3.1.2 第2课时 排列数的应用 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

第2课时　排列数的应用 应用点一　数字排列问题 [例1] (对接教材例5)用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的无重复数字的四位数中． (1)有多少个奇数； (2)有多少个偶数； (3)有多少个大于3 125的数． 【解】　(1)本题是有限制条件的数字排列问题，条件是末位必须排1，3，5，首位不能排0.第一步：排末位有A种方法，第二步：排首位有A种方法；第三步：排中间两个位置有A种方法，所以所求奇数共有AAA＝144(个). (2)先排末位有A种方法(从0，2，4中选一个)，则排首位就涉及末位排的是0还是2，4中的一个，所以需分类讨论：①若末位排0，则有A个偶数；②若末位不排0，则末位有A种排法，再排首位有A种方法，再排中间两位有A种方法，所以末位不是0的偶数有AAA个．由①②知，所求偶数共有A＋AAA＝156(个). (3)第一类：首位可排4，5，有A种，其余各位有A种，此类共有AA种；第二类：首位排3，下一位可排2，4，5，有A种，其余两位有A种，此类共有AA种；第三类：首位排3，下一位排1，第三位可排4，5中的一个，有A种，第四位可从剩下的3个数中取一个，有A种，所以此类共AA种，因此，所求大于3 125的数共有AA＋AA＋AA＝162(个). 　 数字排列问题是排列组合问题中的常见题目，其解法仍是从分析特殊元素或特殊位置入手，恰当分类(或分步)，如果问题中涉及元素“0”，那么0往往是分类的关键． [跟踪训练1] 用0，1，2，3，4五个数字： (1)可组成多少个五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ (3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ 解：(1)各位数上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可组成4×5×5×5×5＝2 500个五位数． (2)方法一：考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有A种填法，其余4个数字作全排列，有A种排法，故共有AA＝96个符合条件的五位数． 方法二：先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A种排法，故共有AA＝96个符合条件的五位数． (3)构成的无重复数字的三位数是3的倍数，则各数位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，有A种取法，再取2进行排列，先填百位有A种填法，再填其余位有A种排法，故有AAA个；不取0，则必取3，从1和4中任取一数，有A种取法，再取2，然后进行全排列，故有AA种排法．所以共有AAA＋AA＝8＋12＝20个符合条件的三位数． (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A，故共有AAA＝36个符合条件的五位数． 应用点二　“在”与“不在”问题 [例2] 9名同学排成一排，在下列条件下各有多少种不同的排法： (1)甲只能在中间或两头位置； (2)甲、乙两人必须排在两头． 【解】　(1)将9个元素(同学)分成两类：甲为特殊元素，其余8人为一般元素，所以完成这件事需分两步，先排甲有A种方法，再排另外8人有A种．所以共有AA＝120 960种不同的排法． (2)先排甲、乙两人有A种方法，再排其余7人有A种方法．所以共有AA＝10 080种不同的排法． 　 “在”与“不在”的排列问题既可以从元素入手(元素分析法)，也可以从位置入手(位置分析法)，原则是谁“特殊”谁优先．常用的方法有直接法和间接法．特别注意，从元素入手或从位置入手，都要贯彻到底．不能一会儿考虑元素，一会儿考虑位置，分类、分步混乱会导致解题错误． [跟踪训练2] 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩，老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都不是第1名．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为(　　) A．44 B．46 C．48 D．54 解析：选B．甲、乙都不是第1名且甲不是最后1名，且丙不是第2名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数． 甲的名次有可能是第2，3，4名三种情况： ①甲排第2名，乙排第3，4，5名，包含丙的余下3人有A种排法，则有1×3×A＝18种排法； ②甲排第3，4名，乙排第2名，包含丙的余下3人有A种排法，则有2×1×A＝12种排法； ③甲排第3，4名，乙不排第1，2名，乙有2种排法，丙不排第2名，丙有2种排法，余下2人有A种排法，则有2×2×2×A＝16种排法． 综上，这5名同学可能的名次排列情况种数为18＋12＋16＝46. 应用点三　“相邻”与“不相邻”问题 [例3] (对接教材例7)3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？ (1)男生排在一起，女生排在一起； (2)男、女生间隔排列； (3)男生互不相邻． 【解】　(1)将男生和女生分别进行捆绑，则分别有A和A种排法，再将男生组和女生组进行全排列，故共有AAA＝288种排法． (2)先将男生进行排列，有A种排法，再将女生进行插空，刚好有A种排法，故男、女生间隔排列，共有AA＝144种排法． (3)先将女生进行排列，有A种排法，形成5个空，再将男生进行插空，即男生互不相邻，有A种排法，共有AA＝1 440种排法． 　 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． [跟踪训练3] (1)小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码．若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为(　　) A．48 B．32 C．24 D．16 解析：选C．1与4相邻，共有A＝2种排法；两个2之间插入一个数字，共有A＝2种排法；再把组合好的数字全排列，共有A＝6种排法，则共有2×2×6＝24种可以设置的密码． (2)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　) A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的共有120种排法 C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D．男女生相间的排法总数为72种 解析：选BC．3男3女排成一排，共计有A＝720种排法，A正确；男生甲排在两端，共有2A＝240种排法，B错误；男生甲、乙相邻的排法总数为AA＝240(种)，C错误；男女生相间的排法总数为2AA＝72(种)，D正确． 应用点四　定序问题 [例4] 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 【解】　方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种.因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有＝20(种). 方法二(依次插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空挡(含两端)，所以共有4×5＝20种出场顺序． 方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故A×1＝20种出场顺序． 　 定序问题常采用分类法，n个不同对象的全排列有A种排法，m个对象的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个对象的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个对象顺序确定时，共有种排法． [跟踪训练4] 某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　) A．12种 B．30种 C．36种 D．42种 解析：选D．方法一：由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42种不同的比赛顺序． 方法二：先将所有同学重排，共有A种方法，而原来5名同学共有A种不同顺序，因此共有＝42种不同的比赛顺序． 1．(2026·三亚模拟)三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法种数为(　　) A．10 B．12 C．16 D．24 解析：选B．根据题意，先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的学生进行全排列，可得不同的站法有AA＝12种． 2．(教材P15T3改编)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为(　　) A．2 301 B．2 304 C．2 305 D．2 310 解析：选A．首位为1的有A＝60个，前两位为20的有A＝12个，前两位为21的有A＝12个，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2 301. 3．一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为________．(用数字作答) 解析：由题可知，同一家人座位相邻，将6个座位分成两组，每组3个座位，同一家人相邻的不同坐法种数为2AA＝72. 答案：72 4. (教材P15练习BT5改编)某班级周一的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 解：(1)先排其余四科，共有A种排法，再把数学和物理插入空中，有A种排法，则不同的排法共有AA＝24×20＝480(种). (2)第一节排数学，则其余科目没有要求，共有A种排法； 第一节不排数学，先排第一节有A种排法，再排第六节有A种排法，最后安排其他节有A种排法，所以共有A＋AAA＝504种排法． (3)9节课随机排列共有A种排法，原定6节课在其中的排法有A种，所以共有＝504种不同的排法． 　 1．已学习：排列应用题的基本解法． 2．须贯通：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法). 3．应注意：解与排列有关的应用题时应注意以下几点： (1)注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏． (2)对受限制条件的位置或元素应首先排列，并适当选择直接法或间接法． (3)同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $