《第三章图形的相似第二节探索三角形相似的条件（二）》提优特训A·B卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第三章图形的相似第二节探索三角形相似的条件（二）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.熟练掌握相似三角形四种完整判定方法，厘清每种判定的适用条件、几何语言格式，区分相似与全等判定的异同。 2.能根据题目边角条件，快速选择最优判定定理，规范完成几何推理证明，提升分类讨论与严谨推理能力。 3.能准确计算线段比例、对应边长，结合比例关系判定三角形相似，解决边长求值、比例推导类题型。 4.能在 “ A字型、8字型、斜交型 ” 等常见几何模型中识别相似三角形，掌握中考基础、中档提优题型解题思路。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.牢记并熟练运用四种相似三角形判定定理，规范书写几何证明步骤。 2.掌握 “ 两边成比例且夹角相等、三边成比例 ” 两大核心判定（本节新课重点）。 3.能根据已知条件灵活切换判定方法，解决图形识别、证明、计算类综合题。 （二） 难点 1.区分 “ 夹角相等 ” 与 “ 非夹角相等 ” ，规避两边成比例、一边对角相等的相似陷阱。 2.复杂图形中找准对应边、对应角，避免对应关系错乱。 3.综合题型中结合多个判定定理、图形模型，完成多步推理证明。 ) 三．知识梳理 本节整合初中全部四种三角形相似判定方法，是本章核心重难点，所有判定无需证明、可直接用于解题。 (一）四种判定方法 判定一：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 1.定理内容：如果两个三角形有两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。 2.适用场景：题目给角相等、平行、垂直、公共角、对顶角、等角代换优先使用。 3.几何语言： 在△ABC和△DEF中 ∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴△ABC ∽△DEF 4.补充：只需两组角相等即可，第三组角必然相等；直角三角形只需一组锐角相等即可相似。 判定二：两边成比例且夹角相等（SAS型相似，本节新课核心） 1.定理内容：两个三角形的两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，两三角形相似。 2.关键核心：必须是夹角！不是其中一边的对角！ 3.几何语言： 在△ABC和△DEF中 ∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEF 4.适用场景：题干给出线段长度、线段比例、边长倍数关系优先选用。 5.关键思考： 若两边成比例，不是夹角的角相等，三角形一定相似吗？ 结论：__________（填“一定”或“不一定”），此为考试高频陷阱！ 【解析】不一定，原因：两边对应成比例，但如果相等的角不是这两条边的夹角（也就是SSA的情况），画出的三角形会有两种不同的形状，无法保证三角形相似，这是相似判定里最常见的陷阱。 判定三：三边对应成比例（SSS型相似） 1.定理内容：两个三角形三组对应边比值全部相等，两三角形相似。 2.几何语言： 在△ABC和△DEF中 ∵ ∴△ABC∽△DEF 4.适用场景：题目只给边长数据、网格图形、无角度时，优先用SSS判定 5.推论：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（A 型、X 型） （1） A 型：DE// BC，则△ADE∽△ABC （2）X 型（8 字型）：BC//ED,则△ABC∽△AED 判定四：直角三角形专属判定（HL型相似） 1.定理内容：两个直角三角形，斜边和一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 2.适用前提：仅限直角三角形 3.几何语言: 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵∠C=∠C'=90o AB：A'B'=AC：A'C' ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 4.补充 直角三角形除HL外，任意一个锐角相等（AA）、两条直角边成比例（SAS） 均可证相似。 （二）四种判定方法整体选用口诀 有角相等用AA； 有比例有夹角用SAS； 三边比例用SSS； 直角斜边比例用HL。 （四）四大判定方法不比较 判定方法 适用三角形 核心条件 优先级 AA 任意三角形 两组角对应相等 最高（最常用） SAS相似 任意三角形 两边成比例+夹角相等 中等（易错） SSS相似 任意三角形 三边对应成比例 仅边长题使用 HL相似 直角三角形 斜边、一直角边成比例 直角三角形专属 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.已知△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下图各三角形中与△ABC相似的是(　　) A.① B.② C.①② D.①②③ 【答案】　C　 【解析】∵∠A=40°,∠B=75°,∴∠C=180°-40°-75°=65°.①在△EDF中,∠E=∠A=40°,∠D=∠C=65°,∴△EFD∽△ABC.②在△HGK中,∠H=180°-∠G-∠K=∠A=40°,∠G=∠B=75°,∴△HGK∽△ABC.另外一个三角形不与△ABC相似.故选C. 2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝ 【答案】D 【解析】A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D． 3．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D． 4．如图在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝ 【答案】D 【解析】∵∠DAE＝∠CAB，∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED；当＝时，△ABC∽△AED．故选：D． 5．如图，点D，E分别在△ABC的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，B选项正确； 和不是同位角，无法证明，A选项错误；， ，C选项错误；，且与不一定会相等，与不一定会相等，D选项错误． 6．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误．B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误．D、，且（是与的夹角，是与的夹角），满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 7．如图，在△ABC中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，，当时，．故选：． 8．如图，已知，请添加一个条件使△ABC和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A项：∵，，∴，故A成立，不符合题意；B项：∵，，∴，故B成立，不符合题意；C项：∵在和中，和不是对应边，∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意；D项：在和中，，9.，故D成立，不符合题意，综上，不成立的是C． 已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A.都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 【答案】A 【解析】图中，∵， ，∴两三角形中有两个角分别对应相等，故两三角形相似； ∵，，，， ∴，，∴，∵， ∴，综上可知两对三角形都相似． 10.