4.3.1 第2课时 等比数列的性质与判定 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

第2课时　等比数列的性质与判定 课标要求　1.体会等比数列与指数函数的关系．　2.掌握等比数列的性质，并能熟练运用等比数列的性质进行简化运算．　3.掌握等比数列的判断与证明方法． 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论．今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质． 思考1　类比等差数列，等比数列的通项公式与哪类函数有关？ 提示：指数函数． 思考2　类比等差数列中am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)，能否发现等比数列中相似的关系呢？ 提示：aman＝apaq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*). 知识点一　等比数列的单调性 1．由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，当a1>0，q>1时的情形如图所示． 2．等比数列的单调性 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列； (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列； (3)当q＝1时，数列为常数列； (4)当q<0时，数列为摆动数列． 　(1)已知数列{an}满足a1＝1 024，点在函数y＝ax(a∈R)的图象上．则a10＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)已知递增的等比数列{an}满足a4＝3，a6＝12，则a5＝________． 【解析】　(1)由已知an＝an(a∈R)，则a1＝a1＝1 024，解得a＝2 048，所以an＝2 048n＝n-11，所以a10＝10-11＝2. (2)设数列{an}的公比为q，由a4＝3，a6＝12，得所以q2＝＝4，所以q＝±2.又数列{an}是递增的等比数列，所以q＝2，a1＝，所以a5＝a1q4＝×16＝6. 【答案】　(1)A　(2)6 【感悟提升】　由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，当q>0时，等比数列各项的符号相同；当q<0时，等比数列各项的符号正负交替． 点拨　任何等比数列的奇数项同号，偶数项同号． 　1.已知{an}为等比数列，则“a1<a2”是“{an}为递增数列”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 解析：选A.当公比q<0且a1<0时，a2＝a1q>0，a3＝a1q2<0，此时a1<a2，a2>a3，{an}不为递增数列，充分性不成立；当等比数列{an}为递增数列时，a1<a2，必要性成立．综上所述，“a1<a2”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝21×n，则当{an}的前n项积最大时，n＝________． 解析：因为an＝21×n，0<<1，所以数列{an}是递减数列，a4＝21×4＝>1，a5＝21×5＝<1，所以a1>a2>a3>a4>1>a5>a6>…>an，所以当1≤n≤4时，{an}的前n项积越来越大，当n≥5时，{an}的前n项积越来越小，所以当数列{an}的前n项积最大时，n的值为4. 答案：4 知识点二　等比数列项的运算性质 已知{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则 (1)an＝am·qn－m(n，m∈N*)； (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq，特别地，若m＋n＝2r，则aman＝a，m，n，r∈N*； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1an＝a2an－1＝…. 　(对接教材例2)(1)在等比数列{an}中，a2＝3，a8＝24，则a12＝(　　) A．48 B．72 C．96 D．192 (2)设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a10＝2a8，则log2＝________． 【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q6＝＝8，可得q2＝2，所以a12＝a8q4＝24×22＝96. (2)设等比数列{an}的公比为q.因为{an}是各项均为正数的等比数列，a4a10＝2a8，所以a1q3·a1q9＝2a1q7，所以a1q5＝2，所以a6＝2.因为a1a11＝a2a10＝a3a9＝a4a8＝a5a7＝a，所以log2(a1a2·…·a10a11)＝log2[(a1a11)(a2a10)·(a3a9)(a4a8)(a5a7)a6]＝log2(a·a·a·a·a·a6)＝log2a＝log2211＝11. 【答案】　(1)C　(2)11 【感悟提升】　利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 　1.在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6＝(　　) A．36 B．±6 C．－6 D．6 解析：选D.依题意，a3a4a5＝a＝8，得a4＝2，则a4＋a8＝2＋a8＝20，得a8＝18，又a＝a4a8＝2×18＝36，解得a6＝±6.因为a6＝a4q2＝2q2>0，所以a6＝6. 2．在公比为q的正项等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝14，a5＋a6＋a7＝224，则a10＝________． 解析：由题意知，a5＋a6＋a7＝q4＝14q4＝224⇒q4＝16.因为{an}是正项等比数列，所以q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1＝7a1＝14，可得a1＝2，所以an＝2n，即a10＝210＝1 024. 答案：1 024 知识点三　等比数列的判定与证明 (1)定义法：＝q(n∈N*，q≠0)或数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：a＝anan＋2且数列{an}是等比数列； (3)通项公式法：数列{an}是等比数列． 　已知数列{an}中，a1＝，且满足an＋1－3an＋1＝0(n∈N*). (1)证明：数列为等比数列； (2)求{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：由题意知an＋1－3an＋1＝0，所以an＋1－＝3，由于a1＝，故a1－＝3≠0，故＝3，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可知是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an－＝3×3n-1＝3n，故an＝3n＋. 【感悟提升】　(1)要判定一个数列不是等比数列，只要找到此数列中连续的三项不成等比数列即可． (2)在解答题中，证明一个数列是等比数列采用判定方法中的定义法与等比中项法． 　已知数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝3an＋1，证明：{bn}是等比数列． 解：(1)因为数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)证明：由(1)得bn＝3an＋1＝32n≠0，且＝＝9，所以{bn}是等比数列． 1．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则公比q＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.由a2＝2，a5＝16，可得＝q3＝＝8，所以q＝2. 2．(多选)已知等比数列{an}是递减数列，q是其公比，则下列说法一定正确的是(　　) A．a1<0 B．q>0 C．a1q<0 D．a1<0 解析：选BD.因为an＝a1qn-1＝·qn，{an}为递减数列，则a1>0，0<q<1或a1<0，q>1，故B，D正确． 3．(教材P40习题T1改编)已知等比数列{an}满足a4＋a8＝－3，a5a7＝2，则a6＝________． 解析：因为数列{an}为等比数列，由a5a7＝2，可得a4a8＝a＝2，即a6＝±.由a4＋a8＝－3<0，a4a8＝2>0，知a4，a8均为负数，所以等比数列{an}中偶数项均为负数，即a6＝－. 答案：－ 4．记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，求证：数列是等比数列． 证明：因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn，所以Sn＝n，即nSn＋1＝2Sn，所以＝2·，而＝1≠0，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 1．已学习：等比数列的单调性、等比数列项的运算性质及等比数列的判断与证明． 2．须贯通：灵活利用等比数列项的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；解答题中证明等比数列的两种方法：定义法和等比中项法． 3．应注意：运用等比数列项的运算性质时，等式左右项数需相等才成立． 学科网（北京）股份有限公司 $