21.3 二次根式的加减 题型专练 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

华师大版（2024）九年级上册 21.3 二次根式的加减 题型专练 【题型1】同类二次根式 【典例】下列判断（1）和不是同类二次根式；（2）和不是同类二次根式；（3）与不是同类二次根式，其中错误的个数是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 【举一反三1】下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 【举一反三2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】与　      　同类二次根式（填“是”或“不是”）． 【举一反三4】请写出的一个同类二次根式：　    　． 【举一反三5】已知最简根式和最简根式是同类根式，求a2002﹣b2001的值． 【举一反三6】计算：4÷（﹣）×． 【题型2】二次根式的加减 【典例】下列计算中，正确的是（　　） A. B.＝ C. D. 【举一反三1】3﹣2与+的差是（　　） A.0 B.负数 C.1 D.正数 【举一反三2】计算|3﹣|+|﹣4|的结果为（　　） A.﹣1 B.1 C.7﹣2 D.2﹣7 【举一反三3】下列计算正确的是 　     　.（只填序号） ①+＝；②2+2＝2；③3﹣＝3；④. 【举一反三4】． 【举一反三5】计算： （1）; （2）+． 【题型3】二次根式的混合运算 【典例】按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（　　） A.﹣1 B.3﹣ C.﹣3 D.5﹣ 【举一反三1】计算÷（+）的结果是（　　） A.+3 B.3﹣6 C.3﹣2 D.+ 【举一反三2】计算的结果为（　　） A. B. C. D.5 【举一反三3】按如图所示的程序计算，若输入的n值为，则输出的结果为 　          ． 【举一反三4】下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式＝ 第一步 ＝ 第二步 ＝ 第三步 任务一：以上步骤中，从第 　    　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　                   　． 任务二：请写出正确的计算过程． 【举一反三5】计算：（）﹣（）﹣×． 【题型4】二次根式的化简求值 【典例】计算的值是（　　） A.1 B. C.2 D.5 【举一反三1】若x＜1，且y＝+3，则y÷×的值是（　　） A. B.4 C.16 D.64 【举一反三2】当a＝时，代数式的值是（　　） A.﹣2﹣ B.﹣2+ C.2+ D.2﹣ 【举一反三3】已知a+b＝12，ab＝9，且a＞b，则的值为　       　． 【举一反三4】若点P（x，y）在第二象限，则化简的结果是　       　． 【举一反三5】对于题目：“化简并求值：，其中a＝．” 甲、乙两人的解答不同，甲的解答是： ＝＝； 乙的答案是：＝＝＝＝． 谁的解答是错误的？谁的解答是正确的？为什么？ 【举一反三6】先化简，再求值．，其中． 【题型5】二次根式的实际应用 【典例】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响），则从100 m高空抛物到落地所需时间为（　　） A.2s B.s C.s D.2s 【举一反三1】△ABC的两边长分别为2和2，第三边上的高等于，则△ABC的面积是（　　） A. B.2 C.或2 D.不能确定 【举一反三2】在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加2 cm，宽增加7 cm，就成为了一个面积为192 cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为　       　． 【举一反三3】据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10 m/s2），从40 m高空抛物到落地的时间为　       　． 【举一反三4】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）． （1）计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ （2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【题型6】海伦-秦九韶公式 【典例】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为（　　） A.16 B. C. D. 【举一反三1】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称为海伦﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，则△ABC的面积是（　　） A.12 B. C.24 D. 【举一反三2】海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　） A. B. C. D.10 【举一反三3】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，若a＝8，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为 　     　． 【举一反三4】我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，5，6，则这个三角形的面积为　     　． 【举一反三5】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”，完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6． （1）求△ABC的面积； （2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值． 