4.2.2 第3课时 等差数列前n项和的应用 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第3课时　等差数列前n项和的应用 课标要求 1.能解决两个等差数列前n项和之比的问题．　2.能求数列{|an|}的前n项和．　3.会利用等差数列前n项和解决一些实际问题． 返回导航 北宋的科学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出了“隙积术”，它不仅给出了二阶等差数列的一个求和公式，而且发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积术”的研究． 思考1　等差数列{an}的前2n－1项和与中间项的关系是什么？ 提示：S2n－1＝(2n－1)an. 思考2　等差数列{an}的每一项加上绝对值后还是等差数列吗？如何求和呢？ 提示：不一定是；分段求和． 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 应用点一　 1 1 应用点二 2 应用点三 3 应用点一　两个等差数列的前n项和之比的问题 第一部分 5 返回导航 返回导航 返回导航 B　 训练 返回导航 返回导航 应用点二　数列{|an|}的前n项和问题 第二部分 11 例2　(2026·常州月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝－n2＋10n. (1)求{an}的通项公式； 【解】　因为Sn＝－n2＋10n，当n≥2时，Sn－1＝－(n－1)2＋10(n－1)， 则an＝Sn－Sn－1＝－2n＋11(n≥2，n∈N*). 又a1＝S1＝9也符合上式， 所以an＝－2n＋11(n∈N*). 返回导航 (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 返回导航 【感悟提升】　已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤： (1)确定{an}的通项公式； (2)求解an≥0(＜0)时，n的取值范围； (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解； (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式． 返回导航 训练 　 　　(2026·邯郸月考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S3＝－30，S6＝－42. (1)求{an}的通项公式； 返回导航 返回导航 第三部分 应用点三　等差数列前n项和的实际应用 例3　某影院欲新建一个播放厅，只能容纳1 160个座位．若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为(　　) A．24 B．22 C．20 D．18 C　 返回导航 返回导航 【感悟提升】　应用等差数列解决实际问题的一般思路 (1)建模：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型． (2)解模：①分清首项、公差、项数等；②分清问题是求an还是求Sn；③选用适当的方法求解． (3)还原：把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解． 返回导航 训练 　　　 《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．书中收录了“九儿问甲歌”这类经典年龄算术题，内容如下：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为________岁． 35 返回导航 课堂巩固自测 A　 返回导航 2．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化．计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该花坛铺满一共需要的花盆数是(　　) A．380 B．390 C．400 D．600 B　 返回导航 返回导航 4．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝11，S3＝S9. (1)求{an}的通项公式； 解：由S3＝S9，得a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，故a6＋a7＝0，即a12＋a1＝0，则a12＝－a1＝－11. 设{an}的公差为d，则a1＋11d＝－11，即11＋11d＝－11，解得d＝－2， 则an＝a1＋(n－1)d＝11－2(n－1)＝－2n＋13， 所以数列{an}的通项公式为an＝－2n＋13. 返回导航 (2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求T100. 返回导航 课堂小结 1．已学习：两个等差数列的前n项和之比、含绝对值的数列的前n项和的求法及等差数列的实际应用． 2．须贯通：解决两个等差数列的前n项和之比问题时，注意等差数列下标和性质的应用；求数列{|an|}的前n项和时，体会分类讨论的数学思想． 3．应注意：求数列{|an|}的前n项和时，明确分类标准；建立等差数列模型解决问题时，分清是“项”的问题还是“和”的问题． 返回导航 【解】　当n≤5时，an>0；当n≥6时，an<0. ①当n≤5，n∈N*时，Tn＝Sn＝－n2＋10n. ②当n≥6，n∈N*时， Tn＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋an) ＝50＋n2－10n. 综上，Tn＝n∈N*. $