值与相反数 　考点加油站　 (1) 绝对值：①绝对值的定义：一个数在数轴上到原点的距离称为它的绝对值；②绝对值的性质：绝对值是非负数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是 . (2) 相反数：①符号相反，绝对值相同的两个数称为相反数；②一对相反数的和等于 . (3) 绝对值的应用：①因为 ，所以 或 时， 都等于 ；② 可以表示数轴上表示数 的两个点之间的距离. 　典例展示厅　 类型一　绝对值的概念 例1　(1)已知 ，，，且 ，那么 ＿＿＿. (2)已知 是有理数，，，且 ，那么 ＿＿＿. 点拨　(1)由已知条件求出 的值，注意条件 的约束；(2)若注意到 这一条件，结合绝对值的性质，问题即可获解. 归纳总结 考查绝对值的题目有两种常见的情形： (1)给出含有字母的等式或不等式的情况，从等式或不等式中提取信息或向绝对值内的式子转化，以去掉绝对值符号； (2)给出字母表示的点在数轴上标注的情况，可以通过数轴来确定各个字母表示的数或绝对值内式子的正负性来去掉绝对值符号. 在考查绝对值的题目中情况常常不能唯一确定，此时需要进行分类讨论. 类型二　绝对值的性质 例2　已知 的大致位置如图所示，化简 . 点拨　先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义去掉绝对值符号，加减得结论. 变式2-1　绝对值的化简： (1)已知 ，且 ，化简 ； (2)已知有理数 在数轴上的位置如图所示，化简式子：. 变式2-2　已知 为有理数，且 ，求式子 的值. 归纳总结 对于一个不是 的数 ，式子 的意义是 的符号，它的取值只有 和 两种情况；当 是正数时，，当 是负数时，. 类型三　相反数的概念与性质 例3　已知数轴上有 个不同的点，每个点都代表一个整数，且绝对值都不超过 . 求证：这 个点之中至少有两个不同的点代表一对相反数. 点拨　考虑这些数的绝对值总共有多少种取值，再由这些点两两不同得出结论. 变式3　已知 与 互为相反数， 与 互为相反数， 与 互为相反数，，则 的值为 ＿＿＿. 归纳总结 相反数的绝对值相等，且一对相反数的和为 ，可以利用这两条验证、辨析或列方程来解决相反数问题. 类型四　绝对值的非负性 例4　若 是整数，且 ，则 ＿＿＿. 点拨　根据绝对值的非负性以及题意，可知当 时，，当 时，，分类讨论计算即可. 变式4　已知 ，求 的值. 归纳总结 非负性是初中阶段常考查的知识点. 如果若干个非负数的和为 ，那么这几个非负数之中的每一个都等于 . 常见的非负数包含以下几类： (1)对于一个有理数 ， 的绝对值 ； (2)对于一个有理数 ， 的平方 以及 的 次方 （其中 是正整数）. 非负性往往还可以结合一元一次方程、二元一次方程组考查. 类型五　绝对值与数轴综合 例5　我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 ，也就是说 表示在数轴上数 与数 对应的两点之间的距离. 例： 表示在数轴上数 与数 对应的两点之间的距离为 . 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 对应的两点之间的距离. 在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义. 根据上面的阅读材料，结合数轴解答下列问题： (1)求代数式 的最小值. (2)已知 ，求 的最小值. 点拨　(1)根据数轴上两点间的距离求解即可；(2)根据数轴上两点间的距离求出 的取值范围，再求 的最小值即可. 变式5　材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如： 表示 在数轴上对应的两点之间的距离；，所以 表示 在数轴上对应的两点之间的距离；，所以 表示 在数轴上对应的点到原点的距离. 一般地， 两点在数轴上分别表示数 ，那么 两点之间的距离可表示为 . (1)如果 三点在数轴上分别表示数 ，那么 两点之间的距离与 两点之间的距离之和可表示为 ＿＿＿（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①满足 的 的值是 ＿＿＿； ②设 ，当 的取值在不小于 且不大于 的范围时， 的值是不变的，而且是 的最小值，这个最小值是 ＿＿＿；当 的取值在 ＿＿＿ 的范围时， 的最小值是 ＿＿＿； (3)求 的最小值以及此时 的值； (4)若 对任意有理数 都成立，求 的最大值； (5)求 的最小值； (6)求 的最小值. 