4.1 第1课时 数列的概念与简单表示 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第四章　数列 4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示 课标要求 1.了解数列的有关概念与数列的表示法．　2.掌握数列通项公式的概念及应用．　3.理解数列与函数的关系． 返回导航 奥林匹克运动会每四年举办一次，北京在2008年举办奥运会，中国在第23届(1984年)美国洛杉矶夏季奥运会上获得首枚金牌．从第23届起，奥运会的举办年份依次为：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016，…，显然北京奥运会是第29届，这就是今天我们要学习的数列． 思考1　全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数是什么？ 提示：2，4，6，8，10，…. 思考2　我们知道函数f(x)＝2x＋1的图象是一条直线，(1，3)，(2，5)，(3，7)，(4，9)，(5，11)五个点有什么规律？ 提示：五个点均在函数f(x)＝2x＋1的图象上． 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 应用点 3 知识点一　数列的概念与分类 第一部分 6 1．数列的有关概念 数列 按照_______________排列的一列数 项 数列中的每一个数 首项 数列的第1项 通项 数列中的第n项an 确定的顺序 返回导航 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…； (2)字母表示：上面数列通常记为________． 提醒　(1)概念中的“一列数”，即不止一个数；(2)数列中的数是有顺序的；(3)同一个数在一个数列中可以重复出现；(4)数列{an}与an是不同的，{an}表示数列，an表示数列{an}中的第n项． {an} 返回导航 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数______的数列 无穷数列 项数______的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 有限 无限 大于 小于 相等 返回导航 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)1，0，1，0是一个数列．(　　) (2)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．(　　) (3)数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3.(　　) (4)数列4，7，3，4的首项是4.(　　) 即时练 × √ × √ 返回导航 2．小于10的正整数排成一个递减数列{an}，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝1 B．a4＝4 C．a5＝5 D．a9＝9 解析：依题意，递减数列{an}应为：9，8，7，6，5，4，3，2，1. C　 返回导航 ①　 ②③④⑤　 ③　 ④　 ①　 ②⑤ 返回导航 返回导航 【感悟提升】　数列分类的方法 (1)一组元素构成数列的依据：各项是否为按确定顺序排成的一列“数”． (2)一个数列是递增、递减还是常数列，要从项的变化趋势来分析；是有穷还是无穷数列，要看项的个数是有限个还是无限个． 返回导航 知识点二　数列的表示 第二部分 15 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 提醒　数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． 序号n 返回导航 2．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 ________________(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照_________________________时，对应的一列函数值 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)_________； (3)_________ 正整数集N* 从小到大的顺序依次取值 列表法 图象法 返回导航 【解】　{an}的前5项如下表： 图象如图所示： 返回导航 【解】 {dn}的前5项如下表： 图象如图所示： 返回导航 【感悟提升】　(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系． (2)图象法表示数列时，数列的图象是以(n，an)为坐标的一系列孤立的点． (3)通项公式法表示数列时，就是用一个式子表示第n项an与它的序号n之间的关系． 返回导航 角度2　根据数列的前几项写通项公式 例2　(对接教材例2)写出下面各数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，…； 【解】　3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝2n＋1(n∈N*). (2)1，2，4，8，…； 【解】　1＝21-1，2＝22-1，4＝23-1，8＝24-1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝2n-1(n∈N*). 返回导航 (3)9，99，999，9 999，…； 【解】　9＝10－1，99＝102－1，999＝103－1，9 999＝104－1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝10n－1(n∈N*). (4)1，－1，1，－1，…. 【解】　1＝(－1)1-1，－1＝(－1)2-1，1＝(－1)3-1，－1＝(－1)4-1，…， 所以所求的一个通项公式可以为an＝(－1)n-1(n∈N*). 返回导航 【感悟提升】　根据数列的前几项求其通项公式的方法 (1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负项交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1处理． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 返回导航 训练 　　　1.将下列表格补充完整． n 1 2 … 5 …   … n an     …   … 195 … n2－2n 解：由题得an＝n2－2n， 令n＝1得a1＝－1； 令n＝2得a2＝0； 令n＝5得a5＝15； 令an＝n2－2n＝195，所以n＝15(负值已舍去). 返回导航 所以得到下面表格： n 1 2 … 5 … 15 … n an －1 0 … 15 … 195 … n2－2n 返回导航 返回导航 (2)－1，7，－13，19； 解：从数列的前4项－1，7，－13，19中发现规律，其每一项的符号按照(－1)n的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*). 返回导航 (3)0.7，0.77，0.777，0.777 7； 返回导航 返回导航 第三部分 应用点　数列通项公式的简单应用 返回导航 返回导航 【感悟提升】　求项或判断某数是否为数列中的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列中的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列中的项，否则该数不是数列中的项． 返回导航 训练 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 1．数列{1－3n}的第6项为(　　) A．－19 B．－17 C．－14 D．19 解析：当n＝6时，1－3×6＝－17，所以数列{1－3n}的第6项为－17. B　 返回导航 2．(多选)下面四个结论正确的是(　　) A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列211，985，211，985，…，211，985，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 BC　 返回导航 解析：由数列中项是有次序的，可知A错误； 根据数列中项的个数是无限个，可判断数列为无穷数列，故B正确； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 返回导航 3．(教材P5T2改编)根据数列的通项公式an＝2(1＋3n)，填写下表． n 1 2 3 … 11 …   …   an       …   … 128 … 602 返回导航 n 1 2 3 … 11 … 21 … 100 an 8 14 20 … 68 … 128 … 602 返回导航 4.(教材P5T4改编)根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)－1，3，－5，7，－9，…； 解：由该数列每一项的正负变化，以及数列每一项绝对值的变化规律， 即可得到该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)(n∈N*). 返回导航 返回导航 课堂小结 返回导航 n 1 2 3 4 5 an＝－ － － － －1 － n 1 2 3 4 5 dn＝ －1 － － $