【举一反三6】[素材引入]若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，即p为△ABC的周长的一半，则（S△ABC表示△ABC的面积），把这个公式称为海伦公式． （1）现有一块三角形空地A，它的三边长分别为a＝3 m，b＝5 m，c＝6 m，求这块地的面积； （2）有一块空地B的面积为，则空地A的面积是空地B面积的几倍． 华师大版（2024）九年级上册 21.3 二次根式的加减 题型专练（参考答案） 【题型1】同类二次根式 【典例】下列判断（1）和不是同类二次根式；（2）和不是同类二次根式；（3）与不是同类二次根式，其中错误的个数是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】（1）和可以化简为和，故是同类二次根式； （2）和可以化简为和不是同类二次根式； （3）与可以化简为2和是同类二次根式， 故选：B． 【举一反三1】下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】D 【解析】A．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； C．与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； D．与，被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【举一反三2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、＝2与是同类二次根式； D、＝2与不是同类二次根式； 故选：C． 【举一反三3】与　      　同类二次根式（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【解析】∵＝， ∴与 是同类二次根式， 故答案为：是． 【举一反三4】请写出的一个同类二次根式：　    　． 【答案】，5 【解析】因为＝2，所以与是同类二次根式的有：，5…．（答案不唯一） 【举一反三5】已知最简根式和最简根式是同类根式，求a2002﹣b2001的值． 【答案】解：∵最简根式和最简根式是同类根式， ∴， 解得：， ∴a2002﹣b2001＝1﹣1＝0． 【举一反三6】计算：4÷（﹣）×． 【答案】解：原式＝﹣2÷×＝﹣×＝﹣． 【题型2】二次根式的加减 【典例】下列计算中，正确的是（　　） A. B.＝ C. D. 【答案】C 【解析】A、3与不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、4+＝5，故本选项正确； D、m﹣n＝（m﹣n），故本选项错误． 故选：C． 【举一反三1】3﹣2与+的差是（　　） A.0 B.负数 C.1 D.正数 【答案】B 【解析】原式＝（3﹣2）﹣（+） ＝3﹣2﹣﹣ ＝3﹣2﹣3﹣2 ＝﹣4． 故选：B． 【举一反三2】计算|3﹣|+|﹣4|的结果为（　　） A.﹣1 B.1 C.7﹣2 D.2﹣7 【答案】B 【解析】|3﹣|+|﹣4|＝＝1． 故选：B． 【举一反三3】下列计算正确的是 　     　.（只填序号） ①+＝；②2+2＝2；③3﹣＝3；④. 【答案】④ 【解析】①与不是同类二次根式，不能合并计算，故①计算错误，不符合题意； ②2+2＝4，故②计算错误，不符合题意； ③3，故③计算错误，不符合题意； ④，正确，符合题意； 故答案为：④． 【举一反三4】． 【答案】解：原式＝﹣1+﹣+2﹣＝1． 【举一反三5】计算： （1）; （2）+． 【答案】解：（1）＝6+9＝15； （2）+＝7﹣5+3＝5． 【题型3】二次根式的混合运算 【典例】按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（　　） A.﹣1 B.3﹣ C.﹣3 D.5﹣ 【答案】D 【解析】由题意得：3÷3﹣＝1﹣＜1， ∴（1﹣）×（3﹣）＝3﹣﹣3+2＝5﹣4， ∴若输入数字“3”，则输出的结果是5﹣4， 故选：D． 【举一反三1】计算÷（+）的结果是（　　） A.+3 B.3﹣6 C.3﹣2 D.+ 【答案】C 【解析】÷（+）＝÷ ＝• ＝（） ＝3﹣2． 故选：C． 【举一反三2】计算的结果为（　　） A. B. C. D.5 【答案】B 【解析】 ＝×4﹣×3+4× ＝3﹣2+3 ＝+3， 故选：B． 【举一反三3】按如图所示的程序计算，若输入的n值为，则输出的结果为 　          ． 【答案】8+5 【解析】当n＝时， ×（+1） ＝×+×1 ＝2+＜11， 当n＝2+时， （2+）（2++1） ＝（2+）（3+） ＝6+2+3+2 ＝8+5＞11， ∴输出的结果为8+5， 故答案为：8+5． 【举一反三4】下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式＝ 第一步 ＝ 第二步 ＝ 第三步 任务一：以上步骤中，从第 　    　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　                   　． 任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】解：任务一：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：乘除混合运算时，未按照从左到右顺序依次计算； 任务二： ＝ ＝ ＝． 【举一反三5】计算：（）﹣（）﹣×． 【答案】解：（）﹣（）﹣× ＝2﹣﹣﹣﹣ ＝﹣﹣． 【题型4】二次根式的化简求值 【典例】计算的值是（　　） A.1 B. C.2 D.5 【答案】C 【解析】原式＝﹣ ＝（3+）﹣（3﹣） ＝2． 故选：C． 【举一反三1】若x＜1，且y＝+3，则y÷×的值是（　　） A. B.4 C.16 D.64 【答案】B 【解析】因为x＜1，所以x﹣1＜0， 所以，y＝+3＝﹣1+3＝2， 代入原式＝2÷×＝4． 故选：B． 【举一反三2】当a＝时，代数式的值是（　　） A.﹣2﹣ B.﹣2+ C.2+ D.2﹣ 【答案】A 【解析】∵a＝＜1， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：A． 【举一反三3】已知a+b＝12，ab＝9，且a＞b，则的值为　       　． 【答案】 【解析】∵a+b＝12，ab＝9，且a＞b， ∴（a+b）2＝144， ∴a2+b2+2ab＝144， 故a2+b2＝126， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝126﹣18＝108， ∴a﹣b＝6， ∴＝＝＝＝＝． 故答案为：． 【举一反三4】若点P（x，y）在第二象限，则化简的结果是　       　． 【答案】﹣ 【解析】∵点P（x，y）在第二象限， ∴x＜0，y＞0， ∴＝﹣． 故答案为：﹣． 【举一反三5】对于题目：“化简并求值：，其中a＝．” 甲、乙两人的解答不同，甲的解答是： ＝＝； 乙的答案是：＝＝＝＝． 谁的解答是错误的？谁的解答是正确的？为什么？ 【答案】解：甲的解答错误， 当a＝时，＝5，a﹣＜0， ∴＝|a﹣|＝﹣a， 故乙的解答正确． 【举一反三6】先化简，再求值．，其中． 【答案】解：原式＝2a2﹣b2﹣2a2+2ab＝﹣b2+2ab， 当时，原式＝﹣2﹣． 【题型5】二次根式的实际应用 【典例】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响），则从100 m高空抛物到落地所需时间为（　　） A.2s B.s C.s D.2s 【答案】A 【解析】当h＝100时，t＝＝2（秒）， 答：从100 m高空抛物到落地所需时间是2秒； 故选：A． 【举一反三1】△ABC的两边长分别为2和2，第三边上的高等于，则△ABC的面积是（　　） A. B.2 C.或2 D.不能确定 【答案】C 【解析】如图1， 根据题意，AB＝2、AC＝2，AD＝， ∴BD＝＝1，CD＝＝3， 则S△ABC＝×（1+3）×＝2； 如图2， S△ABC＝×（3﹣1）×＝， 故选：C． 【举一反三2】在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加2 cm，宽增加7 cm，就成为了一个面积为192 cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为　       　． 【答案】18 【解析】设原长方形纸片的长为x cm，宽为y cm． 则由题意，得， ∴（x+2）2＝192． ∴x+2＝8． ∴x＝6． ∴y＝． 所以原长方形纸片的面积为xy＝6×＝18（cm2）． 故答案为：18． 【举一反三3】据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10 m/s2），从40 m高空抛物到落地的时间为　       　． 【答案】 【解析】h＝40 m，g≈10 m/s2时，＝＝（s）， 故答案为：． 【举一反三4】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）． （1）计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ （2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】解：（1）当t＝21时，＝7×3＝21（厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）当d＝35时，即＝35， t﹣12＝25， t＝37， 答：冰川约是在37年前消失的． 【题型6】海伦-秦九韶公式 【典例】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为（　　） A.16 B. C. D. 【答案】B 【解析】∵a＝4，b＝5，c＝7． ∴p＝＝8， ∴△ABC的面积S＝＝4； 故选：B． 【举一反三1】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称为海伦﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，则△ABC的面积是（　　） A.12 B. C.24 D. 【答案】B 【解析】∵AB＝4，BC＝9，AC＝11， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三2】海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　） A. B. C. D.10 【答案】C 【解析】∵三角形ABC三边长分别为4，5，6， ∵p＝＝＝， ∴三角形ABC的面积为：＝＝， 故选：C． 【举一反三3】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，若a＝8，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为 　     　． 【答案】 【解析】∵a＝8，b＝4，c＝6， ∴p＝＝． ∴＝． 故答案为：． 【举一反三4】我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，5，6，则这个三角形的面积为　     　． 【答案】2 【解析】∵a＝5，b＝3，c＝6， ∴p＝＝7， ∴这个三角形的面积为＝＝2； 故答案为：2． 【举一反三5】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”，完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6． （1）求△ABC的面积； （2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值． 【答案】解：（1）p＝＝9, S＝； ∴△ABC的面积为6； （2）S＝5h2＝6 h1＝6， ∴h2＝，h1＝2， ∴h1+h2＝2． 【举一反三6】[素材引入]若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，即p为△ABC的周长的一半，则（S△ABC表示△ABC的面积），把这个公式称为海伦公式． （1）现有一块三角形空地A，它的三边长分别为a＝3 m，b＝5 m，c＝6 m，求这块地的面积； （2）有一块空地B的面积为，则空地A的面积是空地B面积的几倍． 【答案】解：（1）∵a＝3 m，b＝5 m，c＝6 m， ∴＝×（3+5+6）＝7（m）， ∴三角形空地A的面积为S＝＝2（m2）； （2）． ∴空地A的面积是空地B面积的倍． 学科网（北京）股份有限公司 $