5.2.2 导数的四则运算法则 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)

A．e2    B．e

C．    D．ln 2

解析：选B.因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1(x＞0).由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.

2．若y＝，则y′＝(　　)

A．

B．

C．

D．

解析：选A.因为y＝，

所以y′＝

＝.

3．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋3，则f′(1)＝(　　)

A．1    B．2  

C．3    D．4

解析：选A.函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋3，求导得f′(x)＝3x2－2f′(1)x.当x＝1时，f′(1)＝3－2f′(1)，所以f′(1)＝1.

4．(2026·聊城模拟)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的

面积为(　　)

A．4    B．3  

C．1    D．

解析：选D.y′＝ln x＋1，故所求切线的斜率k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为(1，0)，所以曲线y＝x ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1.该切线交x轴于点(1，0)，交y轴于点(0，－1)，因此曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×1＝.

5．过点A(0，1)且与曲线f(x)＝x3＋2x－1相切的直线方程是(　　)

A．y＝5x＋1    B．y＝2x＋1

C．y＝x＋1    D．y＝－2x＋1

解析：选A.f′(x)＝3x2＋2.点A不在曲线上，设切点为(x0，x＋2x0－1)，

则f′(x0)＝3x＋2＝，解得x0＝－1，切点坐标为(－1，－4)，f′(－1)＝5，所以切线方程为y＝5x＋1.

6．(多选)设函数f(x)＝(sin x－cos x)的导函数为f′(x)，则下列结论正确的是(　　)

A．f′(x)＋f(x)＝sin x

B．f′(x)＋f(x)＝－cos x

C．f′(x)－f(x)＝sin x

D．f′(x)－f(x)＝cos x

解析：选AD.由题意，得f′(x)＝(cos x＋sin x)，所以f′(x)＋f(x)＝sin x，f′(x)－f(x)＝cos x．

7．若函数f(x)＝，则f′(x)＝________．

解析：因为f(x)＝＝，

所以f′(x)＝＝.

答案：

8．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为T(t)＝＋15，其中T(t)为蜥蜴的体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min).当t＝4 min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为________℃/min.

解析：T(t)＝＋15，T′(t)＝＝－，T′(4)＝－＝－，

即当t＝4 min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为－ ℃/min.

答案：－

9．若函数f(x)＝x3＋ax2(a∈R)的图象在x＝1处的切线过点(0，1)，则a＝________．

解析：因为f(x)＝x3＋ax2，则f′(x)＝3x2＋2ax，所以f′(1)＝3＋2a.

又f(1)＝1＋a，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－(1＋a)＝(3＋2a)(x－1).

又切线过点(0，1)，所以1－(1＋a)＝(3＋2a)(0－1)，解得a＝－3.

答案：－3

10．(13分)求下列函数的导数：

(1)y＝ex ln x＋sin x；(4分)

(2)y＝；(4分)

(3)y＝(2x＋1)(x＋2).(5分)

解：(1)y′＝(ex ln x＋sin x)′＝ex ln x＋＋cos x.

(2)y′＝()′＝＝－.

(3)方法一：y′＝[(2x＋1)(x＋2)]′＝(2x＋1)′·(x＋2)＋(2x＋1)·(x＋2)′＝2(x＋2)＋(2x