下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【解析】A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意；B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意；C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意；D、，但相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理不能判定，故此选项符合题意． 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件　 　，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 【答案】∠ACD＝∠ABC．（答案不唯一） 【解析】由题意得，∠A＝∠A（公共角），则可添加：∠ACD＝∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD＝∠ABC． 12．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：　 　． 【答案】△ABP∽△AED（答案不唯一） 【解析】∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有　　个． 【答案】3 【解析】设AP为x，∵AB＝10，∴PB＝10﹣x，①AD和PB是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴＝，即＝，整理得，x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，②AD和BC是对应边时，∵△APD与△BPC相似，∴＝，即＝，解得x＝5，所以，当AP＝2、5、8时，△APD与△BPC相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3． 14．如图是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，则A，B两点间的距离为________． 【答案】30 mm 【解析】如图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于点E.∵铁夹的侧面是轴对称图形，∴直线OE是其对称轴，∴OE⊥AB，AE＝BE.∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°， ∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴＝.又∵OC＝＝＝26，∴＝，解得AE＝15(mm)，∴AB＝2AE＝30 mm. 15．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC与△DEF相似，DE的长可以是_____________. 【答案】10或24 【解析】若△ABC∽△DFE，则＝，即＝，解得DE＝10；若△BAC∽△DFE，则＝，即＝，解得DE＝24.综上可得，DE的长可以是10或24. 16.如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，点N在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，当AN＝_______时，使得△CDM与△MAN相似。 【答案】a 【解析】能找到．分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则＝.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴CD＝a，DM＝AM＝，∴AN＝a.②若△CDM∽△NAM，则＝.∵CD＝a，DM＝AM＝，∴AN＝a，即点N与点B重合，不合题意，舍去． 17．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 　　．（写出一个即可） 【答案】AF＝AC或∠AFE＝∠ABC 【解析】分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB＝AF：AC，即1：2＝AF：AC，∴AF＝AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE＝∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF＝AC或∠AFE＝∠ABC．故答案为：AF＝AC或∠AFE＝∠ABC． 18．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 　　条． 【答案】3 【解析】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3． 19．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】4 【解析】∵是斜边上的高，于点，∴，，在和中，∵， ∴；在和中，∵， ∴；∵，∴，∴； ∵，，∴，在和中， ，∴；∴图中与相似的三角形有个． 20．如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是_____ （填序号）． 【答案】④ 【解析】①，∴，②∵，∴，③∵，∴，∵，∴， ④条件不符合，不能判定，故答案为：④． 三．解答题（共60分） 21．如图，在大小为6×6的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1，B1，C1都在正方形方格的顶点上． 解：由于△ABC的三边长分别为，2，，故可将这些边长适当放大，如放大2倍、倍等．如解图(答案不唯一)． 22．判断下面各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程： (1)如图①，，和； (2)如图②，，和． 解：(1)和相似，理由如下：∵，，∴． (2)和相似，理由如下：∵，，∴． 23．如图，在△中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 解：（1）证明：∵，，∴，∴； （2）∵，，∴，∴，∵，∴． 24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C. 又∵＝，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG，∴＝.又∵＝，∴＝，∴＝1. 25．如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：． 解：（1）证明：，，， ， ，； （2）证明：，，，，，，，， ，． 26.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF． (1)求证：AB＝AD． (2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项． ①若AD＝4，求线段FD的长． ②求证：△DEF∽△CEB． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，∵AE⊥BF， ∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB=AD； (2)①∵线段FD是线段AD与AF的比例中项∴FD2=AD·AF，∵AD=4，设FD=x，则AF=4-x，∴x2=4（4-x），解得：x=或（舍），∴FD=； ②由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，∴DF=CE，∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，∴DF2=AF•AD，∴，∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE． 27．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”． 解决问题： (1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由； (2)如图②，在矩形ABCD中，已知AB＝2 ，BC＝3，M是AD边上的一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处．求证：点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”． 解： (1)点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．理由如下：∵∠DEC＝45°， ∴∠AED＋∠BEC＝135°.∵∠A＝45°，∴∠ADE＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”． (2)证明：由题意可知DM＝EM，EC＝CD＝AB＝2 ，∠A＝∠B＝∠MEC＝90°.由勾股定理，得BE＝＝＝.则AE＝.∵∠A＝∠B＝∠MEC＝90°， ∴∠AEM＋∠AME＝90°，∠AEM＋∠BEC＝90°，∴∠AME＝∠BEC.又∵∠A＝∠B，∴△AEM∽△BCE，∴＝，即＝，解得AM＝1.由勾股定理，得EM＝2.∵＝，＝，∴＝，即＝.又∵∠A＝∠CEM，∴△AEM∽△ECM. 又∵△AEM∽△BCE，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC.在图中的三角形中,两两相似的三角形的对数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】　B　 【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴∠CAB=∠ADC=90°.又∵∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC,同理△ADB∽△CAB,∴△ADC∽△BAC∽△BDA.故图中共有3对三角形相似,故选B. 2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是 （　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝ 【答案】D　 【解析】A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故选：D． 3．如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．＝ D．＝ 【答案】C 【解析】∵∠A是公共角，∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD， ∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即 ，也可判定△ABC∽△ACD，∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．故选：C． 4．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】C 【解析】∵∠BAC＝∠PED，而＝，∴＝时，△ABC∽△EPD，∵DE＝4，∴EP＝6， ∴点P落在P3处．故选：C． 5．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【解析】由网格图和勾股定理可得，①中三角形的三边长为，，；②中三角形的三边长为，，；③中三角形的三边长为，，；④中三角形的三边长为，，；∵，∴①和③中的三角形相似．故选：C． 6．如图，在△ABC中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与△ABC相似．B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与△ABC相似．C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与△ABC不相似．D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与△ABC相似． 7．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】，∴；， ∴，即，∵， ∴；，∴，∵，∴， ∴，∵，∴；，∴；，∴，无法得到， 所以一共有4个． 8．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意∴过点M作直线l共有三条，故选：C． 9．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】A　 【解析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7， ∴，，∴， ∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D　 【解析】如图①，∠OAB＝∠BAC1，∠AOB＝∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2＝∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如图③，AC3∥OB，∠ABC3＝90°，则∠ABO＝∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如图④，∠AOB＝∠BAC4＝90°，∠ABO＝∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．故选：D． 二．填空题（共30分） 11.如图,平行四边形ABCD中,F是CD上一点,连接BF并延长,交AD的延长线于点G,交AC于E,则图中的相似三角形共有______对。 【答案】　6　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△BEC∽△GEA,△ABE∽△CFE,△GDF∽△GAB,△DGF∽△CBF,∴△GAB∽△BCF,另外还有△ABC∽△CDA,共有6对相似三角形.故选B. 12．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为______。 【答案】 【解析】∵∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，∴△ABD∽△BDC， ∴＝，即＝，解得CD＝． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为______。 【答案】 【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD＝AB：（BC+CE），又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴3：2.5＝5：（3+CE），从而得到CE＝．解法二：连接AE．∵DE垂直平分线段AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，∴x2＝42+（x﹣3）2，解得x＝，∴EC＝﹣3＝． 14．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动．当CM＝________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】∵AE＝EB，∴AD＝2AE.又∵△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似，当CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2＋CN2＝MN2＝1，即CM2＋CM2＝1，解得CM＝； 当CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2＋CN2＝MN2＝1，即CM2＋4CM2＝1，解得CM＝.综上所述，当CM＝或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 15.如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2＝______． 【答案】45° 【解析】由勾股定理，得BC＝a，BA＝a，BD＝2a，AC＝a，AD＝a. ∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DBA，∴∠2＝∠BAC，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BAC＝∠ABF.∵∠ABF＝45°，∴∠1＋∠2＝45°. 16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则△BMN∽△　 　，相似比为 　 　． 【答案】BAC；1：4． 【解析】∵MN⊥BC，∴∠NMB＝90°，∴∠A＝∠NMB，∵∠B＝∠B，∴△BMN∽△BAC， ∴∠BNM＝∠C＝30°，，∴AB＝BC；∵N是AB的中点，∴BN＝AB；∴BN＝BC； ∴相似比为BN：BC＝1：4．故答案为：BAC；1：4． 17．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　 　． 【答案】①② 【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAC+60°，∠BAE＝∠BAC+60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE＝DC． ∴∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD+∠BDO+∠DBO＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）＝60°，∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，∵∠DBO＝∠ABD+∠ABE＝60°+∠ABE，∠OCE＝∠ACE+∠ACO＝60°+∠ACD，∵∠ABE≠∠ACD，∴∠DBO≠∠OCE，∴两个三角形的最大角不相等，∴△BOD不相似于△COE； 故答案为：①②． 18．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以每秒2 cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3 cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动．那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是______。 【答案】s或4s 【解析】设运动了t s，根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC－CQ＝16－3t(cm). 当△APQ ∽△ABC时，＝，即＝，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，＝，即＝，解得：t＝4.故当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是s或4s． 19．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】如图，过点作，交的延长线于点，∴，∵，，，∴由勾股定理得，；∵，，∴由勾股定理得，；∵，∴，∴，∴，∴，即，解得∴，由勾股定理得，，故答案为：． 20．如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________．    【答案】 【解析】如图，以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，，，， ，， ，，，，，即，，， ，根据三角形三边关系可知，故当三点共线时，最长，最长为．故答案为：． 三．解答题（共60分） 21．在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5方格纸中，已知点A(0，－2)，B(－1，0)，作格点△ABC，使它和△OAB相似(相似比不为1)，求点C的坐标． 解：由题意，得OA＝2，OB＝1.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝.∵相似比不为1，∴△OAB∽△CAB或△OAB∽△CBA不合题意，∴△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论：[]①∠ABC＝90°，当△BCA∽△OAB时，＝＝，即＝＝， 解得AC＝5，BC＝2 .分别以点A，B为圆心，5，2 为半径作圆，两圆的交点C的坐标是(3，2)．同理，当△BAC∽△OAB时，可知不存在这样的格点； ②∠BAC＝90°，当△ACB∽△OAB时，＝＝，即＝＝，解得AC＝2 ，BC＝5.易得点C的坐标是(4，0)．同理，当△ABC∽△OAB时，可知不存在这样的格点． 综上所述，点C的坐标为(3，2)或(4，0)． 22．如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 解：(1)证明：∵，，∴，∴，又∵，∴； （2），∴，即，解得． 23．如图，等腰直角△和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 解：（1）证明：∵∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）证明：∵△和△ADE是等腰直角三角形，∴，， ∴，，∴．在和中，，， 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P. (1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC. (2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 解：(1)∵PQ⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠AQP＝∠ABC.又∵∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC. (2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理，得AC＝＝5.[来源:Zxxk.Com] 当△PQB为等腰三角形时，分情况讨论：①当点P在线段AB上时，如题图①.∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ.由(1)，得△AQP∽△ABC，∴＝，即＝，解得PB＝，∴AP＝AB－PB＝3－＝.②当点P在线段AB的延长线上时，如题图②.∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ.∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P.∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴BP＝AB，∴AP＝2AB＝2×3＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6. 25．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，且与AC的延长线交于点E，与BC交于点F. 求证：(1)△AED∽△CBM； (2)AE·CM＝AC·CD. 证明：(1)∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCM＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCM.同理可得∠MDH＝∠MBD.∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD，∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH，∴∠ADE＝∠CMB.又∠A＝∠BCM，∴△AED∽△CBM. (2)由(1)可知△AED∽△CBM，∴＝，即AE·CM＝AD·CB.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即AC·CD＝AD·BC，∴AE·CM＝AC·CD. 26.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． ①　　　　　　　　　② 答图① 答图② 答图③ 解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线； (2)①当AD＝CD时，如答图①，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°； ②当AD＝AC时，如答图②，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°； ③当AC＝CD时，如答图③，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍去．综上所述，∠ACB＝96°或114°； (3)∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∵AC＝AD＝2，∴()2＝x(x＋2)， ∵x＞0，∴x＝－1，即BD＝－1，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝， ∴CD＝×2＝－. 27．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则____； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 解：（1）四边形是正方形，，，，，，，，，； （2）四边形是矩形，，，，，，，，； （3）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第三章图形的相似第二节探索三角形相似的条件（二）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.熟练掌握相似三角形四种完整判定方法，厘清每种判定的适用条件、几何语言格式，区分相似与全等判定的异同。 2.能根据题目边角条件，快速选择最优判定定理，规范完成几何推理证明，提升分类讨论与严谨推理能力。 3.能准确计算线段比例、对应边长，结合比例关系判定三角形相似，解决边长求值、比例推导类题型。 4.能在 “ A字型、8字型、斜交型 ” 等常见几何模型中识别相似三角形，掌握中考基础、中档提优题型解题思路。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.牢记并熟练运用四种相似三角形判定定理，规范书写几何证明步骤。 2.掌握 “ 两边成比例且夹角相等、三边成比例 ” 两大核心判定（本节新课重点）。 3.能根据已知条件灵活切换判定方法，解决图形识别、证明、计算类综合题。 （二） 难点 1.区分 “ 夹角相等 ” 与 “ 非夹角相等 ” ，规避两边成比例、一边对角相等的相似陷阱。 2.复杂图形中找准对应边、对应角，避免对应关系错乱。 3.综合题型中结合多个判定定理、图形模型，完成多步推理证明。 ) 三．知识梳理 本节整合初中全部四种三角形相似判定方法，是本章核心重难点，所有判定无需证明、可直接用于解题。 (一）四种判定方法 判定一：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 1.定理内容：如果两个三角形有两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。 2.适用场景：题目给角相等、平行、垂直、公共角、对顶角、等角代换优先使用。 3.几何语言： 在△ABC和△DEF中 ∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴△ABC ∽△DEF 4.补充：只需两组角相等即可，第三组角必然相等；直角三角形只需一组锐角相等即可相似。 判定二：两边成比例且夹角相等（SAS型相似，本节新课核心） 1.定理内容：两个三角形的两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，两三角形相似。 2.关键核心：必须是夹角！不是其中一边的对角！ 3.几何语言： 在△ABC和△DEF中 ∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEF 4.适用场景：题干给出线段长度、线段比例、边长倍数关系优先选用。 5.关键思考： 若两边成比例，不是夹角的角相等，三角形一定相似吗？ 结论：__________（填“一定”或“不一定”），此为考试高频陷阱！ 判定三：三边对应成比例（SSS型相似） 1.定理内容：两个三角形三组对应边比值全部相等，两三角形相似。 2.几何语言： 在△ABC和△DEF中 ∵ ∴△ABC∽△DEF 4.适用场景：题目只给边长数据、网格图形、无角度时，优先用SSS判定 5.推论：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（A 型、X 型） （1） A 型：DE// BC，则△ADE∽△ABC （2）X 型（8 字型）：BC//ED,则△ABC∽△AED 判定四：直角三角形专属判定（HL型相似） 1.定理内容：两个直角三角形，斜边和一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 2.适用前提：仅限直角三角形 3.几何语言: 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵∠C=∠C'=90o AB：A'B'=AC：A'C' ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 4.补充 直角三角形除HL外，任意一个锐角相等（AA）、两条直角边成比例（SAS） 均可证相似。 （二）四种判定方法整体选用口诀 有角相等用AA； 有比例有夹角用SAS； 三边比例用SSS； 直角斜边比例用HL。 （四）四大判定方法不比较 判定方法 适用三角形 核心条件 优先级 AA 任意三角形 两组角对应相等 最高（最常用） SAS相似 任意三角形 两边成比例+夹角相等 中等（易错） SSS相似 任意三角形 三边对应成比例 仅边长题使用 HL相似 直角三角形 斜边、一直角边成比例 直角三角形专属 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.已知△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下图各三角形中与△ABC相似的是(　　) A.① B.② C.①② D.①②③ 2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝ 3．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 4．如图在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝ 5．如图，点D，E分别在△ABC的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 7．如图，在△ABC中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，请添加一个条件使△ABC和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 9.已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A.都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 10.下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件　 　，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可） 12．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：　 　． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有　　个． 14．如图是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，则A，B两点间的距离为________． 15．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC与△DEF相似，DE的长可以是_____________. 16.如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，点N在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，当AN＝_______时，使得△CDM与△MAN相似。 17．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 　　．（写出一个即可） 18．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 　　条． 19．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 20．如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是_____ （填序号）． 三．解答题（共60分） 21．如图，在大小为6×6的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1，B1，C1都在正方形方格的顶点上． 22．判断下面各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程： (1)如图①，，和； (2)如图②，，和． 23．如图，在△中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若＝，求的值． 25．如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：． 26.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF． (1)求证：AB＝AD． (2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项． ①若AD＝4，求线段FD的长． ②求证：△DEF∽△CEB． 27．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”． 解决问题： (1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由； (2)如图②，在矩形ABCD中，已知AB＝2 ，BC＝3，M是AD边上的一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处．求证：点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC.在图中的三角形中,两两相似的三角形的对数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是 （　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝ 3．如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．＝ D．＝ 4．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（　　） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 5．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 6．如图，在△ABC中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C．D． 7．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共30分） 11.如图,平行四边形ABCD中,F是CD上一点,连接BF并延长,交AD的延长线于点G,交AC于E,则图中的相似三角形共有______对。 12．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为______。 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为______。 14．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动．当CM＝________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似． 15.如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2＝______． 16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则△BMN∽△　 　，相似比为 　 　． 17．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　 　． 18．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以每秒2 cm的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3 cm的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动．那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是______。 19．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 20．如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________．    三．解答题（共60分） 21．在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5方格纸中，已知点A(0，－2)，B(－1，0)，作格点△ABC，使它和△OAB相似(相似比不为1)，求点C的坐标． 22．如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 23．如图，等腰直角△和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P. (1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC. (2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 25．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，且与AC的延长线交于点E，与BC交于点F. 求证：(1)△AED∽△CBM； (2)AE·CM＝AC·CD. 26.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 　　　①　　 ②　　 27．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则____； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $