4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1.1 n次方根与分数指数幂（教学设计） 课题 次方根与分数指数幂 单元 第四章指数函数与对数函数（指数） 学科 高中数学（人教版） 年级 高一 学习目标 、理解次方根与根式的概念，能根据的奇偶性正确表示和化简根式，掌握及的化简规律； 、理解分数指数幂的意义，能进行根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算性质； 、会运用有理数指数幂的运算性质进行化简、求值，发展数学运算素养，体会从整数指数幂到有理数指数幂的推广与类比思想。 教材分析 本节是在初中平方根、立方根以及整数指数幂的基础上，把根式与指数幂推广到一般情形。教材由、引出次方根：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，。 教材分为奇数、偶数两种情形研究根式：为奇数时，正数的次方根是正数，负数的次方根是负数，记作；为偶数时，正数有两个互为相反数的次方根，记作；负数没有偶次方根，的任何次方根都是。式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数，且有。 教材通过探究得到的化简规律：为奇数时；为偶数时。例对四类根式进行化简求值。 在此基础上，教材规定正数的正分数指数幂（，，），负分数指数幂；的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义。并把整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂。例—例分别进行求值与化简。 本节把指数的取值范围由整数拓展到有理数，是后续学习无理数指数幂、指数函数的直接基础。 学情分析 学生在初中已学习平方根、立方根及整数指数幂的运算，具备学习次方根与分数指数幂的经验基础。 本节学生易出现的障碍： 、对为奇、偶数时根式的表示与符号规律区分不清，偶次方根容易漏掉正负两种情况； 、化简时忽略的奇偶性，偶数情形忘记加绝对值； 、对分数指数幂的意义理解不深，根式与分数指数幂互化时分子、分母对应关系出错； 、运用运算性质化简时，忽略底数为正的前提，运算顺序混乱。 教学策略：类比平方根、立方根，分类讨论的奇偶性；通过具体例子归纳根式化简规律，再推广到分数指数幂。 教学重点 次方根与根式的概念，的化简；分数指数幂的意义及根式与分数指数幂的互化、有理数指数幂的运算。 教学难点 为偶数时的理解；分数指数幂意义的理解及运算性质的灵活运用。 教学准备 多媒体课件（）、次方根示意图片。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【复习回顾提出问题】 教师：我们知道，如果，那么叫做的平方根，例如是的平方根；如果，那么叫做的立方根，例如是的立方根。 提问：由于，我们把叫做的什么？由于，又叫做的什么？一般地，时与是什么关系？ 教师点明课题：今天我们在平方根、立方根的基础上学习次方根与分数指数幂。 、回顾平方根、立方根的概念； 、类比得出次方根、次方根； 、明确本节学习目标。 由初中已有经验自然引入次方根，体现知识的推广与连续性。 新知 探究 【活动一：次方根与根式】 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，。 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，的次方根用符号表示。例如： ，，。 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数，正的次方根用表示，负的用表示，合并写成（）。例如： ，，。 结论：负数没有偶次方根；的任何次方根都是，记作。 式子叫做根式（），这里叫做根指数，叫做被开方数。根据次方根的意义，可得，例如，。 、记录次方根的定义； 、按的奇偶性分类归纳根式的表示； 、标注“负数没有偶次方根”“”。 类比平方根、立方根，分类讨论的奇偶性，建立次方根与根式的概念。 【活动二：的化简】 【探究】表示的次方根，一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？ 可以得到：当为奇数时，；当为偶数时， ，；，。 【例】求下列各式的值： ；；；。 解：； ； ； ，；，。 教师强调：化简时先看的奇偶性，偶数情形结果要加绝对值。 、猜想并归纳的化简规律； 、独立完成例； 、同桌互查偶数情形是否加绝对值。 通过探究与例，掌握的化简规律，强化分类讨论与绝对值意识。 新知 探究 【活动三：分数指数幂】 根据次方根的定义和数的运算：；。这就是说，当根式被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。 思考：当被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂？例如： （），（），（）。 由此规定正数的正分数指数幂的意义： （，，）。 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂相仿： （，，）。 例如；。 与的整数指数幂相仿规定：的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数。 、观察根式化分数指数幂的过程； 、记录正、负分数指数幂的规定； 、标注的分数指数幂的规定。 由根式自然引出分数指数幂，完成指数取值范围由整数到有理数的拓展。 【活动四：有理数指数幂的运算性质】 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用，即对于任意有理数，均有： （，）； （，）； （，，）。 【例】求值：；。 解：； 。 【例】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中）：；。 ； 。 【例】计算下列各式（式中字母均为正数）： ； ； 。 、记录有理数指数幂的三条运算性质； 、跟随完成例—例； 、总结根式化分数指数幂后运算的一般步骤。 把整数指数幂运算性质推广到有理数指数幂，并通过例题规范化简、求值。 课堂 练习 【教材练习】 、用根式的形式表示下列各式（）：；；；。 、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：（）；（）；（）；（）。 、计算下列各式：；；（）；。 、独立完成练习； 、第题注意根式与分数指数幂互化； 、第题按运算性质分步计算。 当堂检测根式与分数指数幂的互化及运算性质的应用。 课堂 小结 一、次方根与根式 为的次方根；为根式，。 奇：；偶：。负数没有偶次方根。 二、分数指数幂 ；（）。 三、有理数指数幂的运算性质 ；；。 、回顾次方根与分数指数幂； 、自评：能否正确处理偶数情形的绝对值。 结构化小结，强化分类讨论与运算性质。 作业 布置 、教材习题复习巩固第、题； 、教材习题综合运用第、题； 、预习《无理数指数幂及其运算性质》：思考指数为无理数时幂的意义。 记录作业，课后完成；带着问题预习下一课时。 分层作业巩固根式与分数指数幂，预习衔接。 板书 设计 次方根与分数指数幂 一、次方根：；，。 二、：奇；偶。 三、分数指数幂：；。 四、运算性质：；；。 学科网（北京）股份有限公司 $