5.2.3 简单复合函数的导数 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．已知函数f(x)的导数为f′(x)，则f(3x)的导数为(　　)

A．f′(3x)    B．3f′(3x)

C．3f′(x)    D．3＋f′(x)

解析：选B.由复合函数的求导公式得，f(3x)的导数为3f′(3x).　

2．设f(x)＝ln (3x＋2)＋3x2，则f′(0)＝(　　)

A．1    B．   

C．－1    D．－2

解析：选B.f′(x)＝＋6x，故f′(0)＝＋0＝.

3．已知函数f(x)＝f′()cos 2x＋sin x，则f(x)在x＝处的导数为(　　)

A．    B．

C．    D．－

解析：选A.由已知可得f′(x)＝－2f′()sin 2x＋cos x，所以f′()＝－2f′()sin (2×)＋cos ，解得f′()＝.

4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2－，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　　)

A．－10ln 2太贝克/年

B．300ln 2太贝克/年

C．－300ln 2太贝克/年

D．10ln 2太贝克/年

解析：选A.依题意，M(t)＝600·2－，所以M′(t)＝－×600×2－ln 2＝－20×2－ln 2，所以铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为M′(30)＝－20×2-1ln 2＝－10ln 2太贝克/年.

5．若f(x)＝x2e1-mx＋mx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则m＝(　　)

A．1    B．1或2

C．－1或2    D．2

解析：选B.f′(x)＝2xe1-mx＋x2·e1-mx·(－m)＋m＝2xe1-mx－mx2e1-mx＋m.根据导数的几何意义可得f′(1)＝2e1-m－me1-m＋m＝2，所以(e1-m－1)·(2－m)＝0，所以e1-m－1＝0，或2－m＝0，所以m＝1或m＝2.

6．(多选)下列选项中正确的有(　　)

A．若y＝cos ，则y′＝－sin

B．已知函数f(x)＝ln (2x＋1)，若f′(x0)＝1，则x0＝

C．若f(x)＝f′(1)x2－x，则f′(1)＝1

D．曲线y＝x3－x＋上点P处切线的倾斜角α的取值范围是[0，)

解析：选BC.y＝cos ＝是个常数，故y′＝0，A错误；

f′(x)＝，令f′(x0)＝＝1，解得x0＝，B正确；

f′(1)是常数，所以f′(x)＝2f′(1)x－1.令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，C正确；

y′＝3x2－1≥－1，即tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈[0，)∪[，π)，D错误．

7．函数y＝是由________和________两个函数复合而成的．

解析：函数y＝是由y＝和u＝sin x两个函数复合而成的．

答案：y＝　u＝sin x

8．函数f(x)＝ln (2x)－的图象在点(，f())处的切线方程为________．

解析：因为f(x)＝ln (2x)－，所以f′(x)＝＋，所以f()＝ln 1－2＝－2，f′()＝2＋22＝6，则所求切线方程为y－(－2)＝6(x－)，即y＝6x－5.

答案：y＝6x－5

9．(2026·杭州期中)已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数f′(x)＝，设g(x)＝f(1－2x)，则g′(1)＝________．

解析：由g(x)＝f(1－2x)，得g′(x)＝－2f′(1－2x)，

所以g′(1)＝－2f′(－1)＝－2×＝－.

答案：－

10．(13分)求下列函数的导数：

(1)y＝；(4分)

(2)y＝cos (x2)；(4分)

(3)y＝－2e3xsin 2x.(5分)

解：(1)令u＝1－3x，则y＝＝u-4，

所以y′u＝－4u-5，u′x＝－3，

所以y′x＝y′u·u′x＝12u-5＝.

(2)令u＝x2，则y＝cos u，

所以y′x＝y′u·u′x＝－sin  u·2x＝－2x sin (x2).