归纳总结 对于两个数 ，式子 有明确的几何意义，它是数轴上表示数 的两点的距离，也称为 和 的距离. 因此单独一个字母 的绝对值 也代表 与 的距离. 在出现类似 形式的式子的时候，可以结合数轴，考虑几何意义进行化简. 　强基直通车　 类型六　绝对值的最值问题 例6　有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后则显示 的结果. 比如依次输入 ，则输出的结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算. (1)若小明依次输入 ，则最后输出的结果是多少？ (2)若将 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？ (3)若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，全部输入完毕后显示的最后结果设为 ， 的最大值为 ，求 的最小值. 点拨　(1)根据已知得出输入与输出结果的规律求出即可； (2) 根据题意，每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可； (3) (3)根据题意可得出只有 个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入时则结果得到的值最小，进而分析得出即可. 归纳总结 涉及绝对值的最值问题，优先利用距离考虑绝对值的几何意义，利用几何意义求得最值. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　若 和 互为相反数， 和 互为相反数，则 的值为（　） A．　　　　B．　　　　C． 或 　　　　D． 或 2　★★★　若 是有理数且 ，则 可能取值的种数是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3　★★　已知 ，，且 ，则代数式 的值为（　） A． 或 　　　　B． 或 　　　　C． 或 　　　　D． 或 4　★★★　式子 的值随着 的变化而变化，当 ＿＿＿ 时， 有最小值，最小值是 ＿＿＿. 5　★★　如果 ，，，且 ，那么 ＿＿＿. 6　★★　已知整数 满足 ，则 的值为 ＿＿＿. 7　★★　已知 为有理数，且 ，试求 的值. 8　★★　已知 是有理数. (1)当 ， 时，求 的值； (2)当 时，求 的值； (3)当 ， 时，求 的值. ▍竞赛集训（针对强基自招） 9　★★　（江苏竞赛）如图，已知数轴上点 所对应的数 都不为 ，且 是 的中点. 如果 ，那么原点 的位置在（　） A．线段 上 B．线段 的延长线上 C．线段 上 D．线段 的延长线上 10　★★★　已知 是正实数，则 的最小值是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 11　★★★　 的结果中不同的值共有 ＿＿＿ 个. 12　★★　已知 满足 （ 且为正整数，）. (1)若 . ①当 时，求 的值； ②对于给定的有理数 （），满足 ，请用含 的代数式表示 ； (2) 若 ，，且 ，试求 的最大值. 13　★★★　阅读材料：在一条直线上有依次排列的 （）台机床工作，要设置一个零件供应站 ，使这 台机床到供应站 的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形. 如图①，如果直线上有 台机床时，很明显设在 和 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于 到 的距离. 如图②，如果直线上有 台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床 处最合适，因为如果 不放在 处，且在 之间，甲和丙所走的距离之和恰好是 到 的距离，可是乙还得走从 到 的这一段，这是多出来的，因此 放在 处是最佳选择. 不难知道，如果直线上有 台机床， 应设在第 台与第 台之间的任何地方，有 台机床， 应设在第 台的位置. (1)当有 台机床时， 应设在何处？ (2)根据(1)的结论，求 的最小值. 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　(1) 或 　解析：，，，且 ，，，，可得 或 . (2)　解析：，，. ， 与 符号相反，且 ，. . 例2　由题图可得 ，，，，. 故 . 变式2-1　(1)，且 ， 且 ，则原式 . (2)，， 且 ，，，，， 原式 . 变式2-2　当 中没有负数时，都是正数，则原式 ；当 中只有一个负数时，不妨设 是负数，则原式 ；当 中有 个负数时，不妨设 是负数，则原式 ；当 都是负数时，则原式 . 综上所述，代数式的值是 或 或 . 例3　绝对值不超过 的整数的绝对值只有 ，共 种，而点的个数为 个，因此至少有两个不同的点代表的数的绝对值相同，而这些点两两不同，因此这两个点代表一对相反数. 变式3　　解析：由题意，，即 . 同理，，因此，，，故 . 例4　　解析： 是整数，， 是整数. ，又 ，， 当 时，有 ；当 时，有 . 当 ， 时，有 ，，；当 ， 时，有 ，，；当 ， 时，有 ，，；当 ， 时，有 ，，. 综上可得 . 变式4　由题意，，解得 ，故原式 . 例5　(1) 是数轴上表示数 的点到表示 和 的三个点的距离之和，要使距离之和最小， 等于中间的那个数，即 ，距离为 到 的距离，即 ，即代数式 的最小值为 . (2) 的最小值为 ， 的最小值为 ，，，， 的最小值是 . 变式5　(1)　解析： 两点之间的距离表示为 ， 两点之间的距离表示为 ， 两点之间的距离与 两点之间的距离之和表示为 . (2)① 或 　解析：满足 的 在表示 的点左边 个单位长度或在表示 的点右边 个单位长度， 或 . ②　　　解析：到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，，则 . 取最小值时 ，最小值为 . (3)到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边两点之间的距离， 在 时取最小值，最小值为 . (4)当 时， 有最小值 ， 对任意的有理数 都成立时，， 最大值是 . (5)数轴上有奇数个点时，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点， 时， 取最小值，最小值为 . (6)① 时，， 时， 的最小值是 . ② 时，， 时， 的最小值是 . ③ 时，，. 综上所述， 时， 的最小值是 . 强基直通车 例6　(1)根据题意可以得出：. (2)根据题意可以得出：，，，对于 ，若按如下次序：，，可得全部输入完毕后显示的结果的最大值是 ，最小值是 . (3) 随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，全部输入完毕后显示的最后结果设为 ， 的最大值为 ， 设 为最大数字，当 时，，解得 . 此时任意输入后得到的值最小为 . 当 时，，则 ，即 ，则 ， 此时任意输入后得到的值最小为 . 综上所述， 的最小值为 . 学霸训练营 1　D　解析：由题意知， 或 ，，故 或 ，从而 或 ，故选 D. 2　B　解析：分类讨论，若 同为正数，则 ，若 同为负数，则 ，若 一正一负，则 ，故可能的取值有 种. 3　C　解析：首先根据题意，可得 ，；然后根据 ，可得 ，据此求出代数式 的值为 或 即可. 4　　　解析：式子 的值随着 的变化而变化，当 时， 有最小值，最小值是 . 5　　解析：，，，且 ，，，. . 6　 或 　解析：，且 都是整数，， 或 ， 或 ，，；或 ；或 . 综上， 的值为 或 . 7　①当 时，，故 . ②当 时，，故 . 综上，. 8　(1)，，，. . (2)当 同正时，；当 两正一负时，；当 一正两负时，；当 同负时，. (3)，，，. . 又 ， 当 ，， 时，原式 ；当 ，， 时，原式 ；当 ，， 时，原式 . 9　A　解析：因为 是 的中点，所以 ，所以 ①，②，③，所以原式 . 因为 异号，并且 ，即 ，所以点 在 之间，即在线段 上. 故选 A. 10　B　解析：，有奇数个绝对值相加，故当 ，即 时取最小值，最小值为 . 11　　解析：当 时，；当 时，，按此分类讨论即可. 12　(1)①，. ，. . ，. ②，，. ，，. (2)，，. ，，且 ，. . . . 且为正整数， 的最大值是 . 13　(1)当 为偶数时， 应设在第 台和第 台之间的任何地方；当 为奇数时， 应设在第 台的位置. (2)根据绝对值的几何意义，求 的最小值就是在数轴上找出表示 的点，使它到表示 ～ 各点的距离之和最小，根据问题(1)的结论，当 时，原式的值最小，最小值是 . 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $