2.1 直线的倾斜角与斜率 讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.1直线的倾斜角与斜率 知识归纳与题型总结 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为. 注：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 考向01 直线的倾斜角 【例1】在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 考向02 直线斜率的定义 【例2】在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 考向03 斜率与倾斜角的变化关系 【例3】已知直线，则该直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 考向04 已知两点求斜率 【例4】已知直线过、两点，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 考向05 已知斜率求参数 【例5】已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 考向06 斜率公式的应用 【例6】求值：_________. 考向07 直线与线段的相交关系求斜率范围 【例7】已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【对点1】直线的倾斜角为（    ） A．0° B．45° C．90° D．135° 【对点2】已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【对点3】已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【对点4】若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 【对点5】过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【对点6】设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【对点7】已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 考点02 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 注：判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 考向01 由斜率判断两条直线平行 【例1】（多选）下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 考向02 由斜率判断两条直线垂直 【例2】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于____;反之，如果它们的斜率之积等于____，那么它们互相垂直.即. 特别提醒: 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在. 考向03 已知直线平行求参数 【例3】根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 考向04 已知直线垂直求参数 【例4】已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 考向05 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【例5】以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【对点1】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【对点2】已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【对点3】已知两条直线：，：，若，则实数______. 【对点4】若与垂直，则________. 【对点5】已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 一、单选题 1．已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 5．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 7．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 8．已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 10．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 11．（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 三、填空题 12．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 13．设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 14．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 15．已知的重心为，外心为，，则______. 四、解答题 16．，， (1)若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． (2)若是直角三角形，求实数的值． 17．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 18．若直线与平行，求的值. 19．已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. 20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； (4)求由函数与的图像所围成图形的面积．（用表示） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.1直线的倾斜角与斜率 知识归纳与题型总结 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为. 注：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 考向01 直线的倾斜角 【例1】在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 考向02 直线斜率的定义 【例2】在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 考向03 斜率与倾斜角的变化关系 【例3】已知直线，则该直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 考向04 已知两点求斜率 【例4】已知直线过、两点，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 考向05 已知斜率求参数 【例5】已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为， 故， 由斜率公式可得，解得. 考向06 斜率公式的应用 【例6】求值：_________. 【答案】 【分析】由于，该关系式的几何意义是点与点连线的斜率，求解即可. 【详解】依题意知，， 该关系式的几何意义是点与点连线的斜率. 如图所示，点在单位圆上，线段的中点为，直线与轴交于点.    由，可得， 所以直线的倾斜角，所以原式. 故答案为： 考向07 直线与线段的相交关系求斜率范围 【例7】已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 【对点1】直线的倾斜角为（    ） A．0° B．45° C．90° D．135° 【答案】C 【详解】直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 【对点2】已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得：，所以，， 所以. 【对点3】已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 【对点4】若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 【对点5】过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 【对点6】设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 【对点7】已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 考点02 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 注：判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 考向01 由斜率判断两条直线平行 【例1】（多选）下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 【答案】ABC 【详解】对A，直线，的斜率相等，则或与重合，故A错误； 对B，当直线的斜率时，有，故B错误； 对C，若直线，的斜率都不存在，则或与重合，故C错误； 对D，直线，的斜率不相等，则与不平行，正确. 考向02 由斜率判断两条直线垂直 【例2】两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于____;反之，如果它们的斜率之积等于____，那么它们互相垂直.即. 特别提醒: 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在. 【答案】 【详解】略 考向03 已知直线平行求参数 【例3】根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】(1). (2)或. 【详解】（1）因为直线和直线平行， 则，解得或， 经检验时两条直线重合舍去，所以． （2）因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. 考向04 已知直线垂直求参数 【例4】已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 考向05 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【例5】以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 【对点1】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 【对点2】已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【详解】（1）由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 【对点3】已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 【对点4】若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 【对点5】已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 一、单选题 1．已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由顺时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴顺时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    2．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 3．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 4．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 5．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 6．已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 7．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线约束 ；对配方，消去，转化为关于的二次函数；利用二次函数求出最大值，代回算出最大值. 【详解】过的直线的斜率是 直线方程是，整理得 点在直线上，故 ，又 ， 所以，，所以, 因为, 所以, 由，得 ，因此 , 令 ，则 ，这是开口向上的二次函数，且在上单调递增， 因此只需求的最大值， 二次函数 ，开口向下，对称轴 最大值 即 ， 所以=. 8．已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，，满足平行条件. 当时，，满足平行条件. 所以，两直线平行时或. 因此是的充分不必要条件. 二、多选题 9．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 10．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 11．（多选）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 三、填空题 12．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，的方向向量是，此时直线倾斜角； 当时，，结合且， 当时，；当时，； 即，则， 综合可得直线的倾斜角的取值范围是. 13．设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【答案】 【详解】已知，， 当时，单调递增； 则； 当时，单调递增； 故； 综上可得，斜率k的取值范围是． 14．经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 15．已知的重心为，外心为，，则______. 【答案】3 【分析】画出的图象和三角形的重心、外心，建立平面直角坐标系，根据三角形重心、外心的性质求出相应点的坐标，用直线斜率表示角的正切值，从而进行解答. 【详解】设中点为，连接，的重心为，外心为，如下图所示 以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，，重心， 因为，外心在的垂直平分线上，即轴上， 所以， ，即，化简可得， 在中，，， 所以. 四、解答题 16．，， (1)若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． (2)若是直角三角形，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点的坐标计算斜率，根据倾斜角的取值范围，确定斜率的取值范围，根据斜率的取值范围计算参数； （2）讨论直角，根据直线垂直，斜率相乘得计算参数的值． 【详解】（1）由直线的倾斜角的取值范围是，得到 当直线的斜率存在，即当时，或． ，或，解得或； 当直线的斜率不存在时，，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （2）由，，； 可知，；； 若为直角，则，，解得； 若为直角，则，，此时无解； 若为直角，则，，解得； 综上，实数或． 17．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 【答案】如下图所示， 当直线经过点A时，斜率为，此时倾斜角为 ； 当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为， 由题意可知，当直线从过点A的位置开始，逆时针旋转至过点的位置， 经过图中阴影部分时都能满足题意， 旋转过程中，倾斜角满足或， 所以倾斜角的取值范围是：； 旋转过程中，斜率先从增大到，再从增大到， 所以斜率的取值范围是：. 【分析】根据图形，考虑直线分别经过点时的临界情况，结合直线的倾斜角定义与正切函数的性质即可求得. 【详解】倾斜角的取值范围是：；斜率的取值范围是：.理由略. 18．若直线与平行，求的值. 【答案】3或5 【分析】根据直线平行的性质求参数即可. 【详解】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 19．已知过点的直线与直线平行. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，且经过点和点，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行先设所求直线的一般是方程，结合直线所过的点，即可求解. （2）先求线段的中垂线的方程，联立方程组求圆心的坐标，进而得到半径，最后由圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为， 把点代入可得：，解得， 故直线的方程为：. （2）由点和点可得，线段的中垂线方程为， 联立，解得， 即圆心的坐标为， 又半径， ∴圆的标准方程为. 20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； (4)求由函数与的图像所围成图形的面积．（用表示） 【答案】(1)， (2) (3)证明：由于的图像是连接各点的折线， 要证明，，只需要证明， 事实上，当时， ， 下面证明， 对任何， ， 所以，综上，； (4) 【分析】（1）运用代入法进行求解即可； （2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可； （3）要证明，，只需要证明，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可. （4）设为上折线与轴及直线所围成图形的面积，求出，再由求解即可. 【详解】（1）， ； （2）， 因为， 所以； （3）略 （4）设为上折线与轴及直线所围成图形的面积 则 直线与的图像所围成图形的面积为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $