第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本试卷为高二数学空间向量与立体几何章末测试卷，覆盖空间向量基底、距离计算、法向量应用等核心知识点，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与直观想象素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|基底条件判断、向量数量积、空间直角坐标系|以基础概念辨析（如基底与非零向量关系）考查数学抽象| |多项选择|3/18|法向量与距离、线面关系、轨迹问题|通过多选项设计（如线面平行与距离计算）体现思维严谨性| |填空|3/15|点到面距离（正四棱柱、正方体）|结合几何体求距离，强化空间观念| |解答题|5/77|线面垂直证明、二面角、异面直线夹角|以四棱锥、直棱柱为载体，综合考查逻辑推理与运算能力，贴合高考命题趋势|

第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷 2026-2027学年高二数学同步备课系列——解析版 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.即p是q的必要不充分条件. 2.如图，已知三棱锥A-BCD的每条棱长都为2，则·等于(　　) A.2 B. C.2 D.0 【答案】D 【解析】由题意可知·=·(-)=·-·=2×2×-2×2×=0. 3.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中关于y轴对称的点横、竖坐标变为相反数，所以点关于轴对称的点坐标是，所以选择A。 4.在空间直角坐标系中，已知A(1，0，1)，B(1，1，-1)，C(2，2，-1)，则点B到直线AC的距离为(　　) A.3 B. C.1 D. 【答案】C 【解析】依题意，=(0，1，-2)，=(1，2，-2)，则==2. 所以点B到直线AC的距离为==1. 5.设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】由已知可得，. 因为三点共线，所以存在唯一实数，使得， 所以，解得，所以. 故选：D. 6.已知=(-1，-2，-3)，=(a，b，b-3)，a，b∈R.若点A，B，C共线，则||等于(　　) A. B.2 C.3 D.9 【答案】B 【解析】因为点A，B，C共线，所以与共线， 所以==，解得a=-3，b=-6， 故=(-3，-6，-9)，=-=(-2，-4，-6)， ||==2. 7.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.4 B.－4 C.5 D.－5 【答案】D 【解析】∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝0. 即－2－8－2k＝0，∴k＝－5. 8.在三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=CA=，点P满足=m+n+l，若实数m，n，l满足m+2n+3l=3，则OP的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为OA=OB=1，AB=， 所以AB2=OA2+OB2，即OA⊥OB， 同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)， 因为m+2n+3l=3，所以m+n+l=1， 所以=m·3+n·+l，设3==(3，0，0)，==， 则=m+n+l，所以P，C，D，E四点共面， 因为D(3，0，0)，E， 所以=(3，0，-1)，=. 设平面CDE的法向量为n=(x，y，z)， 则即取x=1，则n=(1，2，3)， 因为=(0，0，1)，所以OP的最小值为点O到平面CDE的距离，即==. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2,2)，点A(x2,2x＋1,2)为平面α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A.2 B.1 C.－3 D.－6 【答案】AD 【解析】因为＝(0,1,2)－(x2,2x＋1,2)＝(－x2，－2x,0)，n＝(－1，－2,2)，所以·n＝x2＋4x，|n|＝＝3，所以点P到平面α的距离为d＝＝＝4，解得x＝2或x＝－6. 10.已知向量a=(1，-1，2)是平面α的一个法向量，O是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，A，B两点的坐标分别为(-1，1，4)，(-2，2，4)，且点A在平面α内，则(　　) A.AB= B.直线OB与平面α平行 C.直线OA与平面α所成角的正弦值为 D.点B到平面α的距离为 【答案】ACD 【解析】对于A，因为A(-1，1，4)，B(-2，2，4)， 所以AB==，故A正确； 对于B，由题意知=(-2，2，4)，平面α的一个法向量为a=(1，-1，2)， 则·a=(-2)×1+2×(-1)+4×2=4≠0，故和a不垂直， 所以直线OB与平面α不平行，故B错误； 对于C，设直线OA与平面α所成的角为θ， 因为=(-1，1，4)，平面α的一个法向量为a=(1，-1，2)， 所以sin θ=|cos〈，a〉|= ==，故C正确； 对于D，由题意知=(-1，1，0)， 平面α的一个法向量为a=(1，-1，2)，故点B到平面α的距离d===，故D正确. 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱CC1，BC的中点，动点M满足=λ+μ，其中λ，μ∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若λ+μ=1，则CM⊥DB1 B.若λ=μ，则三棱锥B1-AMC的体积为定值 C.若μ=，0≤λ≤1，则直线PM与直线BC所成角的最小值为60° D.若动点M在三棱锥C-DPQ外接球的表面上，则点M的轨迹长度为2π 【答案】AB 【解析】对于A，由=λ+μ可知，点M在平面ADD1A1内， 若λ+μ=1，则M在AD1上. 在正方体中，易证DB1⊥平面ACD1，因为CM⊂平面ACD1， 所以CM⊥DB1，A正确； 对于B，若λ=μ，则点M在直线DA1上， 三棱锥B1-AMC的体积即三棱锥A-B1CM的体积， =·h，其中h为点A到平面B1CM的距离， 由于点M在直线DA1上，且DA1∥B1C，则△B1CM的面积为定值，h为定值， 故三棱锥B1-AMC的体积为定值，B正确； 对于C，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)， 若μ=，0≤λ≤1，则=λ+=λ(2，0，0)+(0，0，2)=(2λ，0，1)，所以M(2λ，0，1)，又P(0，2，1)， 所以=(2λ，-2，0)，=(-2，0，0)，设直线PM与直线BC所成的角为θ，0°<θ≤90°， 则cos θ====， 当λ=1时，(cos θ)max==，所以θ=45°，故直线PM与直线BC所成角的最小值为45°，C错误； 对于D，三棱锥C-DPQ的顶点C(0，2，0)，D(0，0，0)，P(0，2，1)，Q(1，2，0)， 易得其外接球的球心为，半径R=，点M在平面ADD1A1内且在球面上， 轨迹为平面与球的交圆， 因为球心到平面ADD1A1的距离为1，则交圆的半径r===， 轨迹长度为2πr=2π×=π，D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为                  ． 【答案】 【解析】以C为原点，以CD，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，D1(1,0,2)，所以＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)． 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 所以即 令z＝1，得n＝(1,1,1)． 连接D1E，因为＝(0,0,1)－(1,0,2)＝(－1,0，－1)， 所以点D1到平面BDE的距离d＝＝＝. 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　. 【答案】 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4)， ∴=(2，2，0)，=(-2，0，4)， 易知平面AMN∥平面EFBD， 故平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离. 设n=(x，y，z)是平面AMN的法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2， 得n=(2，-2，1)是平面AMN的一个法向量. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD的距离d==. 14.已知点N是点在坐标平面内的射影，则                   ． 【答案】5 【解析】点在坐标平面内的射影，其坐标与坐标不变，坐标变为，即. 已知向量，. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=. (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 【答案】(1)证明　因为AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB， 又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA， 连接AC，因为AB⊥BC，所以AC==2， 因为PA2+AC2=PC2，所以AC⊥PA， 因为AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD. (2)解　过点A作AE⊥CD，垂足为E，则CE=DE=1，AE=，由(1)知PA，AB，AE两两垂直，如图，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(，-1，0)，C(，1，0)，P(0，0，1)， =(0，-1，1)，=(，0，0)，=(0，0，1)，=(，-1，0)， 设平面PBC的法向量为 m=(x1，y1，z1)， 则 令y1=1，可得m=(0，1，1)， 设平面PAD的法向量为n=(x2，y2，z2)， 则 令x2=1，可得n=(1，，0)， 设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，所以 cos θ====， 即平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为. 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点. (1)求证：BC⊥PD； (2)求异面直线BM与PD所成角的余弦值； (3)求点N到平面MBD的距离. 【答案】(1)证明　在四棱锥P-ABCD中，取DC的中点O，连接PO，由PC=PD=2，得PO⊥CD， 由侧面PCD⊥底面ABCD，PO⊂平面PCD，侧面PCD∩底面ABCD=CD，则PO⊥底面ABCD， 以O为原点，过点O平行于DA的直线为x轴，OC，OP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系， 则B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，-1，0)，P(0，0，)，N(1，-1，0)，M， 所以=(-2，0，0)，=(0，-1，-)，因此·=0，所以BC⊥PD. (2)解　由(1)知=，设异面直线BM与PD所成的角为θ， 则cos θ=|cos〈，〉|===， 所以异面直线BM与PD所成角的余弦值为. (3)解　由(1)知=(2，2，0)，=，=(1，0，0)， 设平面MBD的法向量为m=(x，y，z)，则 取x=1，得m=(1，-1，)， 所以点N到平面MBD的距离d===. 17.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD=AA1=A1D=2. (1)求证：A1D⊥AB； (2)求直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值. 【答案】(1)证明　因为底面ABCD是正方形，则AB⊥AD，又平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，则AB⊥平面A1ADD1， 又A1D⊂平面A1ADD1，故A1D⊥AB. (2)解　分别取AD，BC的中点O，E，连接A1O，OE，又AD=AA1=A1D=2，则A1O⊥AD， 又平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，A1O⊂平面A1ADD1，所以A1O⊥平面ABCD，又OE⊥AD，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，-1，0)，B(2，-1，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，)， 故=(0，1，-)，==(2，2，0)， 设平面A1DC1的法向量为m=(x，y，z)， 则 取z=1，则m=(-，，1)， 又=(2，0，0)， 所以直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为==. 18.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 【答案】(1)证明　以A为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)， 则A(0,0,0)，C(，1,0)，B1(，0,3)，D(0,3,0)，C1(，1,3)，D1(0,3,3)． 易知＝(，1,0)，＝(－，3，－3)， ∴·＝×(－)＋1×3＋0×(－3)＝0，∴AC⊥B1D. (2)解　设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)， 又＝(，1,0)，＝(0,3,3)， 则 即 令x＝1，则y＝－，z＝， ∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－，)． 设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ， ∵＝(0,1,0)， ∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝＝， ∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. 19.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 【答案】证明　如图，以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz， 则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)． (1)设BA＝a，则A(a，0,0)． 所以＝(a，0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)． 所以·＝0，·＝0＋4－4＝0. 所以B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD， 所以B1D⊥平面ABD. (2)由题意及(1)，知E(0,0,3)，G，F(0,1,4)． 所以＝，＝(0,1,1)． 所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0， 所以B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF， 所以B1D⊥平面EGF. 由(1)知B1D⊥平面ABD， 且点E∉平面ABD， 故平面EGF∥平面ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷 2026-2027学年高二数学同步备课系列——原卷版 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图，已知三棱锥A-BCD的每条棱长都为2，则·等于(　　) A.2 B. C.2 D.0 3.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 4.在空间直角坐标系中，已知A(1，0，1)，B(1，1，-1)，C(2，2，-1)，则点B到直线AC的距离为(　　) A.3 B. C.1 D. 5.设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知=(-1，-2，-3)，=(a，b，b-3)，a，b∈R.若点A，B，C共线，则||等于(　　) A. B.2 C.3 D.9 7.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.4 B.－4 C.5 D.－5 8.在三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=CA=，点P满足=m+n+l，若实数m，n，l满足m+2n+3l=3，则OP的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2,2)，点A(x2,2x＋1,2)为平面α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A.2 B.1 C.－3 D.－6 10.已知向量a=(1，-1，2)是平面α的一个法向量，O是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，A，B两点的坐标分别为(-1，1，4)，(-2，2，4)，且点A在平面α内，则(　　) A.AB= B.直线OB与平面α平行 C.直线OA与平面α所成角的正弦值为 D.点B到平面α的距离为 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱CC1，BC的中点，动点M满足=λ+μ，其中λ，μ∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若λ+μ=1，则CM⊥DB1 B.若λ=μ，则三棱锥B1-AMC的体积为定值 C.若μ=，0≤λ≤1，则直线PM与直线BC所成角的最小值为60° D.若动点M在三棱锥C-DPQ外接球的表面上，则点M的轨迹长度为2π 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为                  ． 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　. 14.已知点N是点在坐标平面内的射影，则                   ． 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=. (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点. (1)求证：BC⊥PD； (2)求异面直线BM与PD所成角的余弦值； (3)求点N到平面MBD的距离. 17.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD=AA1=A1D=2. (1)求证：A1D⊥AB； (2)求直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值. 18.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 19.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $