3.1.3 第1课时 组合与组合数 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

1．C＋C＝(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 解析：选B． C＋C＝＋＝10＋20＝30.故选B． 2．若A－C＝28，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选C．由组合数的性质，得C＝C，所以A－C＝28，即n(n－1)－＝28，解得n＝8或n＝－7(舍去).故选C． 3．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案的种数为(　　) A．72 B．84 C．120 D．168 解析：选C．需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C＝120(种). 4. 现有6名男医生、5名女医生，从中选出3名男医生、2名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　) A．150种 B．180种 C．200种 D．462种 解析：选C．先从6名男医生中选出3名男医生，再从5名女医生中选出2名女医生，根据分步乘法计数原理可得，不同的选法共有CC＝200(种).故选C． 5．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．15 B．30 C．35 D．42 解析：选B．由于甲企业有2人参加会议，所以问题需要分两类：含有甲企业的选法有CC种，不含有甲企业的选法有C种，共有CC＋C＝30(种).故选B． 6．(多选)下列有关排列数、组合数计算正确的有(　　) A．C＝ B．(n＋2)(n＋1)A＝A C．C＋C＋C＋…＋C＝C D．C＋C是一个常数 解析：选BD．因为C＝，故A不正确；因为(n＋2)(n＋1)A＝(n＋2)(n＋1)n(n－1)…(n－m＋1)＝A，故B正确；因为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－1＝C－1，故C不正确；因为式子C＋C有意义，则式中n应满足解得n＝2.所以C＋C＝C＋C＝2结果为常数，故D正确．故选BD． 7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答) 解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210种分法． 答案：210 8．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．(用数字作答) 解析：设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CC＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证均符合题意，可知女生有2人或3人． 答案：2或3 9．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同的椭圆的个数为________． 解析：因为1≤m<n≤5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，其中C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，所以方程x2＋Cy2＝1所表示的不同的椭圆的个数为6. 答案：6 10．(13分)已知某圆上有12个不同的点． (1)过每2个点画一条弦，一共可画多少条不同的弦？(6分) (2)过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个不同的圆内接三角形？(7分) 解：(1)因为2点可以确定一条直线，所以从12个点中任选2个点的取法有C＝66(种)，故一共可画66条不同的弦． (2)因为不共线的三点确定一个三角形，所以从12个点中任选3个点的取法有C＝220(种).故一共可画220个不同的圆内接三角形． 11．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有(　　) A．35种 B．70种 C．30种 D．65种 解析：选B．先从7人中选出3人有C＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案有2C＝70(种). 12．若nC＋A＝4C，则n＝__________. 解析：由题知n2＋n(n－1)(n－2)＝，可得n2－6n＋8＝0，解得n＝2或n＝4，又n≥3，所以n＝4. 答案：4 13．某幢楼房从2楼到3楼共10个台阶，上楼可以一步上1个台阶，也可以一步上2个台阶，若规定从2楼到3楼用8步走完，则上楼的方法共有________种． 解析：由于10÷8的余数为2，则必有一步1个台阶6次，一步2个台阶2次，问题即转化为6个1和2个2，这8个有重复的数字的排列．分两步：第1步，从8个位置中选2个位置排2，有C种方法；第2步，其余的6个位置排1，只有1种方法．根据分步乘法计数原理得，共有C×1＝28种方法． 答案：28 14．(15分)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货，现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3分) (2)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4分) (3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4分) (4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4分) 解：(1)从34种可选商品中，选取3种，有C＝5 984(种). 所以某一种假货不能在内的不同的取法有 5 984 种． (2)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，　 有CC＝2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种． (3)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (4)从35种商品中选取3种的种数为C，选取3种假货有C种，因此共有C－C＝6 545－455＝ 6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同的取法有 6 090 种． 15．(15分)规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求C的值；(3分) (2)设x>0，当x为何值时，取得最小值？(5分) (3)组合数的两个性质：①C＝C；②C＋C＝C是否都能推广到C(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．(7分) 解：(1)由题意可得C＝＝1 365. (2)＝ ＝， 因为x>0，所以当＝， 即x＝时，取得最小值． (3)性质①不能推广，例如当x＝时，C有定义，但C无意义．性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C，x∈R，m是正整数，事实上，当m＝1时，C＋C＝x＋1＝C；当m≥2时，C＋C＝＋ ＝· ＝＝C. 综上，C＋C＝C，x∈R，m是正整数． 学科网（北京）股份有限公司 $