第3章 培优点2 二项式定理的综合应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

　二项式定理的综合应用

 

[例1] (1)(2026·广州模拟)(1－2x)4的展开式中含x2的项的系数为(　　)

A．24    B．－24

C．－36    D．－40

(2)已知(ax－2)的展开式中的常数项为240，则a＝________．

【解析】　(1)因为(1－2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝C(－2)kxk，所以含x2的项的系数为C×(－2)1＋C×(－2)3＝－40.

(2)的展开式的通项Tr＋1＝Cx5-r＝2rCx5-2r(r＝0，1，2，3，4，5)，令5－2r＝－1得r＝3，令5－2r＝0，无解，所以(ax－2)的展开式中的常数项为a·23C＝80a＝240，所以a＝3.

【答案】　(1)D　(2)3

　

两个二项式乘积的展开式中特定项问题

(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．

(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．

(3)分别求解再相乘，求和即得．

 

 

[例2] (1＋x＋x2)5展开式中所有项的系数和是________，含x3的项的系数是________．

【解析】　令x＝1，则所有项的系数和是(1＋1＋12)5＝243.

方法一：因为(1＋x＋x2)5的通项为C(1＋x)5-rx2r(r＝0，1，2，3，4，5)，所以当r＝0时，(1＋x)5展开式中的x3项为Cx3；当r＝1时，(1＋x)4展开式中的x项为Cx，所以含x3的项的系数是CC＋CC＝20＋10＝30.

方法二：(1＋x＋x2)5是5个(1＋x＋x2)式子连乘，欲求含x3＝x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个(1＋x＋x2)式子中选三个式子提供x，两个式子提供1；或者一个式子提供x，一个式子提供x2，三个式子提供1即可，所以含x3的项的系数是CC＋CCC＝10＋20＝30.

【答案】　243　30

母题探究　本例条件不变，含x5的项的系数是________．

解析：x5＝x·x·x·x·x＝x2·x·x·x＝x2·x2·x，故含x5的项的系数C＋CCC＋CCC＝1＋20＋30＝51.

答案：51

　

三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合．项与项结合时，要注意合理性和简捷性．

 

角度1　整除问题

[例3] (1)719－1除以8的余数为(　　)

A．0    B．2

C．4    D．6

(2)(多选)设a∈N，且0≤a＜26，若5120＋a能被13整除，则a的值可以为(　　)

A．0    B．11

C．12    D．25

【解析】　(1)719－1＝(72－1)9－1＝C729＋C728×(－1)＋…＋C72×(－1)8＋C(－1)9－1＝72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]－2，因为72[C728＋