第二章 直线和圆的方程 单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第二章 直线和圆的方程 注意事项： 1．测试范围：高二数学人教A版选择性必修第一册第二章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知直线：，：，若，则实数（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系求解即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得. 当时，：，：，不重合. 所以. 2．已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 3．已知直线，直线，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，，显然两直线平行， 因此由可以推出，充分性成立； 若，则，解得或1， 当时，，，此时两直线重合，舍去， 当时，，，此时两直线平行， 因此由可以推出，必要性成立； 综上所述，“”是“”的充要条件． 4．已知直线， 则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】两直线平行条件：， 代入系数：，解得， 代入检验发现当时，，两直线重合，故舍去， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 5．若直线与直线互相平行，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两直线平行的系数等价关系列方程求解的值可得. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，，解得. 因此. 6．下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．如果，，那么直线不经过第二象限 C．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示 【答案】C 【详解】令，得，故直线在轴上的截距为，故A错误； 因为，，所以直线方程化为， 因为，所以直线不过第三象限，故B错误； 若，则化为，其倾斜角为； 若，则化为， 因为且，所以或， 则或，得或， 故直线的倾斜角的范围是，故C正确； 若，则无法用表示，故D错误. 7．已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 8．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求得圆的方程，可求得，的坐标，进而利用阿波罗尼斯圆，逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】圆与轴相切于点，所以设圆的圆心为，圆的半径为， 因为，所以，解得， 所以圆的方程为， 令，得，所以，， 由，可得圆与轴正半轴交于点， 所以，，所以， 设平面内一点，且，所以， 化简整理得，所以点的轨迹方程为； 又因为为圆上的点，所以，， 所以，， 所以，故A，B错误； 所以，故C正确，D错误. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【答案】AD 【分析】选项：先由直线方程得到斜率，结合正弦的值域求出斜率范围，进而得到倾斜角的取值范围；选项：利用一般式下两直线垂直的条件求出参数，判断充分性与必要性；选项 ：先根据两直线平行求出参数 ，统一系数后利用平行线距离公式计算距离判断；选项：把分式理解成两点连线的斜率，求出定点与线段端点连线斜率，结合图像分析斜率取值范围，即可得到正确选项. 【详解】选项A:直线 ，变形：，斜率， ，，又倾斜角 . ① ,  ② ，A正确； 选项B：直线：，， ∵两直线垂直，，∴， 解得 或 ， 垂直时可取，故只是充分不必要条件，B错误； 选项C：∵ 与 平行， ∴，， ∵，∴平行线间距离：，C错误； 选项D：：点与定点连线的斜率， ∵ ，∴， ∵在线段上移动，结合图形分析： ，D正确. 10．（多选）已知直线， ，不能围成三角形，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知，三条直线至少存在两条直线平行或三条直线相交于一点，分别求的值. 【详解】（1）当时，，，此时不平行且不重合，故一定能围成三角形，舍去； 当时，， 由题意可知：①时，，即，则； ②时，，即，则； ③，即，则方程无实根. 三条直线交于一点，即，由整理得， 所以，即，， 解得或. 所以. 11．（多选）已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（      ） A．圆的标准方程 B．四边形周长的最小值为 C．直线过定点 D．若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】本题是圆的综合题，要结合圆的方程，直线与圆的位置关系，切线长公式以及直线过定点问题和绝对值函数的性质，逐项进行分析解答. 【详解】A：圆关于直线和对称，因此圆心是这两条线的交点. 联立方程：解得，即圆心. 圆C经过点，半径为圆心到的距离， 因此圆的标准方程为，A正确； B：四边形的周长为（为切线长）. 切线长因此周长为 要使周长最小，需最小（在直线上）. 的最小值为圆心到直线的距离： 此时周长最小值为，B正确； C：设满足以为直径的圆的方程为 与圆的方程相减得公共弦(即切点弦)的方程 整理得代入 变形为代入上式，整理得， 联立，可得，说明直线所过定点为错误； ：由， 表示圆上的点到直线、距离和的倍， 要使的取值与无关，只需圆在两条直线之间，如上图， 又到的距离，即直线与圆相离， 若过圆心，则，即直线过圆心，则为，显然， 所以，只需在圆的另一侧与圆相切或相离即可，即且， 所以，即D选项正确. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知两条直线，的方向向量分别为，，且，则实数_________． 【答案】/0.5 【分析】根据垂直关系的向量表示及向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】若，则，即，解得. 13．过，两点的直线的倾斜角为，则______. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角求得斜率，结合两点斜率公式列方程求解，再检验舍去两点重合的增根即可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角为，故直线的斜率存在且斜率， 因为，， 由两点斜率公式得 ，即，即， 当时，此时，，两点重合，不能确定直线，舍去； 当时，得 ，整理得， 所以 ， 代入验证，、两点不重合，符合题意， 综上，的值为. 14．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为________． 【答案】8 【分析】将条件转化为单位圆上互相垂直的两点，通过三角换元设点坐标，去掉绝对值后把目标式化简为正弦型函数，进而求出最大值． 【详解】已知，，则是单位圆上两点， ，则， 设点，则， ， ， 令， 则 ， ，故， 故的最大值为8． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． (3)求的面积． 【答案】(1) A(3,4) (2) x+5y-9=0 (3) 7 【分析】（1）根据题意得到交点所在的两条直线，联立方程即可； （2）根据题意列出有关条件的式子，进行求解； （3）根据三角形面积公式，先求出有关量，代入公式即可. 【详解】（1）因为为边上的高，，所以， 过，得方程为，即， 联立方程，解得，故. （2）设，则中点， 由题意在上，在上，得，解得，即， 则， 由点斜式得直线方程为，整理得. （3）， 点到直线的距离， 所以. 16．（本小题满分15分） 已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点． (2) (3)的最小值为4，直线l的方程为 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线总过定点； （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故， 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为． 17．（本小题满分15分） 已知直线，，且直线，的交点为点． (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先由的斜率结合垂直关系得的斜率，再用点斜式求的方程； （2）先联立求交点，再分截距为0和不为0两种情况求的方程. 【详解】（1） 直线整理为斜截式方程得，故的斜率，因为与垂直，所以的斜率， 又过点，由点斜式方程得：，整理得 （2）联立，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为，将代入得，解得，故方程为，即； ② 当在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为，即，将代入得，故方程为，即； 综上，的方程为或. 18．（本小题满分17分） 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. (1)求中边上中垂线的一般方程； (2)求中角平分线所在直线的一般方程； (3)求点关于直线：对称的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）判断是以B为直角的等腰直角三角形，角平分线过B和AC中点，点斜式化简得方程； （3）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【详解】（1）由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； （2）直线AB的斜率，得，则， 又，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形，故角的平分线为边上的中线， 因中点为，又因，则角平分线的斜率， 由点斜式得方程， 即角平分线所在直线的一般方程为； （3）设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 19．（本小题满分17分） 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． (1)过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)的最大值：，的最小值：. (3)当时，为定值，当时，为定值 【分析】（1）使用几何法求直线与圆弦长问题，计算直线的斜率求解； （2）通过圆的定义确定点的轨迹，得出点的轨迹方程，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题求解； （3）设，使用解析法计算定值求解. 【详解】（1）设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆， 当直线斜率不存在时，直线方程为：，直线被曲线所截得的线段长为，符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，则，解得，即，，此时直线方程为：，即， 所以直线的方程为：或. （2）设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， 的最大值：，的最小值：. （3）设，则，即， ， 设，， 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 第二章直线和圆的方程 注意事项： 1.测试范围：高二数学人教A版选择性必修第一册第二章。 2.考试时间：120分钟试卷满分：150分。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的) 1.已知直线：m+)-1=0,4.(4m-3列x+2y-3=0,若，则实数m=() ，若 A.1 B.2 c.4 D.0 2.已知三点4(22)，B(3),C(-),则过点A的直线与线段8C有公共点时（公共 点包含端点)，直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是() A,[ 8.(小o.[经 c.[ 。.(小o.[经 :x+(1+a)y=2-a 2:2ax+4y=-1 3.已知直线 ，直线 6,则a=1是，的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 1/6 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知直线：+y-2=04:2x+(a+1y+2=0 则a=-2”是4/%”的《) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.若直线+(a+1y+a-2=0 直线 ax+4y+16=0 互相平行，则a=() A.1 B.-2 c.1或-2 D.1或0 6.下列说法正确的是() A.直线3x-y-1=0在y轴上的截距为1 B.如果AB<0,BC<0,那么直线Mx-y-C=0不经过第二象限 π3π C.直线I的方程为x-ysin0+2=0,则直线的倾斜角a的范围是4'4」 y-出=x-x D.经过平面内任意相异两点(：，)，(：，)的直线都可以用方程-y,-,表示 7.已知直线'：+m)x++2my-7m-4=0 0当点P2,2)到的距离最大时，m=（) -3 B.0 C.Z D.1 8.如图，圆C与×轴相切于点0)，与》轴正半箱交于两点A,日(8在4的上方)，且 AB=2 过点A且倾斜角为60°的直线与圆0：r+少1相交于M,N两点，则《) 2/6 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 INB MA=2 NB MA=23 A.NA MB B.NA MB INB _MMA=2 INB MA=2V2 C.NA MB D.NA MB 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。) 9.(多选)下列说法正确的是() A直线sna+y+2=0的倾斜角0的取值范围是4Y4,π B.:a=-1”是“直线 与直线*-四少-2=0 2x-y+1=0 互相垂直”的充要条件 C.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是3 y-1 D.设点A(2,-3),B(-3,-2),若点P(x,y)在线段4B上（含端点)，则x-的取值范围 是小[居 :x+4y-4=042:x+my=0ζ：3mx-2y+4=0 10.(多选)已知直线 不能围成三角 形，则m的取值可能为() A.4 B.1 1,《多选)已知圆C关于直线=x+和直线=2x对称，因C经过点M),点P是 直线I:3x+4y-1=0上的一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B.则下列说法 正确的是() A.圆C的标准方程(x-+(0-2=1 3/6 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 ACB 2W5+2 B.四边形 周长的最小值为 C.直线AB过定点 2,3) D.若N(,川是圆C上一点，x+y+a+1-x-川的取值与y无关，则实数“的取 值范围是0，V2-3] 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知两条直线，的方向向量分别为a-(,2),6=0月，且41，则实数k= 13.过4m+2㎡-3，B(-m-m,2m）两点的直线的倾架角为60，则m= 14,已知实数，立，片，片满足， x好+=1x号+经=1x为3+y2=0 ,则 x+%-3+k,+⅓3的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系xOy中，己知△ABC的顶点B(-L,2),BC边上中线AD所在直线方程为 5x-3y-3=0MB边上的高CH所在直线方程为 CH 2x+y-9=0 ,求 (1)顶点A的坐标： (2)求直线BC的方程。 (3)求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 已知直线 :kx-y+1+2k=0(k∈R) (1)证明：直线I过定点： (2)若直线！不经过第四象限，求k的取值范围： 4/6 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 (3)若直线I交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积为 s,求$的最小值及此时直线的方程。 17.(本小题满分15分) 已知直线：x-2y+4=0.4:4x+3y+5=0 且直线，的交点为点P、 (若直线经过点2,3 ,且与直线垂直，求直线的方程： 2若直线经过点P,且在两坐标轴上的截距相等，求直线”的方程. 18.(本小题满分17分) 在坐标平面O中，△ABC三个顶点坐标分别为 A(1,1)B(2,3)C(4,2) (1)求△ABC中BC边上中垂线的一般方程： (2)求△ABC中角B平分线所在直线的一般方程： (3)求点A关于直线l:3x+4y-1=0对称的点的坐标 19.(本小题满分17分) 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值九（九>0 且入≠1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯 PA1 圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(-2,0O),点P满足PB2, 设点P所构成的曲线为C. (1)过点 L4)的直线'被曲线C所截得的线段长为25，求直线的方程， 2过A作直线与曲线C交于D,E两点，DE中点为M,求M的最值， x2+y2=1 0 (3)已知点为圆 8上任意一点，过点”向曲线C作切线，切点为G,试探究：平 OH 面内是否存在定点月'使得QG为定值？若存在，请求出定点月的坐标，并指出相应的 5/6 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 定值：若不存在，请说明理由 6/6