第4章 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质、最值及应用，通过回顾前n项和公式，设计问题链引导学生探究“片段和”“奇偶项和”等性质，搭建从公式到性质应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合典例与变式（如古代建筑石板问题）培养数学运算、逻辑推理和数学建模素养，规律方法系统总结，助力学生提升解题能力，为教师提供丰富教学资源与方法支持。

　 第四章　单元学习二　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的性质及其应用 学习目标 1. 理解等差数列前n项和的性质并能够运用其解题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养． 2．能够利用等差数列前n项和的函数特性求其前n项和的最值，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题，提升数学建模的核心素养． 内容索引 任务一　等差数列前n项和的性质 1 任务二　等差数列前n项和的最值 2 任务三　等差数列前n项和的应用问题 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　等差数列前n项和的性质 返回 (阅读教材P23练习T3T5、P25T7，完成探究问题1—3) 问题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n的关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 问题导思 问题2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则数列是等差数 列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，所以数列是以a1为首项，以为公差的等差数列，且点(n，)(n＝1，2，3，…)共线. 问题3.公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？ 提示：(1)若数列共有2n项，则S2n＝＝＝n(an＋an＋1)， S奇＝＝＝nan，S偶＝＝＝nan＋1. (2)若数列共有(2n＋1)项，则S2n＋1＝＝＝ (2n＋1)an＋1，S奇＝＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝＝＝nan＋1. 等差数列前n项和的性质 新知构建 性质1： “片段和” 性质 (1)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项和，前2n项和，前3n项和，…，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为_____. (链接教材P23T3) (2)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，公差为 ___(链接教材P25T7) n2d 性质2： “奇偶和” 性质 (1)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则＝n(an＋)，S偶－S奇＝____，＝(S奇≠0). (2)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝______S奇≠0)(链接教材P23T5) 性质3： “和比与项 比”性质 若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则 (1)＝，＝·. (2)若＝，则＝ 性质4： 其他性质 (1)等差数列第三求和公式：Sn＝na中(当n为奇数时，a中表示中间项；当n为偶数时，a中表示中间两项的平均数). (2)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则＝－(m＋n) nd (1)上述性质可用于小题，大题中要先证再用. (2)性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，不能误解为Sn，S2n，S3n，…成等差 数列. 微提醒 角度1　“片段和”性质 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝100，则d的值为 A.1 B. C. D. √ 典例 1 根据Sn＝，得－＝＝＝100，则d＝1. 故选A. (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为 A.0 B.2 C.3 D.4 √ 因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2. 故选B. 角度2　“奇偶和”性质 (1)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2 √ 典例 2 由题知S偶－S奇＝5d，所以d＝＝3. 故选C. (2)(2026·陕西榆林五校高二联考)已知等差数列{an}的项数为2m＋1(m∈N*)，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则m＝ A.6 B.7 C.12 D.13 √ 由题知＝，所以＝，解得m＝6. 故选A. 角度3　“和比与项比”性质 (一题多空)(2026·湖北新高考协作体联考)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn. (1)若＝，则＝____； 典例 3 　 ＝＝＝＝＝. (2)若＝，则＝_____； 　 ＝＝＝＝＝. (3)若＝，则＝_____. 因为{an}，{bn}为等差数列，且＝，所以可设Sn＝kn(2n＋3)，Tn＝kn(n＋1)，则a5＝S5－S4＝65k－44k＝21k，b10＝T10－T9＝10k×11－9k×10＝20k，所以＝. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1.(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 2.常用结论：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则 (1)数列的等差数列，且－＝d. (2)数列的等差数列，且，，成等差数列. 规律方法 对点练1.(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 022，－＝6，则S2 026＝_______. 6 078 (1)由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 025d＝－2 022＋2 025＝3，所以S2 026＝3×2 026＝6 078. (2)(双空题)在等差数列{an}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33. ①若此数列的项数为奇数，则这个数列的中间项是第______项； 4 若此数列的项数为奇数，设项数为2n－1，则奇数项之和S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan，偶数项之和S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an，所以＝＝，解得n＝4，所以第4项是此数列的中间项. ②若此数列的项数为偶数，且公差为－，则此数列的项数为______. 44 若此数列的项数为偶数，设项数为2n，则S偶－S奇＝nd，所以－11＝ －n，所以n＝22，故此数列的项数为44. (3)(2026·四川绵阳高二测试)等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，且·Tn＝Sn，则等于______. 因为等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，且·Tn＝Sn，所以＝，因为＝＝＝＝＝＝. 对点练2.(一题多解)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解：法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S10＝100，S100＝10， 所以 解得 所以S110＝110a1＋d ＝110×＋×(－)＝－110. 法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 所以前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝(－)＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋(－)＝－1， 所以S110＝－110. 法四：直接利用性质若Sn＝m，则Sm＝n，＝－(m＋n)，可知S110＝－110. 返回 任务二　等差数列前n项和的最值 返回 (阅读教材P23—24，完成探究问题4) 问题4.根据上节课所学，若一个数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列的前n项和有最值吗？ 提示：由Sn＝－n2＋5n求得an＝－2n＋6，d＝－2＜0，故数列{an}是递减数列，由an＝－2n＋6知，a1＞a2＞0，a3＝0，0＞a4＞a5＞…，则该数列的前n项和Sn在n＝2或n＝3时取到最大值. 问题导思 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1＞0，d＜0时，Sn有最____值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有最____值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定. (2)Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有最____值；当d＜0时，Sn有最____值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 新知构建 大 小 小 大 在求等差数列前n项和的最值中，Sn取得最大或最小值时的n唯一吗？是否也一定在顶点处取到呢？ 提示：由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一(例如问题4在n＝2或n＝3时取最大值)，同时也不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值. 微思考 (链教材P23例9)数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； 典例 4 解：法一(公式法)： 当n≥2时，an＝Sn－＝33n－n2－33(n－1)＋(n－1)2＝34－2n. 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)： 由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知解得a1＝32，d＝－2， 所以an＝32＋(n－1)×(－2)＝34－2n. (2){an}的前多少项和最大. 解：法一(公式法)： 令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零，又a17＝0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大. 法二(函数性质法)： 由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17. 由Sn＝－n2＋33n的图象可知：开口向下. 故数列{an}的前16项或前17项的和最大. 变式探究 1.(变条件，变设问)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－11，a3＋a7＝－6”，求Sn的最小值. 解：由题设，知解得d＝2， 则Sn＝－11n＋×2＝n2－12n， 所以当n＝6时，Sn取得最小值，Sn的最小值为－36. 2.(一题多解)(变条件)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝25，S9＝S17”，求{an}的前多少项和最大及最大和的值. 解：法一：因为S9＝S17，a1＝25， 所以9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由 又因为n∈N*，所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法三：因为S9＝S17，所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1＞0，所以d＜0.所以a13＞0，a14＜0. 同法一，求出公差d＝－2， 所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法四：因为S9＝S17，所以二次函数对称轴为n＝＝13，且开口方向向下，同法一，求出公差d＝－2， 所以当n＝13时，Sn取得最大值169. 3.(变条件)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝S10，S6＝Sk”，求k的值. 解：设等差数列{an}的公差为d. 因为等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n可看作是关于n的二次 函数， 又S3＝S10，故对称轴方程为n＝＝. 又因为S6＝Sk，所以＝，解得k＝7. 求等差数列前n项和最值的方法 1.二次函数法：用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. 2.邻项变号法：当a1＞0，d＜0，时，Sn取得最大值；当a1＜0，d＞0，时，Sn取得最小值. 规律方法 对点练3.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求数列的通项公式an； 解：当n＝1时，有a1＝S1＝－28. 当n≥2时，有an＝Sn－＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立， 因此数列的通项公式为an＝4n－32. (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是，请说明 理由； 解：数列为等差数列，证明如下： 因为－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4， 所以{an}是等差数列. (3) (一题多解)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值. 解：法一：因为Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝2－， 又因为n是正整数，所以当n＝7或8时，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112. 法二：由an＝4n－32可知数列{an}是递增的等差数列，而且首项a1＝－28＜0. 令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0. 由此可知，n＝7或8时，Sn最小，最小值是＝－112. 返回 任务三　等差数列前n项和的应用问题 返回 典例 5 角度1　在数学文化中的应用 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ 解：(1)设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为{an}，由题意可知数列{an}是等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝9，项数n＝9.由等差数列的通项公式，得a9＝a1＋(9－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)． (2)前9圈一共有多少块石板？ 解：(2)由等差数列的前n项和公式，得S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)． 因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板. 解决与数学文化有关的应用题的策略 1．与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现． 规律方法 (链教材P23例8)从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售. 4月1日该款服装售出10件，以后每天售出的该款服装都比前一天多15件，直到4月12日销售量达到最大，然后每一天售出的该款服装都比前一天少9件. (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an关于n的函数关系式； 典例 6 解：设从4月1日起该款服装日销售量构成数列. 由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列， 所以an＝10＋(n－1)×15＝15n－5(1≤n≤12，n∈N*). 而a13，a14，a15…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列， 所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30，n∈N*). 所以an＝ (2)求4月份该款服装的总销售量； 解：4月份该款服装的总销售量为＋＝＋［18×166＋×(－9)］＝2 721(件). (3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则不再流行. 试问该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由. 解：4月1日至4月12日的销售总量＝＝1 110(件)＜1 200(件)， S13＝S12＋a13＝1 110＋166＝1 276(件)＞1 200(件)， 故4月13日起该款服装在社会上开始流行，且日销量不低于100件. 由－9n＋283＜100，得n＞. 故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天. 应用等差数列解决实际问题的一般思路 规律方法 对点练4. (数字文化)(1)朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如象招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人. ”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人. ”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为 A.9 B.16 C.18 D.20 √ 根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，设该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程. 故选B. (2)(链教材P55T3(2))《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_______. 设5个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为d，则＝a1＋a2，S5＝100 ，所以解得a1＝，d＝. 对点练5. 某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元． (1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ 解：(1)设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 共12n＋4×＝2n2＋10n(万元)， 因此利润y＝50n－(72＋2n2＋10n)＝－2n2＋40n－72. 令y>0，解得2<n<18， 因为n∈N*，所以从第3年起开始获取纯利润． (2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 解：(2)年平均获利为＝＝－(2n＋)＋40. 因为2n＋≥2＝24， 所以－＋40≤－24＋40＝16，当且仅当2n＝，即n＝6时，取等号， 所以应在第6年转投其他项目． 返回 课堂小结 任务 再现 1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的最值.3.等差数列前n项和的实际应用 方法 提炼 整体代换思想、二次函数法、邻项变号法、性质法、数形结合思想、建模思想 易错 警示 对性质不熟导致运算繁琐；由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值 随堂评价 返回 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝ A.63 B.45 C.36 D.27 √ 由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9＝3S6－3S3.又S3＝9，S6＝36，所以S9＝3×36－3×9＝81，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝81－36＝45. 故选B. 2.若数列{an}的通项公式为an＝45－3n，则该数列的前n项和取得最大值时，n＝ A.13 B.14 C.13或14 D.14或15 √ 由an＝45－3n＝0，得n＝15，又a1＝42，a2＞0，…，a14＞0，故n＝14，或15时，Sn取得最大值. 故选D. 3.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于 A.10 B.100 C.110 D.120 √ 因为{an}是等差数列，a1＝1，所以＝1.又－＝2，所以的公差是1，所以＝1＋(10－1)×1＝10，所以S10＝100. 故选B. 4.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是_______. 840 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差d＝2的等差数列，且a10＝41，故a1＝a10－9d＝41－18＝23.由S20＝20a1＋×2＝840，因此，该报告厅座位总数为840. 返回 课时分层评价 返回 1.已知等差数列的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝ A.30 B.58 C.60 D.90 √ 由数列为等差数列，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16亦为等差数列.由S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. (数学文化) 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于 A.35 B.32 C.23 D.38 √ 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207，故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.等差数列的前n项和为Sn，且S2 025＞0，S2 026＜0，则Sn取得最大值时，n＝ A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.1 013 √ 由S2 025＞0，可得S2 025＝＝2 025a1 013＞0，即a1 013＞0.由S2 026＜0，可得S2 026＝＝1 013(a1 013＋a1 014)＜0，即a1 013＋a1 014＜0，故a1 014＜0，则数列是前1 013项为正数，从第1 014项开始为负数的递减数列，故Sn取得最大值时n＝1 013. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2026·河北石家庄高二月考)已知等差数列的前n项和为Sn且S7＝7，S15＝75，则的前n项和为 A.Tn＝＋ B.Tn＝－ C.Tn＝＋ D.Tn＝－ √ 设等差数列的公差为d，因为S7＝7，S15＝75，所以所以an＝－2＋(n－1)＝n－3，Sn＝＝.设bn＝＝ ，所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝，所以数列是等差数列，首项为 －2，公差为.则其前n项和Tn＝＝＝－. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)记Sn为等差数列的前n项和，则 A.S6＝2S4－S2 B.S6＝3 C.S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列 D.，，成等差数列 √ 由已知得Sn＝na1＋，对于A，S6＝6a1＋15d，S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，所以2S4－S2＝6a1＋11d≠S6，故A错误；对于B，3＝6a1＋15d＝S6，故B正确；对于C，根据片段和的性质即可得到，故C正确；对于D，根据成等差数列， 故D正确. 故选BCD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是 A.d＞0 B.a1＜0 C.当n＝5时Sn最小 D.Sn＞0时n的最小值为8 √ 由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d.又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A、B正确；因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3或n＝4时Sn最小，故C错误；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7(n∈N*)，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确. 故选ABD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为______. 由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个. 所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210＞200，所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为200－190＝10(根). 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是____________. 由题意，当且仅当n＝8时，Sn有最大值，可知解得－1＜d＜－. (－1，－) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＋＝______. 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，__________. (1)判断2 026是不是数列{an}中的项，并说明理由； 解：若选①， 设数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－17＋(n－1)×3＝3n－20. 令3n－20＝2 026，得n＝682∈N*， 所以2 026是数列{an}中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选②， 设数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12. 令2n－12＝2 026，解得n＝1 019∈N*， 所以2 026是数列{an}中的项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求Sn的最小值. 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 解：若选①， 令an＝3n－20＞0，解得n＞， 所以当n≤6时，an＜0. 故当n＝6时，Sn取到最小值， 为S6＝6a1＋15d＝－57. 若选②， 令2n－12＞0，得n＞6， 所以当n≤6时，an≤0. 故当n＝6，或n＝5时，Sn取到最小值， 为S5＝S6＝6×(－10)＋×2＝－30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法一：甲：为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，因此为等差数列，则甲是乙的 充分条件；反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t，即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：甲：为等差数列，设数列的首项a1，公差为d，即Sn＝na1＋d，则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，上两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)(2026·山西吕梁高二检测)已知等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S10<S8<S9，则下列说法正确的是 A．当n＝8，Sn最大 B．使得Sn<0成立的最小自然数n＝18 C．> D．中最小项为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，因为所以即两式相加，解得，当n＝9时，Sn最大，故A错误；由S10<S8，可得到a9＋a10<0<a9，所以a8＋a11<0，a10＋a11＋a8＋a9<0，所以<，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由以上可得a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…，S17＝＝17a9>0，而S18＝＝9<0，当n≤17时，Sn>0；当n≥18时，Sn<0；所以使得Sn<0成立的最小自然数n＝18，故B正确；当n≤9，或n≥18时，>0；当9<n<18时，<0；由0>a10>a11>…>a17，S10>S11>S12>…>S17>0，所以中最小项为，故D正确．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则的值为 A． B． C． D． √ 因为{an}，{bn}为等差数列，且＝，所以可设Sn＝kn(2n＋3)，Tn＝kn(n＋1)，则a5＝S5－S4＝65k－44k＝21k，b10＝T10－T9＝110k－90k＝20k，所以＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(15分)甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ 解：设甲第n分钟走an m，构成等差数列{an}，则a1＝2，公差d＝1，an＝n＋1， 甲运动n分钟后总共走了 m， 乙运动n分钟后总共走了5n m. (1)令2n＋＋5n＝70，解得n＝7(负值舍去)， 所以甲、乙开始运动后7分钟相遇． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：(2)令2n＋＋5n＝70×3，解得n＝15(负值舍去)， 所以开始运动15分钟后第二次相遇． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　) A． B． C．10 D．11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列{an}是一个首项为2，公差为3的等差数列，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1，Sn＝＝，所以＝＝≥2＝，当且仅当＝，即n＝2时，等号成立，所以的最小值为.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)在数列{an}中，＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23. (1)求数列{an}的通项公式； 解：由＋an＝2n－44(n∈N*)， 得＋＝2(n＋1)－44， 所以－an＝2. 又a2＋a1＝2－44＝－42，所以a2＝－19. 同理可得a3＝－21，a4＝－17. 由－an＝2可得a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值. 解：当n为偶数时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(＋an) ＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－×44 ＝－22n＝(n－22)2－242， 故当n＝22时，Sn取得最小值－242. 当n为奇数时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(＋an) ＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋×(－44) ＝－23＋－22(n－1) ＝－22n－＝(n－22)2－， 故当n＝21，或n＝23时，Sn取得最小值－243. 综上，当n为偶数时，Sn取得最小值－242；当n为奇数时，Sn取得最小值 －243. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第2课时　等差数列前n项和的性质及 其应用 返回 $