第一章空间向量与立体几何章末作业设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《空间向量与立体几何》章末作业设计 人教A版《选择性必修第一册》第一章 · 章末复习 一、作业设计基本信息 学科 高中数学 教材版本 人教A版《选择性必修第一册》 章节 第一章 空间向量与立体几何 课题 章末复习作业 适用年级 高二年级 课时安排 1 课时（章末复习） 作业类型 章末复习作业（按原试题顺序，共 19 题） 建议时长 约 90 分钟 设计者 王继超 学校 成都棠湖外国语学校 二、设计理念 1. 课标导向，素养立意. 以《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》为依据，围绕“空间向量与立体几何”主题，落实“四基”、发展“四能”，重点培育直观想象、数学运算、逻辑推理三大核心素养. 2. 突出工具性，强化通性通法. 空间向量是解决立体几何问题的有力工具，本作业以“几何问题代数化”为主线，帮助学生形成“建系—运算—回归几何”的稳定解题路径. 3. 循序渐进，注重能力进阶. 按原试题顺序编排，由浅入深、由单一到综合，让学生在完成作业的过程中自然实现从概念辨析到综合应用的过渡. 4. 情境赋能，拓展视野. 引入“平面方程”阅读材料与“球面三角学”新定义情境，引导学生在阅读、理解、迁移中发展数学抽象与数学建模素养. 三、作业目标 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算、数量积运算及坐标表示；掌握空间向量基本定理与共面定理；会用向量法证明空间中的平行、垂直关系，会求空间角与距离. 2. 经历“几何问题→向量问题→代数运算→几何结论”的转化过程；体会坐标法与基底法两条路径的互补与选择；在综合问题中提升阅读审题、信息提取与建模能力. 3. 直观想象（图形与向量的双向转化）、数学运算（坐标与数量积的准确计算）、逻辑推理（共面与共线的严格论证）、数学建模（球面三角形面积公式的应用）. 四、学情分析 学生已完成本章新授课学习，对空间向量的坐标运算、法向量求法、线面角与二面角的向量公式有初步掌握，具备一定的运算基础. 但普遍存在三方面困难：一是概念辨析不清，如单位向量、相反向量、向量平行的几何意义容易混淆；二是建系与选基不当，导致运算量陡增；三是动点问题与最值问题中“参数化”意识薄弱，缺乏将几何条件转化为代数方程的能力. 因此本作业在基础题部分侧重概念辨析与规范运算，在综合题部分侧重路径选择与参数化思想. 五、作业设计思路（双向细目表） 题号 考查知识点 核心素养 难度 题型 1 空间向量概念辨析 数学抽象、直观想象 易 单选 2 数量积与垂直的坐标运算 数学运算 易 单选 3 空间直角坐标系中的对称点 直观想象 易 单选 4 方向向量与法向量的关系 逻辑推理 易 单选 5 平行六面体中的模长计算 数学运算、直观想象 中 单选 6 空间向量的线性表示 数学运算 易 填空 7 共面定理的应用 逻辑推理、数学运算 中 单选 8 向量平行与垂直的坐标运算 数学运算 中 单选 9 共面判定与投影向量 逻辑推理、数学运算 中 多选 10 向量平行、垂直与模的综合 数学运算 中 多选 11 法向量与点坐标的确定 逻辑推理、数学运算 中 填空 12 异面直线夹角的向量求法 直观想象、数学运算 中 解答 13 四点共面与三点共线的证明 逻辑推理 中 解答 14 投影向量的计算 数学运算 中 解答 15 阅读迁移：平面方程与方向向量 数学抽象、数学建模 难 单选 16 动点与体积、二面角的综合 直观想象、数学运算 难 多选 17 共面定理与均值不等式求最值 数学建模、数学运算 难 填空 18 二面角与线面角的综合应用 直观想象、数学运算 难 解答 19 球面三角学新定义问题 数学建模、数学运算 难 解答 一、单选题 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D．6 3．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 5．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 6．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 7．设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 10．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 11．已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 三、填空题 12．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 13．如图，在棱长为3的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，写出一个满足条件的点的坐标为______．    14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 四、解答题 15．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 16．如图，在平行六面体中，分别是，，的中点，是线段上的动点．    (1)求证：四点共面； (2)若且三点共线，求的值． 17．已知，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值； (3)求向量在向量上的投影向量． 18．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D C C C A BD CD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 2．A 【分析】根据空间向量垂直的条件得出向量数量积为零，进而进行坐标运算求解． 【详解】，， ，解得，故A正确． 故选：A． 3．D 【详解】关于轴对称，则值不变，和的值变为原来的相反数， 故所求的点的坐标为. 4．D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 5．C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 6．C 【详解】如图，， 又，则，所以. 7．C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标公式即可得到方程，最后利用向量模的坐标公式即可得到答案. 【详解】因为，则，解得，则 因为，则，解得， 则，则，则. 故选：C. 8．A 【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】因为平面的方程为， 所以平面的法向量可取， 同理平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 则直线l与平面所成角的正弦值为 . 故选：A 9．BD 【分析】根据空间中线面的位置关系判断A，根据空间共面定理的推论判断B，根据空间数量积的定义判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为直线的方向向量为，平面的一个法向量为， 则，所以，所以或，故A错误； 对于B：若空间中任意一点，有， 因为，所以，，，四点共面，故B正确； 对于C：若，则， 所以与夹角为钝角或平角，故C错误； 对于D：因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD 10．CD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解异面直线夹角判断A，利用向量法可求面面角的余弦值，再结合同角的三角函数基本关系计算后可判断B，利用等体积法判断C的正误，利用空间中的距离公式计算后可判断D正误． 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 对于A选项，，， 设， 依据共线向量设坐标，故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，所以A选项错误； 对于B选项，当时，即，此时，故， 而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为，则即， 取，得为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的正弦值为，所以B选项错误； 对于C选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以为定值， 所以C选项正确； 对于D选项，当时，即，故，故， 而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为，所以D选项正确． 11．ACD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 12． 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 13．（答案不唯一） 【分析】先求出平面的法向量，根据法向量垂直的坐标运算，即可求出点的坐标. 【详解】由题，得，， 设，平面的法向量为， 则即令，则，， ，即． 取，则，故点． 故答案为：（答案不唯一） 14． 【分析】利用四点共面，求出相应最值，根据三元均值不等式求解即可 【详解】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 16．(1)证明: 设，由题可知， 则， 根据共面定理可得，，，四点共面． (2) 【分析】（1）根据向量共面的基本定理求解即可； （2）由三点共线基本定理的应用求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为且，，三点共线， 由共线定理推论可得，则. 17．(1). (2). (3)向量在向量上的投影向量为. 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示及向量减法运算求解即可. （2）根据垂直关系的向量表示、向量的数量积及运算律求解即可. （3）根据投影向量的定义求解即可. 【详解】（1）已知，，则， 又，可设， 由得，故，所以. （2）由，得， 即. 又，，，所以， 整理得，解得. （3）向量在向量上的投影向量为. 18．(1)设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． (2) (3) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2） 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． （3） 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）直接套用球面三角形面积公式，代入角度计算即可； （2）（i）先建系求出各点坐标，最小值为异面直线，的距离，求出该距离即可；（ii）先设，再求出平面和平面的一个法向量为，根据题意列方程求解即可. 【详解】（1）由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 七、作业评价量表 评价维度 优秀（A） 良好（B） 待改进（C） 概念理解 能准确辨析单位向量、相反向量、共线向量等概念，说明理由清晰 基本能辨析概念，个别判断有误但能自行纠正 概念混淆，需要教师或同伴提示 运算能力 坐标运算准确无误，能自觉检验结果 运算基本正确，偶有符号或计算失误 运算错误较多，需加强基础训练 方法选择 能根据图形特点灵活选择基底法或坐标法，建系合理简洁 能完成建系与求解，但运算量偏大 不会建系或建系后难以继续 推理表达 共面、共线、平行、垂直的论证严谨，步骤规范完整 论证思路正确，个别步骤跳跃 论证不完整，缺乏必要的依据 素养表现 能完成综合题与挑战题，阅读迁移与建模能力突出 能完成大部分题目，综合题在提示下部分完成 以基础题为主，需加强综合应用训练 八、设计亮点与反思 1. 顺序编排，梯度合理. 按原试题顺序从易到难排列，前 6 题侧重基础概念与简单运算，中间 8 题侧重综合应用，最后 5 题侧重拓展探究，符合学生的认知规律. 2. 双向细目，目标可测. 用双向细目表把每道题与知识点、核心素养、难度一一对应，作业目标可观察、可评价. 3. 情境新颖，素养落地. 第 15 题的“平面方程”阅读材料与第 19 题的“球面三角学”新定义，考查学生在陌生情境中提取信息、迁移方法的能力，符合新高考“无情境不成题”的命题趋势. 4. 通法为本，兼顾技巧. 全卷以坐标法与基底法为两条主线，第 17 题引入“共面定理 + 均值不等式”求体积比最小值，体现向量与不等式的交汇. 5. 减量提质，控制时长. 全卷共 19 题，基础与中档题约 60 分钟，综合与挑战题约 30 分钟，总量适中，避免机械重复. 《空间向量与立体几何》章末作业设计框架 · 人教A版选择性必修第一册 · 共 19 题 · 设计者：王继超（成都棠湖外国语学校） 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $