一元二次不等式常见题型及解题策略 讲义-2027届高三数学一轮复习

一元二次不等式常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 【学生版】 一元二次不等式常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）一元二次不等式与「三个二次」 1. 一元二次不等式的一般形式是（或 ≥ 0、< 0、≤ 0），其中 a ≠ 0。解它的依据是二次函数的图象：所谓「解集」，就是图象位于 x 轴上方（或者下方）的那一部分所对应的自变量取值范围。把图象画对，解集就自动出来了。 2. 具体操作只有三步：先把二次项系数化为正数；再求方程的根，能因式分解的优先因式分解，不能分解的用求根公式；最后由抛物线开口方向写解集。a > 0 时口诀是「大于取两边，小于取中间」，而 a < 0 时只需先把两边同乘 −1 并反向不等号，回到 a > 0 的情形，不要另记一套口诀。 3. 判别式决定图象与 x 轴的位置关系，也就是解集是哪一种形态。Δ > 0 时方程有两个不等实根，解集是两支区间（或者中间一段）；Δ = 0 时方程有一个实根，解集是去掉这一个点的一条射线（或者全体实数去掉一个点）；Δ < 0 时方程无实根，若 a > 0 则解集是全体实数，若 a < 0 则解集是空集。 4. 「三个二次」指二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，它们共用同一份信息：开口方向、判别式、两根。只要给出其中两个对象的结论，第三个就能推出来，这是下一组「由解集反求参数」的全部依据。反过来，解不等式时也可以借方程和函数来帮忙：先求根定分界点，再借开口方向定符号，不必逐段代入试算。 （二）分式不等式与高次不等式的转化 5. 分式不等式的基本转化是「商化积」：与的解集相同；与的解集只差一个点，所以必须单独补一句。带等号时这个「分母不为零」是唯一容易丢掉的约束，而丢掉它恰好会把分母的零点错误地收进解集。 6. 如果右边不是零，先移项、通分，把不等式整理成一边为零的「分式 ≤ 0」的形式，再做商化积。例 2 的就是先减去 2，通分得到，两边同乘 −1 反向不等号，化成之后才变成整式不等式。移项通分是分式不等式的固定第一动作，不要试图在两边直接乘分母。 7. 高次不等式用数轴标根法（也叫穿根法）：把不等式化成一边为零、另一边分解成若干个一次因式乘积的形式，把各个根从小到大标在数轴上，从最右端的上方开始，依次穿过每一个根；因式是奇数重时穿过，偶数重时在该点折返不穿过。标完之后，看最右端那一区间的符号，按「要正取正区间、要负取负区间」把答案读出来。 8. 转化成整式不等式的每一步都要交代合法性依据：不等式两边加上同一个式子，解集不变；两边乘一个恒正的式子，解集不变；两边乘一个符号不能确定的式子，就必须分符号讨论。分式不等式也可以不商化积，直接按分子分母同号、异号分两类讨论，两条路都能走通，考场上选写起来短的那条。 （三）解集反求参数与含参讨论 9. 由解集反求参数，靠的是两条抓手：一是「解集的端点就是方程的根」，二是韦达定理。若的解集是 (m, n)，则 m 与 n 是方程的两根，且抛物线开口向下（a < 0）；若解集是 (−∞, m) ∪ (n, +∞)，则开口向上（a > 0），m 与 n 同样是方程的根。端点定下来之后，用两根之和与两根之积把参数解出来。 10. 含参一元二次不等式的讨论顺序是固定的：先看二次项系数是否为零（会不会退化成一次不等式）；再看二次项系数的正负（决定开口方向）；再看判别式（决定有没有根）；最后比较两根的大小（决定解集是中间段还是两支）。四步按顺序走完，不漏不重。凡是题目里带参数的一次项系数或常数项，都要先想一遍「它会不会让二次项消失」。 11. 恒成立的判别式法有两句翻译：对一切实数 x 恒成立，等价于 a > 0 且 Δ < 0；对一切实数 x 恒成立，等价于 a < 0 且 Δ < 0。两种情形都要单独验算 a = 0，因为那时二次项消失，判别式无从谈起。判别式法只管「对一切实数」，一旦把范围限制在某个区间上，它就失效。 12. 在给定区间上恒成立，正确做法是研究函数在该区间上的最值：把不等式整理成参数与函数值分开的形式，再求那个函数在区间上的最大值或者最小值，最后用最值与零比较。区间恒成立之所以不能用判别式，是因为抛物线的顶点可能落在区间之外，此时限制条件来自区间的端点而不是顶点，这正是「三个二次」的关系在区间上的推广。 二、方法提炼 方法1　一元二次不等式的图象解法：先把二次项系数化为正数，再求方程的根（优先因式分解），最后由抛物线开口方向写解集；a > 0 时「大于取两边，小于取中间」。这一步是后面所有方法共同的落点——分式不等式、高次不等式、换元化归，最后都要回到这里写出答案。解集写完顺手回代一个数核一下符号，比回头检查每一步计算更快。 方法2　分式不等式的等价转化：右边不是零就先移项通分，把它整理成一边为零的形式；再「商化积」变成整式不等式，带等号时必须补上「分母不为零」。分子分母都是二次因式时，直接分解成若干个一次因式，用数轴标根法一次读出解集。整个过程不要出现「两边同乘分母」的动作。 方法3　三个二次的关系与解集反求参数：解集的端点就是方程的根，用韦达定理把「根与系数的关系」翻译成关于参数的方程；解集取两边说明开口向上，取中间说明开口向下，这个对应关系要背准。若题目给的是「解集为全体实数」或「解集为空集」，改用开口方向加判别式判断，不必去找根。 方法4　换元化归与高次不等式：把陌生的式子（指数式、对数式、复合函数值）整体设为新变量，化成一元二次不等式，解完再回代，并补上新变量自身的取值范围；高次不等式先因式分解，再用数轴标根法读解集。化归的方向永远是「把不会解的式子变成会解的式子」，回代时把定义域一起带回来。 三、易错提醒 ◆ 带等号的分式不等式漏写「分母不为零」。化成之后若直接写成，就把分母的零点 x = 1 也收进了解集，正确结果是。 ◆ 忘记先把二次项系数化为正数。两边同乘 −1 时不等号要反向，正确写法是，解集是 (−1, 2)；写成就完全错了。 ◆ 把「解集是 (−∞, m) ∪ (n, +∞)」当成 a < 0。解集取两边说明抛物线开口向上，a > 0；解集取中间才对应 a < 0，这一步对应关系最容易记反，由解集反求参数时首当其冲。 ◆ 商化积之后直接把分式不等式两边乘分母。分母的符号未知，直接乘会改变不等号方向；即使分母恒正，也要先说明它恒正再乘，否则过程站不住。 ◆ 含参讨论漏掉二次项系数为零。题目写成… 时必须先讨论 m = 1 的情形，否则会把退化成一次不等式的那一支整个丢掉。 ◆ 把「在区间上恒成立」当成「在全体实数上恒成立」。判别式 Δ < 0 只管整条抛物线；限定 x ∈ (0, 2) 时，限制条件往往来自区间端点，正确做法是求函数在该区间上的最值再与零比较。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 一元二次不等式的图象解法 题注：题目问的是充分性与必要性，先把「」解出来，再看两个解集谁包含谁。 （2026·天津卷·高考真题）设 x ∈ R，则「x > 0」是「」的（　　） A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件 【例 2】 方法二 · 分式不等式的等价转化 题注：右边不是零，先移项、通分，化成一边为零的分式不等式；再商化积。带等号，别忘补上分母不为零。 （2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（　　） A．{x | −2 ≤ x ≤ 1}　　B．{x | x ≤ −2} C．{x | −2 ≤ x < 1}　　D．{x | x > 1} 【例 3】 方法三 · 三个二次的关系与解集反求参数 题注：已知解集反求参数，抓住「解集的端点就是方程的根」这一条，代一个点就能把参数定下来。 （2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为 {x | x ≥ 1 或 x < −1}，则实数 a 的值为（　　） A．−1　　B．0　　C．1　　D．2 【例 4】 方法四 · 换元化归与高次不等式 题注：自变量是 ln x，先把 ln x 整体代进 f 的表达式，化简成关于 x 的分式不等式，再按一元二次不等式的办法处理，最后别忘了定义域。 （2026·安徽安庆·二模）设。解不等式。 五、巩固练习 1. 方法一 · 一元二次不等式的图象解法 （2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合 A = {x | −1 < x < 3}，，则 A ∪ B = （　　） A．(−∞, −2] ∪ (−1, +∞)　　B．(−∞, −2] ∪ (−1, 3) C．(−1, +∞)　　D．(−1, 2] 2. 方法一 · 一元二次不等式的图象解法 （2026·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集为（　　） A．{x | −1 ≤ x ≤ 2}　　B．{x | −1 < x < 2} C．{x | x ≤ −1 或 x ≥ 2}　　D．{x | x < −1 或 x > 2} 3. 方法二 · 分式不等式的等价转化 （2026·上海卷·高考真题）关于 x 的不等式的解集为______。 4. 方法二 · 分式不等式的等价转化 （2025·上海卷·高考真题）不等式的解集为______。 5. 方法二 · 分式不等式的等价转化 （2026·宁夏·一模）不等式的解集为（　　） A．　　B． C．　　D．(−∞, 1) 6. 方法四 · 换元化归与高次不等式 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数。 （1）求极值点的个数，并解不等式。 六、拓展 一元二次方程根的分布：设（a > 0），方程在区间 (m, n) 内有两个不相等实根，等价于判别式大于零、对称轴落在 (m, n) 内、并且、。这条结论的精神是把「根的位置」翻译成「端点函数值与对称轴的位置」，与解不等式用的是同一套「看图象」的思路，本册不用，遇到时把区间端点代进函数比对符号即可。 含绝对值的一元二次不等式：这类式子，去掉绝对值的方式是把它展开成不等式组，再分别解两个一元二次不等式取交集。如果二次式恰好能配成的形式，那就直接写成（t ≥ 0），开平方化成，比拆成不等式组更快。 分式不等式的分类讨论解法：不商化积，直接按分母的正负分两类讨论：分母为正时原不等式与分子同号，分母为负时与分子异号，每一类里各解一个整式不等式，最后把两类的结果并起来。这条路写起来长，但当分母含有参数、符号无法预先判断时，它是唯一可行的办法，值得掌握。 二次函数在闭区间上的最值：含参二次不等式在给定区间上恒成立，最终要靠二次函数在闭区间上的最值来判定；核心是比较对称轴与区间的位置关系，分成轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧三种情形分别求最值。这套分类思路与上面「一元二次方程根的分布」完全一致，属于同一件事的两种说法。 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次不等式常见题型及解题策略 题型归纳 · 专题学案 【教师版】 一元二次不等式常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）一元二次不等式与「三个二次」 1. 一元二次不等式的一般形式是（或 ≥ 0、< 0、≤ 0），其中 a ≠ 0。解它的依据是二次函数的图象：所谓「解集」，就是图象位于 x 轴上方（或者下方）的那一部分所对应的自变量取值范围。把图象画对，解集就自动出来了。 2. 具体操作只有三步：先把二次项系数化为正数；再求方程的根，能因式分解的优先因式分解，不能分解的用求根公式；最后由抛物线开口方向写解集。a > 0 时口诀是「大于取两边，小于取中间」，而 a < 0 时只需先把两边同乘 −1 并反向不等号，回到 a > 0 的情形，不要另记一套口诀。 3. 判别式决定图象与 x 轴的位置关系，也就是解集是哪一种形态。Δ > 0 时方程有两个不等实根，解集是两支区间（或者中间一段）；Δ = 0 时方程有一个实根，解集是去掉这一个点的一条射线（或者全体实数去掉一个点）；Δ < 0 时方程无实根，若 a > 0 则解集是全体实数，若 a < 0 则解集是空集。 4. 「三个二次」指二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，它们共用同一份信息：开口方向、判别式、两根。只要给出其中两个对象的结论，第三个就能推出来，这是下一组「由解集反求参数」的全部依据。反过来，解不等式时也可以借方程和函数来帮忙：先求根定分界点，再借开口方向定符号，不必逐段代入试算。 （二）分式不等式与高次不等式的转化 5. 分式不等式的基本转化是「商化积」：与的解集相同；与的解集只差一个点，所以必须单独补一句。带等号时这个「分母不为零」是唯一容易丢掉的约束，而丢掉它恰好会把分母的零点错误地收进解集。 6. 如果右边不是零，先移项、通分，把不等式整理成一边为零的「分式 ≤ 0」的形式，再做商化积。例 2 的就是先减去 2，通分得到，两边同乘 −1 反向不等号，化成之后才变成整式不等式。移项通分是分式不等式的固定第一动作，不要试图在两边直接乘分母。 7. 高次不等式用数轴标根法（也叫穿根法）：把不等式化成一边为零、另一边分解成若干个一次因式乘积的形式，把各个根从小到大标在数轴上，从最右端的上方开始，依次穿过每一个根；因式是奇数重时穿过，偶数重时在该点折返不穿过。标完之后，看最右端那一区间的符号，按「要正取正区间、要负取负区间」把答案读出来。 8. 转化成整式不等式的每一步都要交代合法性依据：不等式两边加上同一个式子，解集不变；两边乘一个恒正的式子，解集不变；两边乘一个符号不能确定的式子，就必须分符号讨论。分式不等式也可以不商化积，直接按分子分母同号、异号分两类讨论，两条路都能走通，考场上选写起来短的那条。 （三）解集反求参数与含参讨论 9. 由解集反求参数，靠的是两条抓手：一是「解集的端点就是方程的根」，二是韦达定理。若的解集是 (m, n)，则 m 与 n 是方程的两根，且抛物线开口向下（a < 0）；若解集是 (−∞, m) ∪ (n, +∞)，则开口向上（a > 0），m 与 n 同样是方程的根。端点定下来之后，用两根之和与两根之积把参数解出来。 10. 含参一元二次不等式的讨论顺序是固定的：先看二次项系数是否为零（会不会退化成一次不等式）；再看二次项系数的正负（决定开口方向）；再看判别式（决定有没有根）；最后比较两根的大小（决定解集是中间段还是两支）。四步按顺序走完，不漏不重。凡是题目里带参数的一次项系数或常数项，都要先想一遍「它会不会让二次项消失」。 11. 恒成立的判别式法有两句翻译：对一切实数 x 恒成立，等价于 a > 0 且 Δ < 0；对一切实数 x 恒成立，等价于 a < 0 且 Δ < 0。两种情形都要单独验算 a = 0，因为那时二次项消失，判别式无从谈起。判别式法只管「对一切实数」，一旦把范围限制在某个区间上，它就失效。 12. 在给定区间上恒成立，正确做法是研究函数在该区间上的最值：把不等式整理成参数与函数值分开的形式，再求那个函数在区间上的最大值或者最小值，最后用最值与零比较。区间恒成立之所以不能用判别式，是因为抛物线的顶点可能落在区间之外，此时限制条件来自区间的端点而不是顶点，这正是「三个二次」的关系在区间上的推广。 二、方法提炼 方法1　一元二次不等式的图象解法：先把二次项系数化为正数，再求方程的根（优先因式分解），最后由抛物线开口方向写解集；a > 0 时「大于取两边，小于取中间」。这一步是后面所有方法共同的落点——分式不等式、高次不等式、换元化归，最后都要回到这里写出答案。解集写完顺手回代一个数核一下符号，比回头检查每一步计算更快。 方法2　分式不等式的等价转化：右边不是零就先移项通分，把它整理成一边为零的形式；再「商化积」变成整式不等式，带等号时必须补上「分母不为零」。分子分母都是二次因式时，直接分解成若干个一次因式，用数轴标根法一次读出解集。整个过程不要出现「两边同乘分母」的动作。 方法3　三个二次的关系与解集反求参数：解集的端点就是方程的根，用韦达定理把「根与系数的关系」翻译成关于参数的方程；解集取两边说明开口向上，取中间说明开口向下，这个对应关系要背准。若题目给的是「解集为全体实数」或「解集为空集」，改用开口方向加判别式判断，不必去找根。 方法4　换元化归与高次不等式：把陌生的式子（指数式、对数式、复合函数值）整体设为新变量，化成一元二次不等式，解完再回代，并补上新变量自身的取值范围；高次不等式先因式分解，再用数轴标根法读解集。化归的方向永远是「把不会解的式子变成会解的式子」，回代时把定义域一起带回来。 三、易错提醒 ◆ 带等号的分式不等式漏写「分母不为零」。化成之后若直接写成，就把分母的零点 x = 1 也收进了解集，正确结果是。 ◆ 忘记先把二次项系数化为正数。两边同乘 −1 时不等号要反向，正确写法是，解集是 (−1, 2)；写成就完全错了。 ◆ 把「解集是 (−∞, m) ∪ (n, +∞)」当成 a < 0。解集取两边说明抛物线开口向上，a > 0；解集取中间才对应 a < 0，这一步对应关系最容易记反，由解集反求参数时首当其冲。 ◆ 商化积之后直接把分式不等式两边乘分母。分母的符号未知，直接乘会改变不等号方向；即使分母恒正，也要先说明它恒正再乘，否则过程站不住。 ◆ 含参讨论漏掉二次项系数为零。题目写成… 时必须先讨论 m = 1 的情形，否则会把退化成一次不等式的那一支整个丢掉。 ◆ 把「在区间上恒成立」当成「在全体实数上恒成立」。判别式 Δ < 0 只管整条抛物线；限定 x ∈ (0, 2) 时，限制条件往往来自区间端点，正确做法是求函数在该区间上的最值再与零比较。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 一元二次不等式的图象解法 题注：题目问的是充分性与必要性，先把「」解出来，再看两个解集谁包含谁。 （2026·天津卷·高考真题）设 x ∈ R，则「x > 0」是「」的（　　） A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先把解出来。左边因式分解：。 二次项系数为正，两根为 −3 与 0，抛物线开口向上，「大于取两边」，所以的解集为 (−∞, −3) ∪ (0, +∞)。 记 A = (0, +∞)，B = (−∞, −3) ∪ (0, +∞)。区间 (0, +∞) 上的每一个数都在 B 里，所以 A 是 B 的真子集，于是「x > 0」能推出「」。 反过来，B 中的数不一定落在 A 里：x = −4 时，，但 −4 > 0 不成立，所以「」推不出「x > 0」。 即充分性成立、必要性不成立，「x > 0」是「」的充分而不必要条件，选 A。 【点拨】判断充分、必要，本质是比较两个解集：小范围推大范围，大范围推不出小范围。本题的落点是把解成 (−∞, −3) ∪ (0, +∞)，这一解集把 0 的左边也包了进来，必要性就是在这一段上被否掉的。找反例时优先挑端点之外的整数，比代数推演快得多。 【例 2】 方法二 · 分式不等式的等价转化 题注：右边不是零，先移项、通分，化成一边为零的分式不等式；再商化积。带等号，别忘补上分母不为零。 （2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（　　） A．{x | −2 ≤ x ≤ 1}　　B．{x | x ≤ −2} C．{x | −2 ≤ x < 1}　　D．{x | x > 1} 【答案】C 【解析】右边是常数 2 而不是零，先移项，再通分，把右边化成零： ，即。 分子化简：x − 4 − 2x + 2 = −x − 2，于是。 两边同乘 −1，不等号反向，并把分子按 x 的降幂排列：。 商化积，同时补上分母不为零：且 x ≠ 1。 两根为 −2 与 1，二次项系数为正，「小于取中间」，的解集是 −2 ≤ x ≤ 1。 把 x = 1 去掉，得 −2 ≤ x < 1，所以解集为 {x | −2 ≤ x < 1}，选 C。 【点拨】分式不等式的第一动作永远是「把右边化成零」，右边不为零就移项、通分。第二步商化积时，「分母不为零」这句话决定了端点取不取：本题的 1 是分母的零点，必须挖掉，所以 C 正确而不是 A。同乘 −1 时不等号反向这一步也常被漏掉，写的时候单独起一行提醒自己。 【例 3】 方法三 · 三个二次的关系与解集反求参数 题注：已知解集反求参数，抓住「解集的端点就是方程的根」这一条，代一个点就能把参数定下来。 （2026·重庆渝中·二模）已知不等式的解集为 {x | x ≥ 1 或 x < −1}，则实数 a 的值为（　　） A．−1　　B．0　　C．1　　D．2 【答案】C 【解析】解集的右端点是 x = 1，而这一端取到了等号，说明 x = 1 是方程的根。 把 x = 1 代入：，即，解得 a = 1。 再把 a = 1 代回原不等式核对：此时不等式为。 移项通分：，即。 商化积并补上分母不为零：且 x ≠ −1。 两根为 −1 与 1，二次项系数为正，「大于取两边」，的解集是 x ≤ −1 或 x ≥ 1；去掉 x = −1，得 x < −1 或 x ≥ 1，与题设的解集完全一致。 所以 a = 1，选 C。 【点拨】由解集反求参数有两条抓手：一是端点是根，二是韦达定理。本题只用第一条就够了，因为解集的端点 1 恰好是等号取到的那一端，直接代入方程即可；若是「解集为全体实数」或「解集为空集」这类不给端点的说法，就要换成开口方向加判别式。参数解出来之后一定要代回原式核一遍解集，因为「端点是根」只是必要条件，不是充分条件。 【例 4】 方法四 · 换元化归与高次不等式 题注：自变量是 ln x，先把 ln x 整体代进 f 的表达式，化简成关于 x 的分式不等式，再按一元二次不等式的办法处理，最后别忘了定义域。 （2026·安徽安庆·二模）设。解不等式。 【答案】 【解析】先把 ln x 代入 f 的表达式：。 由与，得，其中真数要求 x > 0。 所以原不等式化为。 移项通分：，即。 因为 x > 0，分母为正，所以只需分子小于零：。 方程的两根为与，二次项系数为正，「小于取中间」，得。 再与定义域 x > 0 取交集：因为，所以解集为。 【点拨】换元化归的关键是「回代时把新变量的范围一起带回来」。本题把 ln x 代进去之后出现与 x，通分后就是标准的一元二次不等式，难点全在两头：一头是指数对数的化简，另一头是定义域 x > 0 与解集取交集。左端点是负数，必须被 x > 0 截掉，少了这一步答案就会写成。 五、巩固练习 1. 方法一 · 一元二次不等式的图象解法 （2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合 A = {x | −1 < x < 3}，，则 A ∪ B = （　　） A．(−∞, −2] ∪ (−1, +∞)　　B．(−∞, −2] ∪ (−1, 3) C．(−1, +∞)　　D．(−1, 2] 【答案】A 【解析】先解一元二次不等式，把集合 B 写成区间：即，因式分解得。 两根为 −2 与 2，二次项系数为正，「大于取两边」，所以 x ≤ −2 或 x ≥ 2，即 B = (−∞, −2] ∪ [2, +∞)。 把 A = (−1, 3) 与 B 取并集：(−∞, −2] ∪ (−1, 3) ∪ [2, +∞) = (−∞, −2] ∪ (−1, +∞)。 所以 A ∪ B = (−∞, −2] ∪ (−1, +∞)，选 A。 【点拨】用描述法给出的集合，第一步永远是把它解成区间；这一步做对之后，交集并集只是在数轴上画两段、数一数的事。是「大于取两边」的最典型形态，端点 2 取到等号所以要写成闭的。并集把 (−1, 3) 与 [2, +∞) 接在一起时，2 被覆盖了，中间不会断开，这是本题唯一的陷阱。 2. 方法一 · 一元二次不等式的图象解法 （2026·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集为（　　） A．{x | −1 ≤ x ≤ 2}　　B．{x | −1 < x < 2} C．{x | x ≤ −1 或 x ≥ 2}　　D．{x | x < −1 或 x > 2} 【答案】D 【解析】左边已经是两个一次因式的乘积，二次项系数为正，两根为 −1 与 2，抛物线开口向上。 「大于取两边」，所以的解集为 {x | x < −1 或 x > 2}。 故选 D。 【点拨】这是最基础的一步，考的是「图形与解集的对应」：严格不等号对应空心端点，所以 −1 与 2 都不在解集里，A 与 C 的闭端点因此错误。把因式分解、求根、开口方向、端点开闭这四件事连成一条流水线，就能在十几秒内结束这类题。 3. 方法二 · 分式不等式的等价转化 （2026·上海卷·高考真题）关于 x 的不等式的解集为______。 【答案】(−2, 3) 【解析】右边已经是零，分子分母各是一个一次因式，直接商化积： 等价于。 两根为 −2 与 3，二次项系数为正，「小于取中间」，得 −2 < x < 3。 x = 3 本来就不在开区间内，分母不为零的条件自动满足，所以解集为 (−2, 3)。 【点拨】这是分式不等式的最简形态：右边已经是零，两边各一个一次因式，一次商化积就结束。注意这里是用「严格小于」考的，所以不用额外讨论分母零点；一旦换成 ≥ 或 ≤，同样的题目就必须补上 x ≠ 3，答案要写成 −2 ≤ x < 3。 4. 方法二 · 分式不等式的等价转化 （2025·上海卷·高考真题）不等式的解集为______。 【答案】(1, 3) 【解析】商化积：等价于。 两根为 1 与 3，开口向上，「小于取中间」，解得 1 < x < 3。 所以解集为 (1, 3)。 【点拨】本题与练 3 是同一个考法：2025 年上海卷与 2026 年上海卷连续两年都用「分子分母各一个一次因式的分式不等式」作为填空题的起点，可见这一路的地位。两题的差别只在两根的位置，做法完全一致，属于必须拿满的基础分。 5. 方法二 · 分式不等式的等价转化 （2026·宁夏·一模）不等式的解集为（　　） A．　　B． C．　　D．(−∞, 1) 【答案】B 【解析】右边不是零，先移项：。 通分：，即。 两边同乘 −1 并反向不等号，把分子按 x 的降幂排列：。 商化积并补上分母不为零：且 x ≠ 1。 两根为 1 与，开口向上，「小于取中间」，的解集是。 去掉 x = 1，得，所以解集为，选 B。 【点拨】带等号是本题的全部难点。若漏掉「分母不为零」，答案会写成，也就是选项里没有的那个闭区间；而选项 A 把右端点也开掉了，错在忘掉等号可以在分子为零处取到。两个端点一开一闭，正好各堵一个坑。 6. 方法四 · 换元化归与高次不等式 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数。 （1）求极值点的个数，并解不等式。 【答案】极值点 2 个；解集 [1, 2] ∪ [3, +∞) 【解析】先求导：的导函数为。 判别式 Δ = 144 − 4 · 3 · 11 = 144 − 132 = 12 > 0，所以导函数有两个不相等的实根，有两个极值点。 再解不等式。把因式分解：。 把三个根 1、2、3 从小到大标在数轴上，从最右端开始，每个因式都是一重，依次穿过： x > 3 时三个因式都为正，乘积为正；2 < x < 3 时两正一负，乘积为负；1 < x < 2 时一正两负，乘积为正；x < 1 时三个因式都为负，乘积为负。 所以的解集为 [1, 2] ∪ [3, +∞)。 【点拨】三次不等式的标准做法就是因式分解加数轴标根：分解成若干个一次因式之后，符号的正负只取决于「有几个因式是负的」，越过分界点就翻一次号，按这个规律读区间比逐段代入试算快得多。第一问的极值点个数其实是同一份信息，导函数的两个根对应两次单调性改变，也就对应两个极值点。 六、拓展 一元二次方程根的分布：设（a > 0），方程在区间 (m, n) 内有两个不相等实根，等价于判别式大于零、对称轴落在 (m, n) 内、并且、。这条结论的精神是把「根的位置」翻译成「端点函数值与对称轴的位置」，与解不等式用的是同一套「看图象」的思路，本册不用，遇到时把区间端点代进函数比对符号即可。 含绝对值的一元二次不等式：这类式子，去掉绝对值的方式是把它展开成不等式组，再分别解两个一元二次不等式取交集。如果二次式恰好能配成的形式，那就直接写成（t ≥ 0），开平方化成，比拆成不等式组更快。 分式不等式的分类讨论解法：不商化积，直接按分母的正负分两类讨论：分母为正时原不等式与分子同号，分母为负时与分子异号，每一类里各解一个整式不等式，最后把两类的结果并起来。这条路写起来长，但当分母含有参数、符号无法预先判断时，它是唯一可行的办法，值得掌握。 二次函数在闭区间上的最值：含参二次不等式在给定区间上恒成立，最终要靠二次函数在闭区间上的最值来判定；核心是比较对称轴与区间的位置关系，分成轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧三种情形分别求最值。这套分类思路与上面「一元二次方程根的分布」完全一致，属于同一件事的两种说法。 学科网（北京）股份有限公司 $