第一章 空间向量与立体几何 复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 空间向量与立体几何 知识归纳与题型总结 题型01 空间向量及其运算 一、空间向量的概念： 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 注：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 二、空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 3、 共线向量定理 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 4、 共面向量定理 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 5、 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 6、 空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 7、 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【典例1-1】在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 【典例1-2】已知正方体的棱长为2，点满足，则点到平面的距离为________． 【典例1-3】如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A． B．5 C． D． 题型02 空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 3、 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【典例2-1】（多选）在正四棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的有（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．无论取何值，三棱锥的体积均为定值 C．当时，点的轨迹长为 D．当时，四棱锥的体积为定值 【典例2-2】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【典例2-3】在正四面体ABCD中，不能与构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 注：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 二、空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 三、用空间向量的坐标运算解决几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 注：特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【典例3-1】（多选）已知向量，，，则（       ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【典例3-2】（多选）设向量，，则（    ） A．当时， B． C．当时， D． 【典例3-3】（多选）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 考点04 空间向量的应用 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 二、用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 三、用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 四、用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 五、用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【典例4-1】如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 【典例4-2】如图，正方体的棱长为1，为棱上的动点. (1)若，求到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的余弦值. 【典例4-3】如图，在平行六面体中，，，，. (1)求证：； (2)求的长； (3)求与所成角的余弦值. 一、单选题 1．给出下列命题，其中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，且满足，则点的坐标为 C．若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D．向量在向量上的投影向量的模长为 2．在直三棱柱中，，，，若其外接球球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 5．在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点D，则平面与平面所成的二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 8．点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 二、多选题 9．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（多选）在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．三棱锥的体积恒为定值 C．平面截正方体所得的截面图形恒为梯形 D．当时，三棱锥的外接球的表面积为 11．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（    ） A．正方体的外接球的表面积为 B．存在点P，使得 C．若，则P点运动轨迹的长度为 D．若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 12．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 13．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值为________． 14．空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求的值； (3)若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 16．如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求三棱锥的体积． 17．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 18．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设．判断直线是否在平面内，说明理由． 19．把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 空间向量与立体几何 知识归纳与题型总结 题型01 空间向量及其运算 一、空间向量的概念： 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 注：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 二、空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 3、 共线向量定理 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 4、 共面向量定理 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 5、 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 6、 空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 7、 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【典例1-1】在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】取中点构造垂直关系，将向量分解简化运算，结合已知条件求解向量模长与数量积，最终计算夹角余弦值. 【详解】如图，取BD的中点O，连接OA，OC，则由题易得，，， 又因为平面平面CBD，平面平面，平面BCD， 所以平面ABD，所以，所以． ， 因为，所以， 设，由题意得 则，所以， 则，则． 设AC与BD夹角为，则． 【典例1-2】已知正方体的棱长为2，点满足，则点到平面的距离为________． 【答案】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，进而求得点到平面的距离. 【详解】由正方体，可得平面， 所以， 设点到平面的距离为， ， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以点到平面的距离为. 【典例1-3】如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以，即的长为． 题型02 空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 3、 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【典例2-1】（多选）在正四棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的有（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．无论取何值，三棱锥的体积均为定值 C．当时，点的轨迹长为 D．当时，四棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【分析】由平面向量基本定理得出所在的平面，算出点到平面的距离，即可算出三棱锥的体积；根据可以得出，可得点的轨迹为线段，即可算出轨迹长度；求出时点的轨迹，判断该轨迹与平面的位置关系，即可判断四棱锥的体积是否为定值. 【详解】对于选项A和B，因为，由平面向量基本定理得：点在平面内，由正四棱柱性质可得平面平面，且平面，则点到平面的距离为1，三棱锥的体积，所以选项A和B正确； 对于选项C，当时，有，可得点的轨迹为线段，由正四棱柱性质可得，所以，所以选项C错误； 对于选项D，当时，，则点的轨迹为线段，由正四棱柱性质可得平面，所以四棱锥的体积为定值，所以选项D正确. 【典例2-2】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【详解】对于A，当，不共线时，满足，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，即，三点共线，C正确； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定共面， 则存在实数，使得，于是，此方程组无解， 即不共面，因此也是空间的一个基底，D正确. 【典例2-3】在正四面体ABCD中，不能与构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，为空间基底，将各选项向量用表示，判断三个向量是否共面，共面则不能构成基底. 【详解】由正四面体的性质，不共面，设，，，则为空间的一组基底，则. 选项A：，， 设，整理得，由不共面，得系数全为0， 解得，故三个向量不共面，可构成基底，A不符合题意； 选项B：，，， 三个向量均仅由线性表示，都在平面内，故共面，不能构成基底，B符合题意； 选项C：，； 设，整理得， 由系数全为0解得，故三个向量不共面，可构成基底，C不符合题意； 选项D：，； 设，整理得，由系数全为0解得，故三个向量不共面，可构成基底，D不符合题意. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 注：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 二、空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 三、用空间向量的坐标运算解决几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 注：特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【典例3-1】（多选）已知向量，，，则（       ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【详解】 选项A：计算得， 若，则存在实数满足，显然无实解，故A错误； 选项B：由模长公式得，故B正确； 选项C：因，， 则，又因，则，故C错误； 选项D：因，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 【典例3-2】（多选）设向量，，则（    ） A．当时， B． C．当时， D． 【答案】ACD 【分析】对于A，结合向量垂直的坐标表示即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，利用向量平行的坐标表示结合同角三角函数关系即可判断；对于D，利用向量的数量积坐标公式结合辅助角公式即可判断. 【详解】向量，， 则当时，向量，，，所以，A选项正确； 当时，向量，，，B选项错误； 当时，， 所以，C选项正确； 向量，， 所以 ， 其中，， . D选项正确； 【典例3-3】（多选）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】ABD 【分析】选项A利用空间点关于面对称坐标规则算出B点坐标验证；选项B由共面向量定理，三个向量共起点且满足，可得，，，四点共面；选项C验证系数之和不等于1，可得，，，四点不共面；选项D由三点共线则向量平行求出，即可得到． 【详解】选项A，关于平面对称的两点，坐标相同，坐标互为相反数． 由可得的坐标为， 故，A正确． 选项B，根据共面向量定理，可由、线性表示， 说明三个向量共面，且三个向量有公共起点A， 因此，，，四点共面，B正确． 选项C，若，，，共面，则对任意点P， 需满足． 已知，其中， 故四点不共面，C错误． 选项D，已知，，三点共线， 则，且， 故对应坐标成比例：，解得，所以，D正确． 考点04 空间向量的应用 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 二、用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 三、用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线l1 , l2的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线l的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 四、用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 五、用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【典例4-1】如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点，连接，如图： ，. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. 又与相交，且平面， 平面. (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）方法一：以中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法三，利用等体积法求解点到平面的距离，进而确定的位置，后续求解与方法一相同. 【详解】（1）略 （2）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为. 取中点，连接. 由（1）知，平面平面. 又分别为中点，. 平面，.. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ，，，，,, ，，. 设. 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则， . 设点到平面的距离， ，又. 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法二）平面，而平面，， 取的中点，中点. 又易知，四边形是平行四边形，. 又由（1）知，平面，则平面. 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系. 则，，，， ，，， ，，. 设， . 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则. 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法三）设点到平面的距离为， ， 利用等积法可得故， 又，则，， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. 【典例4-2】如图，正方体的棱长为1，为棱上的动点. (1)若，求到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，结合点到平面的距离公式求解； （2）确定点的坐标，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求出线面角的正弦值，进而求得余弦值。 【详解】（1）如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 由题意可知， 因为，所以为的中点，则，所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则，所以 又， 所以点到平面的距离为 （2）因为，且在棱上，所以为线段上靠近的三等分点，即， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则，所以， 又，设直线与平面所成角为， 则， 因为， 所以， 即与平面所成角的余弦值为 【典例4-3】如图，在平行六面体中，，，，. (1)求证：； (2)求的长； (3)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)由题意知，， 因为， 则， 所以 ， 所以即. (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量基本定理用来表示，利用向量的数量积公式证明，即可证明； （2）利用模长公式计算即可求出答案. （3）利用向量的夹角公式求出，即可得答案. 【详解】（1）略. （2）由（1）知， 所以 ， 所以. （3）因为， 所以 . 又 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 一、单选题 1．给出下列命题，其中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，且满足，则点的坐标为 C．若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D．向量在向量上的投影向量的模长为 【答案】D 【分析】根据空间点面对称性质，空间点共线坐标表示，共面向量定理以及向量投影模长公式逐项分析即可. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标为，故A错误； 对于B，设点的坐标为，由点， 则， 又，所以， 即，解得：，所以点的坐标为，故B错误； 对于C，当点共面时，对空间任意一点，若， 由共面向量定理可得：，解得：，故C错误； 对于D，由向量，则， 所以向量在向量上的投影向量的模长为： ，故D正确. 2．在直三棱柱中，，，，若其外接球球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】因为，，，所以， 解得，所以，因此， 所以外接圆圆心位于中点，且底面外接圆半径， 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球的球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 故所求线线角的余弦值为. 3．已知在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积，将已知条件转化为向量关系.设，，，根据已知模长和夹角求出，进而判断的大小. 【详解】设，，，则，，. 又，，如下图： 所以，. 在平行六面体中，. 由，得， 即，得. 所以，即. 在平行四边形中，，因此. 4．已知，分别是圆台的上、下底面圆半径，且，，，若异面直线，所成的角为，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过向量分解将空间线段长度转化为向量运算，利用异面直线与所成角，分析与的夹角情况，需分别计算向量数量积。再代入已知的各线段长度和向量数量积结果，计算的可能值。 【详解】因为，，，异面直线所成的角为， 所以或，所以 ． 当时，， 当时，． 综上，或，由于选项中只有，故选C． 5．在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 6．已知直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点D，则平面与平面所成的二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】在直三棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，设平面和平面的法向量分别为， 则，，取，得， 因此，由图知平面与平面所成的二面角为钝角 所以平面与平面所成的二面角的余弦值为. 7．已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体中三点的关系将问题转化. 【详解】由题意知为边长为的等边三角形，取E为的中点，则. 连接,由题意知，,则. ,当且仅当三点共线时取得最大值． 8．点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据空间向量共面定理可得当点P位于平面内时，，设与平面平行的平面为，外接球球心为，分析可得当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大，进而分析求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算可得，，进而得到，再结合基本不等式求解即可. 【详解】法一：因为， 所以当点P位于平面内时，， 设与平面平行的平面为，正方体的外接球球心为． 则当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大． 记棱的中点为E，则面， 故图中射线与球的交点即为点P． 设棱AB，的中点分别为F，G，取过O，，E的截面，如图， 连接OP交直线FG于点M，过点O作垂足为H， 则，， 则的最大值为． 法二：设正方体的外接球球心为，建立如图的坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 又，得， ， 又点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，则． 得， 设，则， 而， 因为， 故当，且时，取最大值为， 所以的最大值为，即的最大值为． 二、多选题 9．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于B，假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 该式显然不成立，所以向量，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于C，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，解得 ， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底； 对于D，若，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，该方程组无解， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底． 10．（多选）在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．三棱锥的体积恒为定值 C．平面截正方体所得的截面图形恒为梯形 D．当时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BC 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，求，由此判断A；对于B，计算三棱锥的体积；对于C，过点作，，证明，，可得结论；对于D，设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为R，则由列方程组，求解可得R，进而得外接球的表面积. 【详解】对于选项A，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 因为， 又，故， 所以不垂直，故不垂直，A错误； 对于选项B，因为平面， 所以点到平面的距离为定值，又平面，故， 所以三棱锥的体积，故B正确； 对于选项C，过点作，， 因为，所以， 因为，，， 所以，又，所以，， 所以平面截正方体所得的截面为四边形，该四边形恒为梯形，故C正确； 对于选项D，因为,，可得，又， 设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为， 则由，得 ， 即，解得， 所以，， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D错误. 11．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（    ） A．正方体的外接球的表面积为 B．存在点P，使得 C．若，则P点运动轨迹的长度为 D．若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出正方体外接球半径计算判断A；利用空间位置的向量证明判断B；求出轨迹并求出其长度判断C；利用线线角的向量法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图： 则，设， 对于A，正方体的外接球半径，表面积，A正确； 对于B，，当P与B重合时，，，则，B正确； 对于C，，，由，得， 即，点P运动的轨迹为线段，其长度为，C错误； 对于D，，由，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题 12．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 【答案】 【详解】如图过作于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则． 又，所以， 13．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面垂直、线面平行的向量证明得到平面的法向量与垂直，进而列方程求解即可. 【详解】连接，设，连接. 因为四棱锥底面为正方形，所有侧棱长相等，故为正四棱锥，因此平面. 以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. 设底面边长为，则，侧棱长，则， 故，，，， 所以，，. 因为平面，故是平面的一个法向量. 设，，则. 由平面，得，所以，即， 整理得，解得，即，故， 则，所以. 14．空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用阿基米德多面体的定义，借助正方体建立空间直角坐标系，设，建立异面直线与所成角与的函数关系，通过求函数值域得到取值范围. 【详解】由阿基米德多面体的定义可知，原正方体棱长为.以正方体的一个顶点为坐标原点，三条棱所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设. 所以，， 所以 当时， 当时，， 当且仅当时取等号. 由对勾函数性质以及上述讨论可知. 所以， 设异面直线与所成角为， 综上所述， 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求的值； (3)若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)记为与的交点，则平面， 又平面，所以平面平面． (2)； (3). 【分析】（1）记为与的交点，根据投影的定义和面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据空间向量运算得，则得到的值； （3）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，从而求出的长度，最后再计算比值即可. 【详解】（1）略； （2）由矩形性质可知， 即，故， 由不共面，可得，于是． （3）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系． 不妨设，则， ， 记平面的法向量为， 则，即，可取． 记平面的法向量为， 则，即，可取． 记平面与平面的夹角为， 则，解得． 于是． 16．如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)因为平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 因为是中点，所以， 因为是中点，所以，即， 因为，所以， 设， 因为，所以， 解得， 向量， 平面的法向量为， 因为， 所以，即平面， 又平面，故平面. (2) (3) 【分析】（1）由平面和建立空间直角坐标系，由是中点，利用中点坐标公式求出的坐标，由是中点求出的坐标，由利用向量坐标公式求出的坐标，求出和平面的法向量为，利用向量的数量积求得，从而得到平面. （2）求出平面的法向量，设平面和平面的夹角为，利用向量的数量积求出. （3）点到的距离为点的坐标，求出，点到平面的距离就是的坐标，通过计算求出. 【详解】（1）略 （2）， ， 设平面的法向量， ， 令，则 ，，， 平面法向量， 设平面和平面的夹角为， 则. （3） ，，，， ，， 点到的距离为点的坐标， 则， 点到平面的距离就是的坐标，即， . 17．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． (2) (3) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2） 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． （3） 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 18．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设．判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】(1)证明：在四棱锥中，由平面，平面， 得，又，且，平面， 所以平面. (2) (3)直线在平面内，理由如下： 由及，得，则， 由（2）知平面的法向量为，因此，即平面， 又点平面，所以直线在平面内. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用空间位置关系的向量证明推理判断. 【详解】（1）略 （2）在平面内作，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，得点，由，得， 设平面的法向量为，则， 取，得，而平面的法向量为， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）略 19．把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，求得向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由四边形为正方形，且为正方形的中心，所以， 正方形纸片沿对角线折成直二面角，可得平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 因为，分别为和的中点，可得，， 所以，且， 可得，且 设异面直线与的夹角为，则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. （2）因为平面，即轴与平面垂直， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知：向量， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $