3.1.1 第2课时 基本计数原理的综合应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

1．从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法的种数为(　　) A．2＋4＋3 B．2×4＋3 C．2×3＋4 D．2×4×3 解析：选B．从甲地经乙地到丙地，有2×4种走法，直接从甲地到丙地有3种走法，所以从甲地到丙地的不同走法种数为2×4＋3.故选B． 2．用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有(　　) A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 解析：选B．由题意可知，百位数字为2或3，其他数位在剩余3个数字中选择2个数字排序即可．由分步乘法计数原理可知，比200大的3位数的个数为2×3×2＝12.故选B． 3．在校园艺术节才艺展示活动中，小明书写“求真、崇善、唯美”6个字，有2种不同颜色的笔供小明选择，要求每个字是同1种颜色且不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有(　　) A．34种 B．30种 C．62种 D．63种 解析：选C．因为每个字的颜色都有2种选择，即分6步，每步都有2种选法，所以不考虑限制条件有2×2×2×2×2×2＝64种不同的写法，用同种颜色的笔写字只有2种写法，所以要求不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有 64－2＝62(种).故选C． 4．甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有(　　) A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 解析：选D．应该分步完成：第一步，因为甲不去北京，所以甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4＝64种选法，由分步乘法计数原理，可得不同的选法有3×64＝192种． 5．(多选)已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有(　　) A．可以组成500个四位数 B．可以组成96个无重复数字的四位数 C．可以组成66个无重复数字的四位偶数 D．可以组成28个百位是奇数的四位偶数 解析：选AB．对于A，可以组成4×5×5×5＝500个四位数，故A正确；对于B，可以组成4×4×3×2＝96个无重复数字的四位数，故B正确；对于C，若个位数为0，则有4×3×2＝24(个)，若个位数不为0，则有2×3×3×2＝36(个)，所以可以组成24＋36＝60个无重复数字的四位偶数，故C错误；对于D，可以组成4×2×5×3＝120个百位是奇数的四位偶数，故D错误．故选AB． 6．(多选)现有3名老师，8名男同学和5名女同学共16人，有一项活动需派人参加，则下列说法中正确的是(　　) A．若只需1人参加，则有16种不同的选法 B．若需老师、男同学、女同学各1人参加，则有120种不同的选法 C．若需1名老师和1名同学参加，则有39种不同的选法 D．若需3名老师和1名同学参加，则有56种不同的选法 解析：选ABC．对于A，分三类，选老师有3种选法，选男同学有8种选法，选女同学有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种不同的选法，故A正确；对于B，分三步，第一步选老师，第二步选男同学，第三步选女同学，故共有3×8×5＝120种不同的选法，故B正确；对于C，分两步，第一步选老师，第二步选同学，第二步又分为两类，第一类选男同学，第二类选女同学，故共有3×(8＋5)＝39种不同的选法，故C正确；对于D，若需3名老师和1名同学参加，则有8＋5＝13种不同的选法，故D错误．故选ABC． 7．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组． 解析：分两类：第1类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30组不同的结果；同理，第2类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60(组). 答案：60 8．正整数240不同的正约数有________个． 解析：240＝24×3×5，其正约数的构成是2i3j5k的形式的数，其中i＝0，1，2，3，4；j＝0，1；k＝0，1，故其不同的正约数有5×2×2＝20(个). 答案：20 9．洛书，古称龟书，传说有神龟出于洛水，其甲壳上有如图所示的图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数(图中白圈为阳数，黑点为阴数).现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：从左往右数第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有________个. 解析：据题意知，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，从左往右第一位数的选法有5种，第二位数的选法有4种，第三位数和第四位数的组合有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6种情况．根据分步乘法计数原理，符合题意的四位数共有5×4×6＝120(个). 答案：120 10．(13分)将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数；(6分) (2)1号盒中有球的不同放法种数．(7分) 解：(1)1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2，3，4号盒子中，有33＝27种放法． (2)1号盒中有球可分三类：第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27种放法；第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9种放法；第三类是1号盒中有三个球，有1种放法．因此1号盒中有球，共有27＋9＋1＝37种放法． 11．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　) A．48 B．18 C．24 D．36 解析：选D．正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).故选D． 12．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中第一、二象限不同点的个数为(　　) A．18 B．17 C．16 D．10 解析：选B．因为在第一、二象限内的点的横坐标可正可负，而纵坐标为正，这样的点分为两类情况：①点的横坐标取自集合M，纵坐标取自集合N时，不同的点有3×3＝9个；②点的横坐标取自集合N，纵坐标取自集合M时，不同的点有4×2＝8个．由分类加法计数原理得，第一、二象限不同点的个数为9＋8＝17. 13．现有A，B两种类型的车床各一台，已知甲、乙、丙三名工人中的甲、乙两种车床都会操作，而丙只会操作A种车床．现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有________种． 解析：若选甲、乙两人，则甲操作A种车床，乙操作B种车床或甲操作B种车床，乙操作A种车床，共有2种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作B种车床，丙操作A种车床这1种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作B种车床，丙操作A种车床这1种选派方法．故共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法． 答案：4 14．(15分)将如图所示的A，B，C，D区域按照下列要求涂色． A B C D (1)用3种不同的颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？(5分) (2)若恰好用3种不同的颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？(5分) (3)若有3种不同的颜色，恰好用2种不同的颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？(5分) 解：(1)A区域有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理可得，将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24种不同的涂色方案． (2)恰好用3种不同的颜色涂四个区域，则A，C区域或A，D区域或B，D区域同色，由分类加法计数原理可得，恰好用3种不同的颜色涂四个区域共有3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18种不同的涂色方案． (3)若恰好用2种不同的颜色涂四个区域，则A，C区域同色，且B，D区域同色，先从3种不同的颜色中任取2种颜色，共有3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域，共有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理可得，恰好用2种不同的颜色涂完四个区域共有3×2＝6种不同的涂色方案． 15．(15分)高中学生甲到教室需经过10级台阶的楼梯，学生甲一步可以迈一级或两级或三级台阶，问学生甲有多少种不同的爬楼方法？ 解：设学生甲爬n个台阶有an种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前n－1个台阶有an－1种方法；若最后一步迈两级台阶，则前n－2个台阶有an－2种不同的方法；若最后一步迈三级台阶，则前n－3个台阶有an－3种不同的方法， 由分类加法计数原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，显然a1＝1，a2＝2，a3＝4， 则a4＝a1＋a2＋a3＝7，a5＝a2＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4＋a5＋a6＝44， a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝149，a10＝a7＋a8＋a9＝274，故学生甲上10级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法． 学科网（北京）股份有限公司 $