5.2.3 简单复合函数的导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

5．2.3　简单复合函数的导数 课程标准 素养解读 1.能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2．能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题. 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养． 2．在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养. [情境引入] 如何求函数y＝ln(2x－1)的导数？ 现有方法无法求出它的导数． (1)用定义不能求出极限； (2)不是基本初等函数，没有求导公式； (3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题． 这节课我们就来研究这类函数的求导问题． [知识梳理] [知识点一]　复合函数的概念　 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)). 1.函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． [知识点二]　复合函数的求导法则　 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝　yu′·ux′　，即y对x的导数等于　y对u的导数与u对x的导数的乘积　. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　) (2)下列函数都是复合函数．(　　) ①y＝－x3－＋1；②y＝cos； ③y＝；④y＝(2x＋3)4. (3)函数y＝的导数是y′＝－.(　　) (4)f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(x)＝.(　　) (5)f (x)＝x2cos 2x，则f ′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x.(　　) 答案：(1)√　(2) ×　(3) √　(4)×　(5)× 2．函数y＝的导数是(　　) A.　　 B. C．－ D．－ 解析：C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.] 3．函数y＝cos的导数为________． 解析：y′＝′＝－sin·(－3)＝3sin. 答案：3sin 　　　复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. [解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4 ＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴yx′＝yu′·ux′＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝. (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数， ∴yx′＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x. 1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)； (3)y＝2sin；(4)y＝. 解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u， 所以yx′＝yu′·ux′＝10uln 10·(3x－2)′ ＝3×103x－2ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以yx′＝yu′·ux′＝·(ex＋x2)′ ＝·(ex＋2x)＝. (3)设y＝2sin u，u＝3x－， 则yx′＝yu′·ux′＝2cos u×3＝6cos. 　　　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝x； (3)y＝xcossin. [解]　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝＝＝. (2)y′＝(x)′＝x′＋x()′ ＝＋＝. (3)∵y＝xcossin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x， ∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4 ＝－sin 4x－2xcos 4x. 1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． 2．对于复合函数的求导，在熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． [变式训练] 2．求下列函数的导数． (1)y＝sin；(2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝；(4)y＝xln(1＋x)． 解：(1)y′＝′＝cos·′＝cos. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y′＝＝ ＝. (4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋. 　　　复合函数导数法则的综合应用 [例3]　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A.　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. [思路点拨] [解析]　(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝，∴＝＝2，解得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2. ∵f(x)＝eax，∴f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax， ∴f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. [答案]　(1)A　(2)2 [母题探究] 1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值． [解]　由题意可知，设切点P(x0，y0)，则＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)， ∴＝2，解得m＝8或－12. 即实数m的值为8或－12. 2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积． [解]　由题意可知，切线方程为y－1＝2x， 即2x－y＋1＝0. 令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－. ∴S△＝××1＝. 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． [变式训练] 3．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 解：由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得＋a＝，故a＝0. [当堂达标] 1．函数y＝(2 025－8x)8的导数为(　　) A．y′＝8(2 025－8x)7 B．y′＝－64x C．y′＝64(8x－2 025)7 D．y′＝64(2 025－8x)7 解析：C　[y′＝8(2 025－8x)7·(2 025－8x)′＝－64(2 025－8x)7＝64(8x－2 025)7.] 2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 解析：B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝ 2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.] 3．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________． 解析：∵f (x)＝xe－x，∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝ (1－x)e－x，∴f ′(2)＝－.根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝f ′(2)＝－. 答案：－ 4．已知函数y＝e2x＋4－ln(2x＋5)，则该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为　________　. 解析：因为y＝e2x＋4－ln(2x＋5)， 所以y′＝e2x＋4×2×2＝e2x＋4－， 所以y′|x＝－2＝1－2＝－1，即切线的斜率为－1，倾斜角为. 学科网（北京）股份有限公司 $$