第一章 空间向量与立体几何 单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 空间向量与立体几何 注意事项： 1．测试范围：高二数学人教A版选择性必修第一册第一章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由已知得，则， 因为直线的方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为： . 2．空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由且，得． 因为为的中点，所以． 因此． 3．如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， ， 。 4．在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法将用一元函数表示出来，再求解取值范围即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 得到，令，解得， 可得为平面的一个法向量， 则直线OP与平面所成的角的正弦值如下， 得到， 由，可得， 所以. 5．已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的夹角为钝角,故， 又不共线，当共线时，，所以的取值范围是. 6．在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直三棱柱顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得线线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 7．平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分解为，通过向量模长与数量积的运算关系求出的长度. 【详解】在平行六面体中，由空间向量线性运算可得 ， 所以 ， 又，，， ， 因此. 8．已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出动点的坐标；分别求平面、的法向量；利用法向量夹角公式求两平面夹角余弦，再用转化为二次函数最值问题. 【详解】已知底面，，设，， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 得到，，， 记平面和平面的夹角为． 记平面的法向量为，则 令，则，，所以，则． 记平面的法向量为，则 令，则，，所以，则， 所以，， ， 当且仅当时，不等式取等号，所以，故平面与平面的夹角的正弦值的最大值为. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解异面直线夹角判断A，利用向量法可求面面角的余弦值，再结合同角的三角函数基本关系计算后可判断B，利用等体积法判断C的正误，利用空间中的距离公式计算后可判断D正误． 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 对于A选项，，， 设， 依据共线向量设坐标，故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，所以A选项错误； 对于B选项，当时，即，此时，故， 而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为，则即， 取，得为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的正弦值为，所以B选项错误； 对于C选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以为定值， 所以C选项正确； 对于D选项，当时，即，故，故， 而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为，所以D选项正确． 10．（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．对于非零向量，，若，则 B．对空间任意两个向量，有 C．若，则存在唯一实数，使 D．若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 【答案】ABD 【详解】A：空间向量数量积定义：， 都是非零向量，，夹角为， 即，A正确； B：， 因为，所以，B正确； C：当时，满足，但不存在实数使得， 命题缺少条件，C错误； D：三个非零向量两两垂直，任意一个向量都不能用另外两个向量线性表示， 因此不共面， 空间基底的定义：一组不共面的三个非零向量可以作为空间的一个基底，D正确. 11．（多选）在中，，，将绕向上旋转得．点为外心，面内有一点满足，且．若三棱锥的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有（     ） A． B．的外接圆半径为 C． D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，利用，即可得出答案；对于B，利用正弦定理即可得出答案；对于C，求出点，判断三棱锥的外接球球心的位置，假设外接球球心在该棱锥内部，求出此时的取值范围，取反即可得出答案；对于D，根据题目条件代入计算即可得出答案 【详解】取的中点为原点，连接，由题可得， 以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 如图所示 因为，所以，，因为，所以是等腰三角形， 底边上的高，所以点的坐标为， 由于是由绕旋转角得到的，点到的距离也是，且在平面上，点绕原点旋转角得到点， 所以点的坐标为，假设点向上旋转，， 对于A，由于，，，所以，故A正确； 对于B，已知三边长，，，则底边上的高， 所以的面积，得到， 由正弦定理，可得，故B错误； 对于C，根据等腰三角形的性质，的外心在的中垂线，即上， 设，由得， ，解得， 所以外心，外接圆半径平方， 球心必在过外心且垂直于平面的直线上，故设， 又球心到，距离相等，即， 且，， 则， 根据，化简得， 则， 直线在平面的方程斜率， 方程为， 假设外接球球心在该棱锥内部， 即， 由得，，，， 解得， 因为题目要求球心在外部，所以，又因为是旋转角，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以点在的垂直平分面上，即平面上， 在平面内，平面过轴，且与平面夹角为， 所以点坐标设为， 因为 ，，， 所以， 化简得 因为，消去得， 所以的坐标为， 因为， 所以，， 则原式 ，故D正确. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可求解. 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以实数的取值范围为. 13．在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 令，则，所以， 则，设直线与直线的夹角为， 则， 所以直线与直线夹角的余弦值为. 14．两条异面直线，所成的角为，点，在直线上，点，在直线上，且，，，，，则_________．（写出所有可能，用，，，表示） 【答案】或 【分析】通过向量法分解，根据，，异面直线，所成的角为，可得和的夹角为或，结合，即可求得的长度. 【详解】异面直线，所成的角为，，，，，； 和的夹角为或，，.； ，. 依题意可得； ； 当和的夹角为时，，解得； 当和的夹角为时，，解得； 的长为或. 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 在长方体中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)以为原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题设，，，，，，， 点在上，且，所以，则， 点在上，且，所以，得到点， 所以，， ，所以， ，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面； (2) (3)2 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）根据（1）写出平面的法向量、直线的方向向量，再应用向量法求其夹角的正弦值； （3）由三角形面积公式求，向量法求点到平面的距离，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，可取作为平面的法向量， 直线的方向向量，设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面的夹角的正弦值为； （3）由（1）知，，， 所以，则， 而点到平面的距离，则， 所以三棱锥的体积为. 16．（本小题满分15分） 如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． (1)证明：； (2)求的长； (3)求到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，由， 得均为等边三角形，则，而为的中点， 因此，又平面， 则平面，又平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）利用平行四边形性质及余弦定理求解. （3）利用线面平行的性质，结合等体积法列式计算. 【详解】（1）略 （2）由，得，而为的中点，则， 由（1）得，因此，即， 又，则，由，得四边形为平行四边形， 则， . （3）由（1）（2）知，而平面，则平面， 由，得，而平面，平面， 因此平面，点到平面的距离等于点到平面的距离， 而， 由，得，则， 所以到平面的距离为. 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． (1)求证：平面； (2)设点是的重心（为的三条中线的交点）． （i）求二面角的余弦值； （ii）设平面，求． 【答案】(1)证明：因为平面，平面， 所以， 在中，，解得， 因为， 所以，即， 又平面， 所以平面． (2)（i）；（ii）6 【分析】（1）由线面垂直的性质得出，由余弦定理及勾股定理逆定理得出，再由线面垂直的判定即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据二面角的向量方法即可求解；（ii）利用向量法分别求出到平面的距离即可求解. 【详解】（1）略. （2）（i）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 则， 平面的一个法向量为， 由图可知，二面角为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． （ii）因为， 所以点，又， 所以， 由（i）知平面的一个法向量为，， 则点到平面的距离为， 点到平面的距离为， 所以． 18．（本小题满分17分） 如图，三棱锥中，平面，，，点在棱上，且，，为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以， 因为，所以，因为平面，所以平面， 平面，所以平面平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直以及面面垂直的判定定理即可证明； （2）由题意可得，建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角； （3）分别求解平面与平面的法向量，再由向量法即可求解二面角. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以，，， 则可以为原点，为轴，平行于方向为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图. 易得，，，，， 因为，故得，所以， 因平面的法向量可取为， 设直线与平面所成角为， 则, 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）仿上坐标系，设平面的法向量为， 因，， 则，故可取， 因为平面，则可取为平面的法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19．（本小题满分17分） 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以. (2) (3)存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【分析】（1）根据题意，证得，结合面面垂直的性质定理，得到平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，利用向量的夹角公式，列出方程求得，进而得到答案. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：平面， 在菱形中，，，则为正三角形， 因为是的中点，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. （3）解：假设存在点在线段上，设， 由，则，可得， 又由平面的法向量为， 因为直线与平面所成的角为，所以， 可得， 化简得，平方得，解得， 因为，所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 空间向量与立体几何 注意事项： 1．测试范围：高二数学人教A版选择性必修第一册第一章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 2．空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知在平行六面体中，底面，，，点P是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 10．（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（    ） A．对于非零向量，，若，则 B．对空间任意两个向量，有 C．若，则存在唯一实数，使 D．若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 11．（多选）在中，，，将绕向上旋转得．点为外心，面内有一点满足，且．若三棱锥的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有（     ） A． B．的外接圆半径为 C． D． 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 13．在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为______． 14．两条异面直线，所成的角为，点，在直线上，点，在直线上，且，，，，，则_________．（写出所有可能，用，，，表示） 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 在长方体中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 16．（本小题满分15分） 如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． (1)证明：； (2)求的长； (3)求到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． (1)求证：平面； (2)设点是的重心（为的三条中线的交点）． （i）求二面角的余弦值； （ii）设平面，求． 18．（本小题满分17分） 如图，三棱锥中，平面，，，点在棱上，且，，为棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $