3.1.3 第2课时 组合数的应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加比赛．若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数为(　　) A．140 B．120 C．35 D．34 解析：选D．从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34(种). 2．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 解析：选B．从8人中任抽4人放在第一排的方法有C＝70(种)，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种．故选B． 3．9件不同的产品中有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品进行检查，至少有2件一等品的抽法种数是(　　) A．CC B．C＋C＋C C．C＋C D．CC＋CC＋CC 解析：选D．恰有2件一等品的抽法种数是CC；恰有3件一等品的抽法种数是CC；恰有4件一等品的抽法种数是CC.所以至少有2件一等品的抽法种数是CC＋CC＋CC.故选D． 4．(2026·合肥模拟)有4位同学到书店购买课外书，每人购买一本，根据需求，书店有5种书适合4位同学购买，那么4位同学恰好购买了3种书的购买方法有(　　) A．240种 B．360种 C．480种 D．500种 解析：选B．首先选出3种书，有C＝10种选法，再将4位同学分成1，1，2的3组，有C＝6种分法，最后将3种书分配给3组同学，有A＝6种分配方法，按照分步乘法计数原理可知有10×6×6＝360种购买方法． 5．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有(　　) A．60种 B．100种 C．300种 D．600种 解析：选D．由题意知分四步：第1步，先从5行中选3行，有C种方法；第2步，从所选的3行中的第1行任选1列，有C种方法；第3步，从所选的3行中的第2行，除第2步选中的1列外的4列中任选1列，有C种方法；第4步，从所选的3行中的第3行，除第2，3步选中的2列外的3列中任选1列，有C种方法．根据分步乘法计数原理得，共有C×C×C×C＝600种不同的选法．故选D． 6．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的是(　　) A．若任意选择三门课程，则选法种数为C B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为CC C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为CC－C 解析：选AC．对于A，若任意选择三门课程，则选法种数为C，故A正确．对于B，若物理和化学至少选一门，则选法种数为CC＋CC，故B错误．对于C，若物理和历史不能同时选，则选法种数为C－CC＝C－C，故C正确．对于D，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法种数为CC＋CC－C，故D错误．故选AC． 7．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为________． 解析：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205. 答案：205 8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答) 解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336. 答案：336 9．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为________． 解析：分两步进行计算：第1步，选出盒子的编号与小球编号相同的3个编号，共有C＝35种选法；第2步，对余下的4个编号的球，将它们放置到不同盒子中，且盒子的编号与球的编号不同，有3×3＝9种方法，故不同的放法种数为35×9＝315. 答案：315 10．(13分)将6名学生(简记为A，B，C，D，E，F)安排到甲、乙、丙三个场馆． (1)每名学生至多去1个场馆，每个场馆只去1人，则有多少种不同的安排方法？(4分) (2)每名学生只去1个场馆，甲场馆安排1人，乙场馆安排2人，丙场馆安排3人，则有多少种不同的安排方法？(4分) (3)每名学生只去1个场馆，每个场馆至少要去1人，且A，B两人约定去同一个场馆，C，D不想去同一个场馆，则不同的安排方法共有多少种？(5分) 解：(1)任选3名学生，将选出的学生进行全排列，则有CA＝120种不同的安排方法． (2)由题意可知有CCC＝60种不同的安排方法． (3)将A，B捆绑成一个整体，当C，D无特殊要求时，即看成AB，C，D，E，F，可将5人分为3，1，1或2，2，1，故有CCC＋CCC＝150种不同的安排方法．当C，D在同一个场馆时，可将6人看成AB，CD，E，F，故有CCC＝36种不同的安排方法．综上所述，满足同学要求的不同的安排方法种数为150－36＝114. 11．(2026·枣庄模拟)子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之．”“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片(颜色均不同)各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人1张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有(　　) A．120种 B．210种 C．1 440种 D．2 880种 解析：选D．先把字相同的卡片看成1组，第一步：从这5组中选出1组．第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选1张卡片．第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学．所以不同的分配方案有CCCCA＝2 880种． 12．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(　　) A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 解析：选C．由题意知，1，2，3中必有一个数字重复使用两次．第1步确定哪个数字使用两次，有C种方法；第2步把只使用一次的两个数进行排列，有A种排法；第3步将使用两次的两个相同的数字插入到3个空当中，有C种方法．故共可组成CAC＝18个不同的四位数． 13．半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的钝角三角形有________个． 解析：方法一：根据圆的性质，三角形为钝角三角形，有两种情况，①若3个点中，只有1个为直径的端点，此时有C·C＝6种情况，②若3个点中没有直径的端点，则此时只有1种情况，综上共有7种情况． 方法二：从5个点中取三点共有C＝10种情况， 若3个点中包含直径的两个端点，则此时为直角三角形，有C＝3种情况，不合题意，所以共有10－3＝7种情况． 答案：7 14．(13分)某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分． (1)求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；(6分) (2)求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数．(7分) 解：(1)学生甲最终获得5分，则需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，且不能抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡，则不同的抽法种数为C(C－CCC)＝36(种). (2)学生乙最终获得7分的情况有2种：一种是抽中3张“龙”卡和1张其他卡，另一种是抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡．所以不同的抽法种数为CC＋CCCC＝30(种). 15．(15分)将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架，小红欲从A处行走至B处，则行走路程最短且任意2次向上行走都不连续的不同路线共有多少条？ 解：根据题意知，要使路程最短，则行走时3次向上，2次向右，2次向前．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列，也就是2次向右和2次向前全排列，有A种方法，又因为2次向右和2次向前是没有顺序的，所以共有种方法；再把3次向上插到4次不向上之间及两端的5个空位中，有C种方法．所以满足题意的不同路线共有C＝60(条). 学科网（北京）股份有限公司 $