4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第2课时　等差数列前n项和的性质 课标要求 1.理解并掌握等差数列前n项和的性质．　2.能利用等差数列前n项和的性质解决相关问题． 返回导航 小明研究一个等差数列{an}时，计算了S4＝32，S8＝56，S12＝72，S16＝80，发现S4，S8，S12，S16不成等差数列，而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12还是等差数列，小明的研究正确吗？你还能归纳出其他的结论吗？这就是这节课我们要研究的问题：等差数列前n项和的性质． 思考2　依次取出有限等差数列{an}的奇数项、偶数项，按原先顺序排列形成新的等差数列，它们的项数一定相等，对吗？ 提示：不对，有限等差数列{an}的项数是偶数时，两个新数列的项数才相等． 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点一　等差数列片段和的性质 第一部分 5 设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 返回导航 例1　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝8，S8＝40，则S12＝ (　　) A．52 B．96 C．106 D．12 【解析】　由等差数列{an}的性质可知，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，即8，32，S12－40成等差数列． 方法一：8＋S12－40＝2×32，得S12＝96. 方法二：S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝8＋32＋56＝96. B　 返回导航 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且S3＝4，S6＝10，则a16＋a17＋a18＝______． 【解析】　由等差数列的片段和性质知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12，S18－S15成等差数列．由S3＝4，S6－S3＝6，得该等差数列首项为4，公差为2， 所以a16＋a17＋a18＝S18－S15＝4＋5×2＝14. 14 返回导航 【感悟提升】　此类问题的特征是各段和的项数必须一致才能构成等差数列，且一定有如下结论：Skm＝Sm＋(S2m－Sm)＋(S3m－S2m)＋…＋(Skm－S(k－1)m)(k个片段和就是Skm). 返回导航 4 训练 返回导航 知识点二　等差数列的前n项和与项数n比的性质 第二部分 11 返回导航 例2　(1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝ (　　) A．10 B．100 C．110 D．120 B　 返回导航 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若Sm＝－3，Sm＋1＝0，Sm＋2＝4，则m＝_____. 6 返回导航 返回导航 返回导航 训练 2 136 返回导航 第三部分 知识点三　等差数列奇(偶)数项和的性质 返回导航 例3　(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； 返回导航 (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 返回导航 【感悟提升】　此类问题的本质是把一个等差数列转化为两个等差数列，利用这两个等差数列的和、差、比的关系处理相关问题，往往采取整体代换的解题思路，化繁为简． 返回导航 训练 　　 　1.已知等差数列{an}的项数为2m＋1(m∈N*)，其中奇数项和为140，偶数项和为120，则m＝(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 A　 返回导航 2．已知一个项数为n的等差数列{an}，设其前n项和为Sn，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差d＝－8，则当n为偶数时，此数列首尾两项之和为______． 56 返回导航 课堂巩固自测 1．(教材P23练习T5改编)一个等差数列共有2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则此数列第n＋1项为(　　) A．31 B．30 C．29 D．28 C　 返回导航 ABD　 返回导航 返回导航 3．(教材P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝10，S20＝60，则S50＝__________． 解析：因为{an}为等差数列，所以S10，S20－S10，…，S50－S40，…成等差数列， 即等差数列为10，50，90，130，170，…， 所以S50＝S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋(S40－S30)＋(S50－S40)＝450. 450 返回导航 解：因为(a2＋a4＋a6＋…＋a100)－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝50d＝25， 所以a2＋a4＋a6＋…＋a100＝25＋60＝85， 所以S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝60＋85＝145. 返回导航 课堂小结 1．已学习：等差数列片段和性质、前n项和与项数n比的性质以及等差数列的奇数项和、偶数项和的性质． 2．须贯通：利用等差数列的性质解决问题，注意整体代换的数学思想，虽大多数能起到化繁为简的作用，但也要注意基本方法的基础作用，不盲目追求性质． 3．应注意：性质的结构形式、本质内容不能混淆，不能臆想编造． 返回导航 若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 设等差数列{an}的前n项和为Sn. (1)若等差数列{an}的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. $