3.1.1 第1课时 基本计数原理 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教B版）

3．1　排列与组合 3．1.1　基本计数原理 新课导入 学习目标 　　某人假期从济南前往北京旅游，有两种快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁．假如飞机有3个航班可选，高铁有4个班次可选．那么他从济南到北京共可以选择多少种快捷途径？今天我们这节课来解决此问题！ 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2．能准确应用两个计数原理解决一些简单的实际问题． 第1课时　基本计数原理 知识点一　分类加法计数原理 思考1　用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的座号？ [提示]　因为大写的英文字母共26个，阿拉伯数字共10个，所以总共可以编出26＋10＝36种不同的座号． 思考2　你能说一说思考1中问题的特征吗？ [提示]　首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”，其次，是“或”字的出现： 一个座位编号可用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字表示． 因为大写的英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用大写的英文字母编出的座号与用阿拉伯数字编出的座号也互不相同． 这两类座号数相加就得到座号的总数． [知识梳理] 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． [例1] (1)现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有(　　) A．10种 B．12种 C．20种 D．60种 (2)用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中的任意一个数作分母，可以构成________个不同的真分数． 【解析】　(1)分三类：第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有3种选法；第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有4种选法；第三类，从5幅不同的水彩画中任选一幅，有5种选法，根据分类加法计数原理得共有3＋4＋5＝12种不同的选法．故选B． (2)由真分数的定义知，真分数的分母大于分子，且均为正整数， 若1为分子，分母有4种选择； 若5为分子，分母有3种选择； 若9为分子，分母有2种选择； 若13为分子，分母有1种选择， 且没有重复的分数，所以不同的真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个). 【答案】　(1)B　(2)10 　 利用分类加法计数原理解题的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎么才算是完成这件事． (2)完成这件事的n类办法，无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要用到其他的方法． (3)确立恰当的分类标准，准确地对“完成这件事的办法”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法不同，也就是分类必须既不重复也不遗漏．从集合的角度看，若完成一件事分A，B两类办法，则A∩B＝∅，A∪B＝I(I表示全集). [跟踪训练1] (1)一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有(　　) A．3种 B．1 848种 C．37种 D．6种 解析：选C．根据题意，分3种情况讨论：若取出的书为语文类读物，有12种取法；若取出的书为政治类读物，有14种取法；若取出的书为英语类读物，有11种取法，则共有12＋14＋11＝37种取法．故选C． (2)已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为________． 解析：分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面． 答案：11 知识点二　分步乘法计数原理 一名志愿者从A地赶赴B地为游客提供导游服务，但需经过C地，已知从A地到C地每天有7个航班，从C地到B地每天有6趟火车(假设到达C地后，6趟火车都可乘坐). 思考1　该志愿者从A地到B地需要经历几个步骤？ [提示]　两个步骤：先乘飞机从A地到C地；再坐火车到B地． 思考2　完成每一步各有几种方法？ [提示]　完成第1步有7种方法，完成第2步有6种方法． 思考3　该志愿者从A地到B地共有多少种不同的方法？ [提示]　共有7×6＝42种不同的方法． [知识梳理] 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． [例2] 已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)在平面直角坐标系内，且a，b∈M. (1)平面上共有多少个点P? (2)有多少个点P在第二象限内？ 【解】　(1)第一步，先安排横坐标a，a∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以a有6种选择；第二步，安排纵坐标b，b∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以b有6种选择，所以一共有6×6＝36个满足条件的点P. (2)P(a，b)在第二象限内，则a<0，b>0，故a可从－3，－2，－1这3个数字中选择1个，有3种选择，b可从1，2这2个数字中选择1个，有2种选择，故总共有3×2＝6个满足条件的点P. 　 利用分步乘法计数原理解题的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事需要几步． (2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，无论缺少哪一步，这件事都不可能完成． (3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐一去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏． (4)对于同一个题目，标准不同，分步也不同．分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是不同步骤的方法不能互相替代． [跟踪训练2] (1)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 解析：选C．将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，则不同的走法种数为4×3＝12. (2)第五批实施新高考的8个省份于2025年正式实施新高考模式，新高考模式下语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 解析：选B．先确定相同的科目，有4种情况，再从剩下的3个科目中，甲、乙各选一个不同的科目，有3×2＝6种情况，则他们四选二科目的选科方式共有4×6＝24(种). 应用点　基本计数原理的综合应用 [例3] 某单位职工献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 【解】　(1)分四类：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．任选1人去献血，由分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同选法． (2)分四步：要从4种血型的人中各选1人，由分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同选法． 母题探究　本例变为：在身体检查合格的人中任选2人去献血，且2人血型不同的选法有多少种？ 解：先分六类，每类再分两步： 第一类选O型与A型，有28×7＝196种方法；第二类选O型与B型，有28×9＝252种方法；第三类选O型与AB型，有28×3＝84种方法；第四类选A型与B型，有7×9＝63种方法；第五类选A型与AB型，有7×3＝21种方法；第六类选B型与AB型，有9×3＝27种方法．所以任选2人去献血且2人血型不同的选法共有196＋252＋84＋63＋21＋27＝643(种). 　 解决较为复杂的计数问题综合应用 (1)合理分类，准确分步：①处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准． ②分类时要满足两个条件：(ⅰ)类与类之间要互斥(保证不重复)；(ⅱ)总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准． ③分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性． (2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想． [跟踪训练3] 如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有(　　) A．7种 B．15种 C．23种 D．26种 解析：选C．每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭的不同结果有25种，若下游有水，则水闸A打开，水闸B，C至少打开一个，水闸D，E至少打开一个．水闸B，C至少打开一个有(22－1)种，水闸D，E至少打开一个有(22－1)种，由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有1×(22－1)×(22－1)＝9(种)，所以所求情况有25－9＝23(种). 1．(教材P8练习BT1改编)若某座山从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山的不同走法共有(　　) A．5种 B．6种 C．20种 D．25种 解析：选D．依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步乘法计数原理知，从上山到下山方法共有5×5＝25(种)，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法．故选D． 2．4位同学参加3个外语节目选拔，每位同学只能选择一个节目参加，每个节目可多位同学选择参加，则不同的参加方式有(　　) A．34种 B．43种 C．12种 D．7种 解析：选A．由题意得共有3×3×3×3＝34种不同的参加方式．故选A． 3．(多选) 若x∈{1，－1，2，－2，3，－3，0}，y∈{1，2，3}，则关于以(x，y)为坐标的点，下列说法正确的有(　　) A．共有21个 B．共有39个 C．在坐标轴上的点有3个 D．在坐标轴上的点有6个 解析：选AC．由题意得以(x，y)为坐标的点有7×3＝21(个)，在坐标轴上的点有1×3＝3(个). 4．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线． 解析：当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，可表示5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，Ax＋By＝0可表示1＋1＋20＝22条不同的直线． 答案：22 5．某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，信箱中为观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽取信封确定幸运之星和幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？ 解：①若幸运之星在甲箱中抽取，则有30×29×20＝17 400种不同的结果；②若幸运之星在乙箱中抽取，则有20×19×30＝11 400种不同的结果．故共有17 400＋11 400＝28 800种不同结果． 　 1．已学习：(1)分类加法计数原理． (2)分步乘法计数原理． 2．须贯通：分类讨论思想在解决问题中的应用． 3．应注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看能否一步完成这件事，若一步能完成，则是分类，否则是分步． 学科网（北京）股份有限公司 $