奥数思维培优 第12讲 周期问题·余数定位（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教课标版 · 四年级上册奥数思维培优】 第12讲 周期问题 · 余数定位 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第12讲 专题 周期问题——余数定位 适用年级 小学四年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 有余数的除法、乘法口诀 核心方法 找周期→算余数→定位置 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 认识周期现象，会用“总数÷周期”求余数并定位。 过程与方法 经历观察、操作、归纳的完整过程，体会余数决定位置。 思维品质 培养规律意识与推理能力。 情感应用 感受周期现象在生活中的广泛存在。 三、数学史话导入 【数学史话】周期现象古已有之：我国农历以“朔望月”为周期，月缺月圆约29.5天循环一次；天干地支六十年一循环，周而复始。古人正是用“找周期、算余数”来安排历法、预测月相，周期思维源远流长。 节日到了，校园里挂起一排彩旗：红、黄、蓝、红、黄、蓝……同学们看得眼花缭乱。老师提问：“第20面旗是什么颜色？”有人一面一面数，数到一半就乱了。其实只要掌握“余数定位”的诀窍，一眼就能答出来。 想一想：彩旗红黄蓝三色循环，第20面是什么颜色？ 悬念：像这样按规律不断重复出现的现象，数学上叫“周期”。 图1 彩旗情境 今天我们就来学习周期问题。 四、六大考点导航 图2 周期问题三步法 要素 含义 例子 周期 一组规律重复出现的长度 红黄蓝，周期=3 组数 总数里面有几个完整周期 余数 多出来的个数 ……2，余2 定位 余几就是周期中第几个 余2→第2面（黄） 无余数 正好整周期 取最后一个 考点 核心方法 对应题 考点1 余数定位 总数÷周期，余几取第几个 例1、A1 考点2 整除取末 余0取周期最后一个 例2、A5 考点3 星期跨月 天数÷7，余几往后数几天 例3、真题2 考点4 周期计数 整组×每组量＋余数部分 例5、C12 考点5 多周期复合 先定周期，再逐段处理 真题1、B9 考点6 报数类 余几就报几 例6、C13 五、易错辨析 常见错误 正确做法 余数当组数 余数是“位置”，不是“组数” 整除忘取末位 余0取周期最后一个 从0开始数 余1是第1个，不是第0个 星期数错日子 今天到下一天算1天，不要多算 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从彩旗、珠子到星期、数字、图形与报数；每例后附一道变式练习。 例1【彩旗周期】 题目：彩旗按“红、黄、蓝”3面一组排列：红、黄、蓝、红、黄、蓝……第20面旗是什么颜色？ 分析：周期=3，用20÷3求出组数和余数，余几就是第几个。 详解： 面），第20面在第7组的第2个位置。 周期中第2面是黄色。 答：第20面旗是黄色的。 图3 彩旗排列 方法点睛：余数2→第2面（黄）；若余数0，就是最后一面（蓝）。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：彩旗按“红、黄、蓝、绿”4面一组排列，第25面是什么颜色？ 解答： 面），余1是第1面红色。答：红色。 点拨：与例1同法：先求余数再定位。 例2【珠子排列】 题目：一串珠子按“白、黑、白、黑、白……”2颗一周期排列，第30颗是什么颜色？ 分析：周期=2，30÷2正好整除，说明第30颗是一个完整周期的最后1颗。 详解： ，正好整除，余数0。 余数0时取周期最后一个：黑色。 答：第30颗珠子是黑色的。 图4 珠子串 方法点睛：整除（余数0）时，答案就是周期的最后一个。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一串珠子按“红、蓝、蓝”3颗一周期排列，第31颗是什么颜色？ 解答： 颗），余1是第1颗红色。答：红色。 点拨：与例2同法。 例3【星期周期】 题目：今天是星期五，再过20天是星期几？ 分析：星期每7天循环一次，20÷7看余几天，从星期五往后数。 详解： 天）。 星期五往后数6天：六、日、一、二、三、四。 答：再过20天是星期四。 图5 星期盘 方法点睛：星期问题：天数÷7，余几往后数几天。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：今天是星期三，再过30天是星期几？ 解答： 天），周三往后数2天是周五。答：星期五。 点拨：与例3同法。 例4【数字循环】 题目：一列数按“1、2、3、1、2、3……”循环排列，第40个数是几？ 分析：周期=3，求40÷3的余数，余几就是周期中第几个数。 详解： 个）。 余1是周期中第1个数：1。 答：第40个数是1。 图6 数字循环 方法点睛：数字循环与彩旗同法：余数决定是第几个数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一列数按“1、2、3、4、1、2、3、4……”循环，第33个数是几？ 解答： 个），余1是第1个数1。答：1。 点拨：与例4同法。 例5【图形周期】 题目：图形按“△、○、□、△、○、□……”3个一周期排列。第50个图形是什么？前50个图形中○有多少个？ 分析：先定位：50÷3求余数；再计数：整组数×每组○的个数+余数中的○。 详解： 个），余2是第2个图形：○。 前50个中，完整16组每组有1个○：。 余数2个图形是“△、○”，其中有1个○。 ○总数：。 答：第50个是○；前50个中○有17个。 图7 图形周期 方法点睛：先定位（余数），再计数（整组数×每组的量+余数部分）。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：图形按“△、△、○”3个一周期排列，前30个图形中△有几个？第25个图形是什么？ 解答： ，每组2个△：；……1，余1是△。答：△有20个，第25个是△。 点拨：与例5同法。 例6【报数综合】 题目：同学们按“1、2、3、4、5、1、2、3、4、5……”的顺序报数，第38个同学报几？ 分析：报数周期=5，用38÷5求余数，余几就报几。 详解： 个）。 余3，第3个同学报3。 答：第38个同学报3。 图8 报数 方法点睛：报数问题：总数÷报数周期，余几就报几。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：同样按“1、2、3、4、5”报数，第57个同学报几？ 解答： 个），余2报2。答：报2。 点拨：与例6同法。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【大数周期】（某名校小升初真题） 题目：有2016个图形按“☆、○、△、□”4个一周期排列，最后一个图形是什么？ 分析：2016÷4，整除说明最后一个图形是周期中第4个。 详解： ，正好整除。 整除时取周期最后一个：□。 答：最后一个图形是□（正方形）。 方法点睛：大数周期也一样：先算余数，整除取末位。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：若一共有2017个这样的图形，最后一个是什么？ 解答： 个），余1是第1个☆。答：☆。 点拨：与真题1同法。 真题2【跨月星期】（某重点中学招生真题） 题目：2012年1月1日是星期日，那么2012年2月1日是星期几？（1月有31天） 分析：从1月1日到2月1日正好经过31天，31÷7求余数。 详解： 天）。 星期日往后数3天：一、二、三。 答：2012年2月1日是星期三。 方法点睛：跨月算星期：天数=两个日期之间的总天数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：2012年全年有366天，若2012年1月1日是星期日，2013年1月1日是星期几？ 解答： 天），周日往后数2天是周二。答：星期二。 点拨：与真题2同法。 真题3【周期计数综合】（某名校小升初真题） 题目：一列彩灯按“红、红、黄、绿”4盏一周期排列，前100盏彩灯中红色有多少盏？第100盏是什么颜色？ 分析：先定位第100盏，再按“整组×每组红数＋余数中的红数”计数。 详解： ，正好整除，第100盏是周期中第4盏绿色。 每组红色2盏：。 答：前100盏中红色有50盏，第100盏是绿色。 方法点睛：周期计数两步走：先算余数定位置，再“整组×每组量＋余数部分”。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：若只有前99盏，红色有多少盏？ 解答： 盏），余3是第3盏黄色；红色：，余数3盏“红、红、黄”中有2盏红色，共。答：红色有50盏。 点拨：与真题3同法：定位＋计数分步做。 八、方法总结表 类型 做法 例子 彩旗/图形 总数÷周期，余几取第几个 ……2→黄 珠子/数字 同彩旗：余数定位 ……1→1 星期 天数÷7，余几往后数 周五+6天=周四 报数 余几就报几 ……3→报3 周期计数 整组数×每组量＋余数部分 ……2→16×1+1=17个 整除情况 余0取最后一个 →黑 九、解题口诀 周期问题不用慌，三步解题记心上： 一找周期是几长，二算总数除以它； 余数是几第几个，整除就把末个当； 星期报数也一样，余数定位最灵光。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一串灯笼按“红、黄、绿”3个一组排列，第10盏是什么颜色？ A2. 一列数按“1、2、3、4、1、2、3、4……”排列，第17个数是几？ A3. 今天是星期一，再过7天是星期几？ A4. 图形按“△、□、○、△、□、○……”排列，第10个图形是什么？ A5. 小旗按“蓝、黄、蓝、黄……”2面一周期排列，第16面是什么颜色？ B组 能力提升（5题） B6. 彩灯按“红、橙、黄、绿”4色循环，第23盏是什么颜色？ B7. 今天是星期四，再过25天是星期几？ B8. 图形按“☆、★、☆、★……”2个一周期排列，第32个图形是什么？ B9. 一列数按“1、2、3、4、5”循环，第44个数是几？ B10. 一串珠子按“黑、白、白”3颗一周期排列，第19颗是什么颜色？ C组 思维挑战（5题） C11. 今天是星期六，再过100天是星期几？ C12. 图形按“△、△、○”3个一周期排列，第40个图形是什么？前40个中○有多少个？ C13. 同学们按“1、2、3、4、5”循环报数，第67个同学报几？ C14. 2011年6月1日是星期三，那么2011年7月1日是星期几？（6月有30天） C15. 一列数按“1、1、2、1、1、2……”3个一周期排列，第50个数是几？前50个数中2有多少个？ 十一、参考答案与详细解析 A1 盏），余1是第1盏红色。答：红色。 A2 个），余1是第1个数1。答：1。 A3 ，正好整除，仍是星期一。答：星期一。 A4 个），余1是第1个图形△。答：△。 A5 ，整除取最后一个：黄色。答：黄色。 B6 盏），余3是第3色黄色。答：黄色。 B7 天），周四往后数4天：五、六、日、一。答：星期一。 B8 ，整除取最后一个：★。答：★。 B9 个），余4是第4个数4。答：4。 B10 颗），余1是第1颗黑色。答：黑色。 C11 天），周六往后数2天：日、一。答：星期一。 C12 个），余1是△；每组1个○：。答：第40个是△，○有13个。 C13 个），余2报2。答：报2。 C14 6月1日到7月1日共30天，天），周三往后数2天是周五。答：星期五。 C15 个），余2是第2个数1；每组1个2：。答：第50个数是1，2有16个。 十二、本讲小结 本讲学会了用“总数÷周期→余数定位”解决周期问题：余几就是周期中第几个，整除就取最后一个。这个本领还能帮我们算星期、报数、排列图形。下一讲我们学习植树问题，探索“间隔模型”的奥秘。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 余数当组数 余数是“位置”，不是“组数” 整除忘取末位 余0取周期最后一个 从0开始数 余1就是第1个 星期算日子 下一天算1天，跨月数天数 学习建议：平时多观察生活中的周期现象，如红绿灯、日历、生肖等，先找周期再定位置；下讲预告：第13讲 植树问题·间隔模型。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $