1.3 第2课时　全集、补集及综合应用讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2课时　全集、补集及综合应用 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集. 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算. 　　如果学校里所有同学组成的集合记为S,所有男同学组成的集合记为M,所有女同学组成的集合记为F,那么: (1)这三个集合之间有什么联系? (2)如果x∈S且x∉M,你能得到什么结论? 知识点一　全集与补集 1.全集 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 符号语言 ∁UA= 图形语言 3.运算性质 (1)∁UA⊆U. (2)∁UU=⌀,∁U⌀=U. (3)∁U(∁UA)=A. (4)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀. (1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以定义的,它与补集是相互依存、不可分割的两个概念. (2)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且(∁UA)⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. (1)全集一定含有任何元素. (×) (2)在全集U中存在某个元素x0,既有x0∉A,又有x0∉∁UA. ( ) (3)根据研究问题的不同,可以指定不同的全集. ( ) (4)一个集合的补集中一定含有元素.( ) [例1]　(1)已知集合U={1,2,3,4,5},M={1,2},则∁UM=(　　) A.{1,2} B.{3,4} C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 课堂笔记： (2)若集合A={x|-1≤x<1},当U={x|x≤2}时,∁UA=　　　　;当U={x|-4≤x≤1}时,∁UA=　　　　.  课堂笔记： 　两种求补集的方法 1.若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍. 2.若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解. 1.设集合U={x∈N|x≤5},A={2,3,5},则 ∁UA=(　　) A.{0,2,4} B.{1,4} C.{0,1,4} D.{2,4} 2.若全集U={x|x>0},集合A={x|x>5},则∁UA=(　　) A.{x|0≤x≤5} B.{x|0<x≤5} C.{x|0<x<5} D.{x|x<5} 知识点二　交、并、补集的综合运算 [例2]　(人教B版必修第一册例题)已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7},求∁UA,∁UB,(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B). 　解决集合交、并、补集运算的技巧 1.若所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. 2.若所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 3.解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再运算其他部分. 3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},集合B={2,4,5},则A∪(∁UB)=(　　) A.{1} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 4.已知集合A={x|-3<x<2},B={x|-1<x<4},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-3<x<-1} B.{x|-3<x≤-1} C.{x|2<x<4} D.{x|2≤x<4} 知识点三　利用集合间的关系求参数(范围) [例3]　已知全集U=R,集合A={x|x≤-2,或x≥3},B={x|2m+1<x<m+7},若(∁UA)∩B=B,求实数m的取值范围. 若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∪B=B”,则实数m的取值范围为　　　　　　　　　　　.  课堂笔记： 　由集合的补集求解参数的方法 1.由补集求参数问题,若集合中元素个数有限,可利用补集定义并结合集合知识求解. 2.与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个,一般利用数轴分析法求解. 5.设全集U={2,x2+2x+2},集合A={2}满足∁UA={1},则x的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.已知集合A={x|1<x<2},集合B={x|x>m},若A∩(∁RB)=⌀,则m的取值范围为(　　) A.m≤1 B.m≤2 C.m<1 D.m≥2 1.知识清单: (1)全集与补集及性质. (2)交、并、补集的综合运算. (3)利用集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳:观察法、分析法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区:自然数集容易遗漏0这一重要元素;解决含参的集合运算时要注意空集这一重要情况. 1.已知全集为R,集合A={x|-1≤x≤2},则∁RA=(　　) A.{x|-1≤x≤2} B.{x|x<-1,或x>2} C.{x|x≤-1,或x>2} D.{x|-1<x<2} 2.已知全集U={-1,0,1,2,3,4},A={1,3},则∁UA=(　　) A.{0,2,4} B.{-1,0,2,4} C.{1,3} D.{-1,1,3} 3.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,4},B={1,2,3,5},则(∁UA)∩B=(　　) A.⌀ B.{1,3,5} C.{1,2,3,5} D.{1,2,3,5,6} 4.设全集U={2,4,a2},集合A={4,a+3},∁UA={1},则实数a的值为(　　) A.1 B.-1 C.±1 D. 1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},则∁UA中元素个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 2.已知全集U=R,A={x|-2<x≤3},则∁UA=(　　) A.{x|x≤-2} B.{x|x≤-2,或x>3} C.{x|x≥3} D.{x|x≤-2,或x≥3} 3.设全集U={x∈N|x≤5},A={1,2,3},B={2,3,4},则∁U(A∪B)=(　　) A.{5} B.{0,5} C.{1,2,3,4} D.{0,1,4,5} 4.已知全集U=R,集合A={x|x≤-2,或x≥3},B={x|x<0},则(∁UA)∩B=(　　) A.{x|x<-2} B.{x|-2<x<0} C.{x|-2≤x<0} D.{x|-2≤x≤3} 5.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a+6,5},∁UA={2,3},则a的值为(　　) A.-3 B.-3和-2 C.-2 D.2 6.(多选)已知集合M={-1,0,1},N={x|-1≤x≤2},则下列结论正确的是(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M∪N={-1,0,1,2} D.M∩(∁RN)=⌀ 7.已知全集U={x∈N|0<x≤6},集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},则∁U(A∪B)=　　　　.  8.设U=R,A={x|a≤x≤b},∁UA={x|x>4,或x<3},则a=　　　　,b=　　　　.  9.已知全集U={不大于8的自然数},集合A={1,3,5},集合B={4,5,7},求: (1)A∩B; (2)∁U(A∩B). 10.设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求: (1)A∩B;(2)(∁RA)∩B;(3)∁R(A∪B). 11.(多选)已知集合P={x|-2<x≤5},Q={x|k-1≤x≤k+1},当k∈M时,P∩(∁RQ)=P恒成立,则集合M可以为 (　　) A.{k|k≤-3} B.{k|k≥6} C.{8,-8} D.{k|k≤-3,或k>6} 12.定义集合的商集运算为= ,已知集合S={4,6},T=,则集合∪T中的元素有　　　个.  13.已知集合A={1,3,a2},集合B={1,a+2},若∁AB={3},则a的值为　　　　.  14.已知集合A={x|a<x<a+1},B={x|0≤x≤2}. (1)若a=1,求A∪B; (2)在①A∩B=⌀,②(∁RB)∩A=⌀,③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围. 15.当x∈A时,若x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”.若集合M={0,1,3}的孤星集为M',集合N={0,3,4}的孤星集为N',则M'∩N'=(　　) A.{0,1,3,4} B.⌀ C.{1,3} D.{0,3} 16.设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则下列说法一定正确的是 (　　) A.若M∪N={1,3,4},则M∩N=⌀ B.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠⌀ C.若M∩N=⌀,则M∪N有4个元素 D.若M∩N≠⌀,则M∪N={1,3,4} 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　全集、补集及综合应用 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集. 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算. 　　如果学校里所有同学组成的集合记为S,所有男同学组成的集合记为M,所有女同学组成的集合记为F,那么: (1)这三个集合之间有什么联系? (2)如果x∈S且x∉M,你能得到什么结论? 知识点一　全集与补集 1.全集 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 3.运算性质 (1)∁UA⊆U. (2)∁UU=⌀,∁U⌀=U. (3)∁U(∁UA)=A. (4)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀. (1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以定义的,它与补集是相互依存、不可分割的两个概念. (2)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且(∁UA)⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. (1)全集一定含有任何元素. (×) (2)在全集U中存在某个元素x0,既有x0∉A,又有x0∉∁UA. (×) (3)根据研究问题的不同,可以指定不同的全集. (√) (4)一个集合的补集中一定含有元素. (×) (教材例5)设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求∁UA,∁UB. 解　根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁UA={4,5,6,7,8},∁UB={1,2,7,8}. [例1]　(1)已知集合U={1,2,3,4,5},M={1,2},则∁UM=(　　) A.{1,2} B.{3,4} C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5} (2)若集合A={x|-1≤x<1},当U={x|x≤2}时,∁UA=　　　　;当U={x|-4≤x≤1}时,∁UA=　　　　.  答案　(1)C　(2){x|x<-1,或1≤x≤2}　{x|-4≤x<-1,或x=1} 解析　(1)依题意,集合U={1,2,3,4,5},M={1,2},所以∁UM={3,4,5}. (2)当U={x|x≤2}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1,或1≤x≤2}. 当U={x|-4≤x≤1}时,把集合U和A表示在数轴上,如图所示. 由图知∁UA={x|-4≤x<-1,或x=1}. 　两种求补集的方法 1.若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍. 2.若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解. 1.设集合U={x∈N|x≤5},A={2,3,5},则 ∁UA=(　　) A.{0,2,4} B.{1,4} C.{0,1,4} D.{2,4} 解析　C　由题意知U={0,1,2,3,4,5},A={2,3,5},所以∁UA={0,1,4}. 2.若全集U={x|x>0},集合A={x|x>5},则∁UA=(　　) A.{x|0≤x≤5} B.{x|0<x≤5} C.{x|0<x<5} D.{x|x<5} 解析　B　因为U={x|x>0},A={x|x>5},所以∁UA={x|0<x≤5}. 知识点二　交、并、补集的综合运算 (教材例6)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B,∁U(A∪B). 解　根据三角形的分类可知A∩B=⌀, A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}, ∁U(A∪B)={x|x是直角三角形}. [例2]　(人教B版必修第一册例题)已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7},求∁UA,∁UB,(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B). 解　不难看出U={0,1,2,3,4,5,6,7},A={0,1,2},B={1,2,3}. 因此∁UA={3,4,5,6,7}, ∁UB={0,4,5,6,7}, (∁UA)∪(∁UB)={0,3,4,5,6,7}, ∁U(A∩B)={0,3,4,5,6,7}. 　解决集合交、并、补集运算的技巧 1.若所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. 2.若所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 3.解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再运算其他部分. 3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},集合B={2,4,5},则A∪(∁UB)=(　　) A.{1} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 解析　B　由U={1,2,3,4,5}及B={2,4,5},可得∁UB={1,3},又因为A={1,2},所以A∪(∁UB)={1,2,3}. 4.已知集合A={x|-3<x<2},B={x|-1<x<4},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-3<x<-1} B.{x|-3<x≤-1} C.{x|2<x<4} D.{x|2≤x<4} 解析　D　因为A={x|-3<x<2},B={x|-1<x<4},则∁RA={x|x≤-3,或x≥2},所以B∩(∁RA)={x|2≤x<4}. 知识点三　利用集合间的关系求参数(范围) [例3]　已知全集U=R,集合A={x|x≤-2,或x≥3},B={x|2m+1<x<m+7},若(∁UA)∩B=B,求实数m的取值范围. 　由(∁UA)∩B=B,得到B⊆(∁UA),分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论,即可求解. 解　因为A={x|x≤-2,或x≥3}, 所以∁UA={x|-2<x<3}, 因为(∁UA)∩B=B,所以B⊆(∁UA). 当B=⌀时,即2m+1≥m+7, 所以m≥6,满足(∁UA)∩B=B. 当B≠⌀时,则无解. 故实数m的取值范围是{m|m≥6}. 若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∪B=B”,则实数m的取值范围为　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　因为(∁UA)∪B=B,所以(∁UA)⊆B, 所以解得-4≤m≤-, 故实数m的取值范围为. 　由集合的补集求解参数的方法 1.由补集求参数问题,若集合中元素个数有限,可利用补集定义并结合集合知识求解. 2.与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素有无限个,一般利用数轴分析法求解. 5.设全集U={2,x2+2x+2},集合A={2}满足∁UA={1},则x的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　A　由题意得x2+2x+2=1,解得x=-1. 6.已知集合A={x|1<x<2},集合B={x|x>m},若A∩(∁RB)=⌀,则m的取值范围为(　　) A.m≤1 B.m≤2 C.m<1 D.m≥2 解析　A　因为集合B={x|x>m},所以∁RB={x|x≤m},由于A∩(∁RB)=⌀,所以m≤1. 1.知识清单: (1)全集与补集及性质. (2)交、并、补集的综合运算. (3)利用集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳:观察法、分析法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区:自然数集容易遗漏0这一重要元素;解决含参的集合运算时要注意空集这一重要情况. 1.已知全集为R,集合A={x|-1≤x≤2},则∁RA=(　　) A.{x|-1≤x≤2} B.{x|x<-1,或x>2} C.{x|x≤-1,或x>2} D.{x|-1<x<2} 解析　B　由A={x|-1≤x≤2},所以∁RA={x|x<-1,或x>2}. 2.已知全集U={-1,0,1,2,3,4},A={1,3},则∁UA=(　　) A.{0,2,4} B.{-1,0,2,4} C.{1,3} D.{-1,1,3} 解析　B　∁UA={-1,0,2,4}. 3.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,4},B={1,2,3,5},则(∁UA)∩B=(　　) A.⌀ B.{1,3,5} C.{1,2,3,5} D.{1,2,3,5,6} 解析　B　全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,4},则∁UA={1,3,5,6},又B={1,2,3,5},所以(∁UA)∩B={1,3,5}. 4.设全集U={2,4,a2},集合A={4,a+3},∁UA={1},则实数a的值为(　　) A.1 B.-1 C.±1 D. 解析　B　由∁UA={1},可知解得a=-1. 1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},则∁UA中元素个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 解析　C　由全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},可得∁UA={2,4,6,7,8},所以∁UA中元素的个数为5. 2.已知全集U=R,A={x|-2<x≤3},则∁UA=(　　) A.{x|x≤-2} B.{x|x≤-2,或x>3} C.{x|x≥3} D.{x|x≤-2,或x≥3} 解析　B　全集U=R,A={x|-2<x≤3},则∁UA={x|x≤-2,或x>3}. 3.设全集U={x∈N|x≤5},A={1,2,3},B={2,3,4},则∁U(A∪B)=(　　) A.{5} B.{0,5} C.{1,2,3,4} D.{0,1,4,5} 解析　B　因为U={x∈N|x≤5}={0,1,2,3,4,5},又A={1,2,3},B={2,3,4},所以 A∪B={1,2,3,4},则∁U(A∪B)={0,5}. 4.已知全集U=R,集合A={x|x≤-2,或x≥3},B={x|x<0},则(∁UA)∩B=(　　) A.{x|x<-2} B.{x|-2<x<0} C.{x|-2≤x<0} D.{x|-2≤x≤3} 解析　B　∵A={x|x≤-2,或x≥3},∴∁UA={x|-2<x<3},又∵B={x|x<0},∴(∁UA)∩B={x|-2<x<0}. 5.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a+6,5},∁UA={2,3},则a的值为(　　) A.-3 B.-3和-2 C.-2 D.2 解析　C　由题知,因为∁UA={2,3},所以A={1,4,5},a+6=4,a=-2. 6.(多选)已知集合M={-1,0,1},N={x|-1≤x≤2},则下列结论正确的是(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M∪N={-1,0,1,2} D.M∩(∁RN)=⌀ 解析　AD　因为-1∈N,0∈N,1∈N,所以M⊆N,故A正确;因为2∉M,2∈N,所以N⊆M不成立,故B错误;因为M⊆N,所以M∪N={x|-1≤x≤2},故C错误;因为∁RN={x|x<-1,或x>2},所以M∩(∁RN)=⌀,故D正确.故选AD. 7.已知全集U={x∈N|0<x≤6},集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},则∁U(A∪B)=　　　　.  答案　{6} 解析　由题意知U={1,2,3,4,5,6},A∪B={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={6}. 8.设U=R,A={x|a≤x≤b},∁UA={x|x>4,或x<3},则a=　　　　,b=　　　　.  答案　3　4 解析　∵U=R,A={x|a≤x≤b}, ∴∁UA={x|x>b,或x<a}. 又∁UA={x|x>4,或x<3},∴a=3,b=4. 9.已知全集U={不大于8的自然数},集合A={1,3,5},集合B={4,5,7},求: (1)A∩B; (2)∁U(A∩B). 解　(1)因为集合A={1,3,5},集合B={4,5,7},所以A∩B={5}. (2)因为全集U={不大于8的自然数}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A∩B={5}, 所以∁U(A∩B)={0,1,2,3,4,6,7,8}. 10.设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求: (1)A∩B;(2)(∁RA)∩B;(3)∁R(A∪B). 解　(1)因为集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则A∩B={x|3≤x<7}. (2)由题意可得∁RA={x|x<3,或x≥7}, 所以(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. (3)由题意可得A∪B={x|2<x<10}, 所以∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}. 11.(多选)已知集合P={x|-2<x≤5},Q={x|k-1≤x≤k+1},当k∈M时,P∩(∁RQ)=P恒成立,则集合M可以为 (　　) A.{k|k≤-3} B.{k|k≥6} C.{8,-8} D.{k|k≤-3,或k>6} 解析　ACD　由题意得∁RQ={x|x<k-1,或x>k+1}.因为P∩(∁RQ)=P,所以P⊆∁RQ,所以k-1>5或k+1≤-2,解得k>6或k≤-3.故选ACD. 12.定义集合的商集运算为= ,已知集合S={4,6},T=,则集合∪T中的元素有　　　个.  答案　5 解析　因为T=={1,2},所以={2,3,4,6},则∪T={1,2,3,4,6},集合中有5个元素. 13.已知集合A={1,3,a2},集合B={1,a+2},若∁AB={3},则a的值为　　　　.  答案　2 解析　因为∁AB={3},所以3∉B,B⊆A,即a+2=a2,解得a=2或a=-1.当a=-1时,A={1,3,1},舍去;当a=2时,A={1,3,4},B={1,4},∁AB={3},符合题意. 14.已知集合A={x|a<x<a+1},B={x|0≤x≤2}. (1)若a=1,求A∪B; (2)在①A∩B=⌀,②(∁RB)∩A=⌀,③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围. 解　(1)当a=1时,A={x|1<x<2},B={x|0≤x≤2}, 所以A∪B={x|0≤x≤2}. (2)若选①A∩B=⌀,则a+1≤0或a≥2, 解得a≤-1或a≥2. 若选②(∁RB)∩A=⌀,∁RB={x|x<0,或x>2}, 所以解得0≤a≤1. 若选③B∪(∁RA)=R,∁RA={x|x≤a,或x≥a+1}, 所以解得0≤a≤1. 15.当x∈A时,若x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”.若集合M={0,1,3}的孤星集为M',集合N={0,3,4}的孤星集为N',则M'∩N'=(　　) A.{0,1,3,4} B.⌀ C.{1,3} D.{0,3} 解析　B　由条件及孤星集的定义知,集合M中的元素0∈M,0-1=-1∉M,0+1=1∈M,所以0不是“孤立元素”.1∈M,1-1=0∈M,1+1=2∉M,所以1不是“孤立元素”.3∈M,3-1=2∉M,3+1=4∉M,所以3是“孤立元素”,则M'={3}.N={0,3,4},0∈N,0-1=-1∉N,0+1=1∉N,所以0是“孤立元素”.3∈N,3-1=2∉N,3+1=4∈N,所以3不是“孤立元素”.4∈N,4-1=3∈N,4+1=5∉N,所以4不是“孤立元素”,则N'={0},则M'∩N'=⌀. 16.设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则下列说法一定正确的是 (　　) A.若M∪N={1,3,4},则M∩N=⌀ B.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠⌀ C.若M∩N=⌀,则M∪N有4个元素 D.若M∩N≠⌀,则M∪N={1,3,4} 解析　D　①当a=3时,M={3},M∩N=⌀,M∪N={1,3,4};②当a=1时,M={1,3},M∩N={1},M∪N={1,3,4};③当a=4时,M={3,4},M∩N={4},M∪N={1,3,4};④当a≠1,3,4时,M={3,a},M∩N=⌀,M∪N={1,3,4,a}.综上,可知A,B,C不正确、D正确,故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $