5.2.2 导数的四则运算法则-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

5.2.2　导数的四则运算法则

[学习目标]　1．能利用导数的运算法则求函数的导数．(数学运算) 2．掌握导数的四则运算法则及应用．(逻辑推理、数学运算)

[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况

问题1.导数的四则运算法则是什么？

问题2.在导数的四则运算法则中，若g(x)=c(c为常数)时，［f(x)±c］'等于什么？'等于什么？

 

探究1　f(x)±g(x)的导数

问题1　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]'与[f(x)－g(x)]'，它们与f'(x)和g'(x)有什么关系？

[提示]　设y＝f(x)＋g(x)＝x3＋x，Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2，y'＝＝3x2＋1，

而f'(x)＝3x2，g'(x)＝1，

所以[f(x)＋g(x)]'＝f'(x)＋g'(x)．

设y＝f(x)－g(x)＝x3－x，

Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx，＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2，y'＝＝3x2－1，而f'(x)＝3x2，g'(x)＝1，

所以[f(x)－g(x)]'＝f'(x)－g'(x)．

[新知生成]

两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数：[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)．

【教用·微提醒】　推广式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'＝f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)．

[典例讲评]　【链接教材P76例3】

1．求下列函数的导数：

(1)y＝x4－x2＋cos x；

(2)y＝log3x－ex．

[解]　(1)y'＝(x4)'－(x2)'＋(cos x)'＝4x3－2x－sin x．

(2)y'＝(log3x)'－(ex)'＝－ex．

 

　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可．

[学以致用]　1．求下列函数的导数：

(1)y＝3x＋；

(2)y＝lg x＋x-2－3．

[解]　(1)y'＝(3x)'＋()'＝3xln 3＋．

(2)y'＝(lg x)'＋(x-2)'－(3)'＝－2x-3．

探究2　f(x)g(x)和的导数

问题2　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]'与f'(x)g'(x)，它们是否相等？'与是否相等？

[提示]　因为[f(x)g(x)]'＝(x4)'＝4x3，

f'(x)g'(x)＝3x2·1＝3x2，

'＝(x2)'＝2x，

＝3x2，

所以[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x)，

'≠．

[新知生成]

1．[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)，特别地，[cf(x)]'＝cf'(x)．

2．'＝(g(x)≠0)．

【教用·微提醒】　积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”．

[典例讲评]　【链接教材P77例4】

2．求下列函数的导数：

(1)y＝；

(2)y＝x2(ln x＋sin x)．

[思路导引]　根据每个函数解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．

[解]　(1)函数y＝是函数f(x)＝x2与g(x)＝ln x的商，根据导数公式表分别得出f'(x)＝2x，g'(x)＝．

根据求导的除法法则，可得

'＝．

(2)函数y＝x2(ln x＋sin x)是函数f(x)＝x2与g(x)＝ln x＋sin x的积．

根据导数公式表及求导的加法法则分别得出

f'(x)＝2x，g'(x)＝＋cos x．

根据求导的乘法法则，可得

[x2(ln x＋sin x)c'＝2x(ln x＋sin x)＋x2·＝x＋2xln x＋2xsin x＋x2cos x．