精品解析：宁夏银川市第三十八中学2026-2027学年第一学期九年级数学自学检测一

银川市第三十八中学2026-2027第一学期 九年级数学自学检测一测试试卷 （时间120分钟 满分120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 矩形的四个角相等 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 3. 根据下列表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 无法判定 4. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可能是（　　） A. B. C. 5 D. 6 6. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（　　） A. 20米 B. 11米 C. 10米 D. 9米 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化为一般形式是______． 10. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 11. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 12. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 13. 如图所示，菱形中，对角线，相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于________． 14. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2cm，则矩形对角线BD的长为________cm． 15. 若是一元二次方程的两个根，则的值是________． 16. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 三、解答题（每题6分，共36分） 17. 用指定的方法解方程 （1）（用配方法） （2）（用公式法） 18. 用适当的方法解方程． （1） （2） 19. 如图，在中，对角线与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）不解方程，判断方程根的情况． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 21. 在四边形中，，对角线交于点平分，过C作，交延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 22. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 四、解答题（第23、24每小题8分，第25、26每小题10分，共36分） 23. 如图，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求ABCD的面积． 24. 如图，矩形纸片中，，，现将，重合，使纸片折叠压平，折痕为，连接． （1）证明：． （2）判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论． 25. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 26. 如图1，已知在中，，cm，cm．点由出发沿向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为cm/s．以为边作平行四边形，连接，交于点．设运动的时间为（单位）（）．解答下列问题： （1）用含有的代数式表示___________ （2）如图1，当为何值时，平行四边形为矩形？ （3）如图2，当为何值时，平行四边形为菱形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三十八中学2026-2027第一学期 九年级数学自学检测一测试试卷 （时间120分钟 满分120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．由原方程变形得到：，该方程是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 矩形的四个角相等 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，选项A说法正确，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，则矩形的四个角相等，选项B说法正确，不符合题意； C、菱形的对角相等，邻角互补，四个角不一定相等，只有特殊的菱形（正方形）才满足四个角相等，选项C说法错误，符合题意； D、正方形兼具菱形和矩形的对角线性质，对角线互相垂直平分且相等，选项D说法正确，不符合题意． 3. 根据下列表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】由表格可发现y的值和0.84之间有个0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 所以的一个解x的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 4. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ． 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可能是（　　） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程没有实数根得出判别式小于0，解不等式得到k的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴ ∵，， ∴ 即 解得 观察选项，只有在该范围内 故选：B． 6. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，从而证得是等边三角形，利用勾股定理求出的长，最后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，  ∴，  ∵，点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴， 在中，，  ∴菱形的面积为．  7. 如图，在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，结合矩形地面的宽为9m，长为16m，小路的宽为x m，得出种草的部分可合成宽为，长为的矩形，然后根据耕地面积为，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：∵矩形地面的宽为9m，长为16m，小路的宽为x m， ∴种草的部分可合成宽为，长为的矩形， 又∵耕地面积为， ∴根据题意，可得：． 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键． 8. 如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（　　） A. 20米 B. 11米 C. 10米 D. 9米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、HE，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点， ∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的中位线， ∴EF＝AC＝（米），FG＝BD＝（米），HG＝AC＝（米），HE＝BD＝（米）， ∴四边形EFGH总长度＝EF+FG+GH+HE＝20（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化为一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先去括号，再变成的形式即可． 【详解】解： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用整式运算和等式性质进行方程变形． 10. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 11. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 12. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 13. 如图所示，菱形中，对角线，相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于________． 【答案】 3 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，求得的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段的长． 【详解】解：∵菱形的周长为24， ∴，， ∵H是的中点， ∴． 14. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2cm，则矩形对角线BD的长为________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形性质得出AC＝BD，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出△AOB是等边三角形，求出∠ADB＝30°，得出BD＝2AB＝4cm即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°， ∴OA＝OB， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ABO＝60°，∠ADB＝30°， ∴BD＝2AB＝4（cm）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键． 15. 若是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解． 【详解】∵是一元二次方程的两个根， ∴， ， ∴原式＝＝7－1＝6． 【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键． 16. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°， ∵AB=AD（菱形的邻边相等）， ∴△ABD是等边三角形， 连接DE，∵B、D关于对角线AC对称， ∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵菱形ABCD周长为16， ∴AD=16÷4=4， ∴DE=． 故答案为：2． 【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 三、解答题（每题6分，共36分） 17. 用指定的方法解方程 （1）（用配方法） （2）（用公式法） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）按照配方法步骤移项后配方，将方程化为完全平方等于常数的形式，再开方求解； （2）确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式后代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 【小问2详解】 解：由，得，，， ∴， ∴，即 ，． 18. 用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 19. 如图，在中，对角线与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定； （1）根据已知条件得出，即可证明平行四边形是菱形，根据菱形的性质，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，是菱形，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）不解方程，判断方程根的情况． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，配方后判断其符号，即可确定根的情况； （2）将已知根代入方程求出参数的值，再求解方程得到另一根． 【小问1详解】 解：， ，，， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程，得， 解得， 原方程为， ， 解得，， ∴方程的另一个根为3． 21. 在四边形中，，对角线交于点平分，过C作，交延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义： （1）先证明四边形是平行四边，，再由角平分线的定义推出，进而得到，据此即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，进而证明，进一步证明四边形是平行四边形，得到，再由菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 22. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 【答案】4cm 【解析】 【详解】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm，则围成的长方体纸盒的底面长是（30-2x）cm, 宽是（30-2x）cm,根据底面积等于264 cm2列方程求解. 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264． 整理，得 x2 -25x + 84=0． 解方程，得，（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为4cm． 四、解答题（第23、24每小题8分，第25、26每小题10分，共36分） 23. 如图，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论； （2）先求得∠ADE＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可求AE的长度，再由勾股定理求得DE的长，则可得BF的长度，再根据含30度角的直角三角形的性质可求AF的长度，由勾股定理求得AB的长，即可求得▱ABCD的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DCAB，DC＝AB， ∵CF＝AE， ∴CD﹣CF＝AB﹣AE， ∴DF＝BE且DCAB， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形； 【小问2详解】 解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB， ∴∠ADE＝30°， ∴AE＝AD＝2，DE＝， 由（1）得：四边形DFBE是矩形， ∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠FAB＝∠DAB＝30°， ∴AF＝2BF=4， ∴AB＝， ∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝6×2＝12． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，运用含30度角的直角三角形解决问题是本题的关键． 24. 如图，矩形纸片中，，，现将，重合，使纸片折叠压平，折痕为，连接． （1）证明：． （2）判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质可知： ，，， ∴； （2）四边形是菱形，证明如下： 连接，由折叠可知，垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，，由可证； （2）由折叠可知，，；由四边形是矩形，可得对边互相平行，再由两直线平行内错角相等可得，由折叠得，等量代换可得，所以得，由四边相等的四边形为菱形，即可证得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 26. 如图1，已知在中，，cm，cm．点由出发沿向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为cm/s．以为边作平行四边形，连接，交于点．设运动的时间为（单位）（）．解答下列问题： （1）用含有的代数式表示___________ （2）如图1，当为何值时，平行四边形为矩形？ （3）如图2，当为何值时，平行四边形为菱形？ 【答案】（1）5-t；（2）秒；（3）秒 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理求得AC=10，然后表示出AM，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AO即可； （2）利用矩形的性质得到△AMN∽△ACB，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值； （3）根据菱形的性质得到EN⊥AM，根据相似三角形的性质列出比例式计算； 【详解】解：（1）\∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm． ∴由勾股定理得：AC==10cm， ∵点M由C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s， ∴CM=2tcm， ∴AM=AC-CM=10-2t， ∵四边形AEMN为平行四边形， ∴AO=AM=5-t； 故答案为：5-t； （2）当▱ANME是矩形时，MN⊥AB， ∴MN∥BC， ∴△AMN∽△ACB， ∴，即， 解得：t=， ∴当t=时，▱ANME是矩形； （3）当▱ANME是菱形时，EN⊥AM，AO=OM=5-t， 则△ANO∽△ACB， ∴，即， 解得，t=， ∴当t=时，▱ANME为菱形； 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形和菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $