4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1．在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝3，则a20＝(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－2 解析：因为a1＝1，an＋an＋1＝3，所以a2＝2，a3＝1，a4＝2，a5＝1，…， 即数列{an}的奇数项为1，偶数项为2，所以a20＝2. B　 A 基础达标 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 11 2 3 课后达标检测 15 D　 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 3．(2026·朝阳月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，则a5＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：因为点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，所以Sn＝2n－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n-1－1)＝2n-1， 所以a5＝24＝16. C　 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 B　 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是(　　) A．20 B．21 C．26 D．27 解析：n条直线相交，交点最多的个数设为an－1， 则a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝3＋3＝6，故an＝an－1＋n，n≥2， 即a4＝6＋4＝10，a5＝10＋5＝15，a6＝15＋6＝21， 故7条直线相交，交点的个数最多是21. B　 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 6．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝1，am＋n＝aman，则下列结论正确的是(　 　) A．a20＝1 B．a21＝1 C．若S20＝20，则a1＝1 D．若S21＝－1，则a1＝－1 ACD 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 令m＝2，则an＋2＝ana2＝an，因此a20＝a2＝1，a21＝a1＝±1，故A正确，B错误； 显然a2n＝1，a2n－1＝a1，则S20＝10a1＋10a2＝10a1＋10＝20，解得a1＝1，故C正确； S21＝11a1＋10a2＝11a1＋10＝－1，解得a1＝－1，故D正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 7．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意n∈N*，有an＋1＝an＋(－1)n·n，则a50＝______． 解析：依题意，a2＝a1－1，a3＝a2＋2，a4＝a3－3，…，a49＝a48＋48，a50＝a49－49， 上述49个式子相加得a50＝a1＋24×1－49＝1－25＝－24. －24 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 8．已知数列{an}对任意正整数n，均满足a1a2a3·…·an＝n2，则a3＝______． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 10．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－30n＋1. (1)求Sn的最小值，并求此时n的值；(6分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 (2)求{an}的通项公式．(7分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22称为五边形数．若五边形数所构成的数列记作{an}，则下列是数列{an}的项的是(　　) A．36 B．50 C．70 D．91 C　 B 能力提升 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 解析：由已知得，a1＝1，a2＝5＝a1＋4＝a1＋3×2－2，a3＝12＝a2＋7＝a2＋3×3－2， a4＝22＝a3＋10＝a3＋3×4－2，…，所以an＝an－1＋3n－2，n≥2， 所以a5＝a4＋13＝35，a6＝a5＋16＝51，a7＝a6＋19＝70，a8＝a7＋22＝92. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 ACD　 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 对于B，易得a15＝a6＝1，故B错误； 对于C，S100＝10＋5＋8＋4＋32×(4＋2＋1)＝251，故C正确； 对于D，若a3＝16，则a2＝32或a2＝13；若a2＝32，则a1＝64或a1＝29； 若a2＝13，则a1＝26，所以a1的值有3种情况，故D正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 13．(13分)某次练习中一道多选题中的一个选项为“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋λn＋3，则数列{an}为递增数列”．小华同学在草稿纸上的解答过程如下： 解：已知Sn＝n2＋λn＋3，则Sn－1＝(n－1)2＋λ(n－1)＋3，两式相减得an＝2n－1＋λ，故数列{an}为递增数列．请问小华的解答过程和结论是否正确？如果不正确，请简要说明理由． 解：不正确． 理由：当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋λ(n－1)＋3，Sn－Sn－1得， an＝2n－1＋λ(n≥2)，只能说明数列{an}从第二项开始是递增数列， 还需检验首项． 因为a1＝S1＝4＋λ，a2＝3＋λ，则a1＞a2， 所以数列{an}不是递增数列． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 14．(15分)记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. (1)求a1和a3的值，并猜想{an}的通项公式；(6分) 解：由题意对任意正整数n，有2Sn＝nan， 令n＝1，2S1＝a1，即2a1＝a1，可得a1＝0； 令n＝3，2S3＝3a3，即2(0＋3＋a3)＝3a3，可得a3＝6. 由a1＝0，a2＝3，a3＝6，猜想：an＝3(n－1)(n∈N*). 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 (2)证明第(1)问猜想的通项公式．(9分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 3 1 课后达标检测 15 15．已知数列{an}满足a1＝1，Sn为其前n项和，若对任意正整数p，q，当p＞q时，恒有ap＋q＋ap－q＝2ap－aq成立，则S7＝______． 解析：由已知ap＋q＋ap－q＝2ap－aq， 当p＝2，q＝1时，a3＋1＝2a2－1，即a3＝2a2－2， 当p＝3，q＝1时，a4＋a2＝2a3－1，得a4＝3a2－5， 当p＝4，q＝1时，a5＋a3＝2a4－1，得a5＝4a2－9， 又当p＝3，q＝2时，a5＋a1＝2a3－a2，即4a2－9＋1＝2(2a2－2)－a2，解得a2＝4， C 素养拓展 35 15 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 14 则a1＝1，a2＝4，a3＝6，a4＝7，a5＝7， 当p＝5，q＝1时，a6＋a4＝2a5－1，得a6＝6， 当p＝6，q＝1时，a7＋a5＝2a6－1，得a7＝4， 所以S7＝1＋4＋6＋7＋7＋6＋4＝35. 15 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 14 $