4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第2课时　数列的递推公式及前n项和 课标要求 1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种．　2.掌握由数列的递推公式求数列通项公式的方法.　3.会利用an与Sn的关系求通项公式． 返回导航 《算盘书》中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它们出生后的第3个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，这就是著名的斐波那契数列． 返回导航 新课导入 观察图1至图4的规律，并依此规律，回答下面的问题．   思考1　第5个图形中的小正方形有多少个？ 提示：15个． 思考2　当n≥2时，第n个图形与第n－1个图形中小正方形的个数有什么关系？ 提示：设第n个图形中小正方形的个数为an，则an－an－1＝n(n≥2，n∈N*). 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点一　数列的递推公式 第一部分 6 如果一个数列的______两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 提醒　对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项(或前几项)，就可以求出数列中的任意一项． 相邻 返回导航 B 返回导航 返回导航 －1 返回导航 【感悟提升】　由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分之间的关系，依次代入计算即可． (2)若已知项不是首项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，或根据递推公式往前递推依次求出各项． 返回导航 训练 C　 返回导航 2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是an＝an－1＋______(n∈N*，n≥2).又a10＝55，则a12＝______． 解析：由已知可得，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5， 所以递推公式可以写成an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2). 所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝55＋23＝78. n　 78 返回导航 知识点二　前n项和Sn与an的关系 第二部分 14 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作__，即_____________________． 2．数列{an}的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和__与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：an＝________________． Sn Sn＝a1＋a2＋…＋an Sn 序号n 返回导航 例2　设Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2－10n，求a1及an. 【解】　因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10×1＝－9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11. 经验证当n＝1时，an＝2n－11成立， 所以an＝2n－11. 返回导航 母题探究　本例中，若将条件“Sn＝n2－10n”变为“Sn＝n2－10n＋1”，其他条件不变，求a1及an. 返回导航 【感悟提升】　由Sn求an的一般步骤 返回导航 　　　1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n3－2n2，则a3＋a4＝______． 解析：由题意可知a3＋a4＝S4－S2＝43－2×42－(23－2×22)＝32. 32 训练 返回导航 2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝ _______________________. 返回导航 第三部分 知识点三　由递推公式求通项公式 返回导航 返回导航 【感悟提升】　累加法求通项公式 (1)适用条件：递推公式可转化为an＋1－an＝f(n)，n∈N*，f(n)是可以求和的类型； (2)方法：令n＝1到n－1，将得到的n－1个式子累加； (3)将未知项抵消即可得到数列{an}的通项公式． 返回导航 角度2　累乘法求通项公式 例4　已知在数列{an}中，a1＝4，(n＋1)·an＋1＝(n＋2)an，则an＝______________． 2n＋2，n∈N* 返回导航 返回导航 返回导航 训练 5 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 1．(教材P8练习T2改编)若数列{an}满足an＝an－1＋n＋2(n≥2)，a1＝2，则a5＝(　　) A．16 B．20 C．24 D．28 解析：a2＝a1＋2＋2＝6，a3＝a2＋3＋2＝11，a4＝a3＋4＋2＝17，a5＝a4＋5＋2＝24. C　 返回导航 AC　 返回导航 返回导航 4．(教材P8T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n＋2n＋1，求{an}的通项公式． 返回导航 课堂小结 返回导航 an－2－an－3＝－， … a3－a2＝－， a2－a1＝1－. 对这n－1个式子求和得an－a1＝1－，an＝2－，而a1＝1也满足该式， 所以an＝2－，n∈N*. $