3.5 一元二次方程的应用 题型专练 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

湘教版（2024）九年级上册 3.5 一元二次方程的应用 题型专练 【题型1】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】为推动产业转型升级，平凉市某企业从深圳引进工业机器人的生产线．项目方测算：若月试产产值为万元，在，两月连续保持月平均增长率，则月产值可达万元．根据题意，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元.则平均每次降低成本的百分率是(　　) A．8.5% B．9% C．9.5% D．10% 【举一反三2】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是( ) A． B． C． D． 【举一反三3】一种型号的智能手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，那么这个百分率是__________． 【举一反三4】2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地.据了解，今年3月该基地接待参观人数10万人，5月接待参观人数增加到12.1万人． （1） 求这两个月参观人数的月平均增长率. （2） 按照这个增长率，预计6月的参观人数为多少？ 【举一反三5】某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1) 商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； (2) 市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【题型2】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 【举一反三1】超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价(　　) A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元 【举一反三2】为了满足市场需要，某商店采购了一批节能灯，共用去400元，在搬运的过程中，不小心打碎了5盏，该店把余下的灯每盏在进价的基础上加4元全部售出.经核算，这批灯的利润为90元，则每盏灯的进价为__________ 元. 【举一反三3】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 __________元． 【举一反三4】超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【举一反三5】在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【题型3】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【举一反三1】一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有(　　) A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 【举一反三2】乒乓球锦标赛上，男子单打实行单循环比赛(即每两个运动员都相互交手一次)，共进行66场比赛，则参加比赛的运动员共__________人. 【举一反三3】2014年西非埃博拉病毒疫情是自2014年2月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014年12月02日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290例，其中6128人死亡.感染人数已经超过一万，死亡人数上升趋势正在减缓，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若1个人患病，则经过两轮感染就共有81人患病. (1) 求x的值； (2) 若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【题型4】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为（  ） A．18 B．13 C．7 D．3 【举一反三1】如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如12，13，14，19，20，21，26，27，28).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为 A．18 B．13 C．7 D．3 【举一反三2】如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(　　) A．4.5 m B．5 m C．5.5 m D．6 m 【举一反三3】如图，学校将一面积为110 m2的矩形空地一边增加4 m，另一边增加5 m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为__________m2． 【举一反三4】一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 __________米． 【举一反三5】如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少． 【举一反三6】如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则________，________，________；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为________． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【题型5】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为__________． 【举一反三2】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【题型6】一元二次方程的实际应用-与图形有关的问题 【典例】如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（  ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【举一反三1】如图，由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6 m2的长方形ABCD，则长方形ABCD的周长为(  ) A．5 m B．5.2 m C．6 m D．6.2 m 【举一反三2】如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(  ) A．10 B．5 C．2 D．2 【举一反三3】如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的.如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为__________. 【举一反三4】如图,在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2,道路的宽应为多少? 【题型7】一元二次方程的实际应用-数字问题 【典例】两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（  ） A．20 B．21 C．22 D．23 【举一反三1】两个连续奇数的积是255，则两个数的和是(  ) A．31 B．32 C．±31 D．±32 【举一反三2】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为，则原数为__________． 【举一反三3】两个连续整数的积为210，则这两个数分别为__________． 【举一反三4】一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【题型8】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ） A．36 B．26 C．24 D．10 【举一反三2】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 __________． 【举一反三3】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【举一反三4】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1) 求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2) 乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【题型9】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12 cm2时，点P一运动的时间是(  ) A．2 s B．2 s或6 s C．6 s D．6 s或8 s 【举一反三3】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是 __________s． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2?(AB=6 cm,BC=8 cm). 【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动． (1) 几秒后△PBQ的面积等于8cm2； (2) △PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？ 湘教版（2024）九年级上册 3.5 一元二次方程的应用 题型专练（参考答案） 【题型1】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】为推动产业转型升级，平凉市某企业从深圳引进工业机器人的生产线．项目方测算：若月试产产值为万元，在，两月连续保持月平均增长率，则月产值可达万元．根据题意，可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在，两月连续保持月平均增长率， 根据题意得， 故选：A． 【举一反三1】徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元.则平均每次降低成本的百分率是(　　) A．8.5% B．9% C．9.5% D．10% 【答案】D 【解析】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100(1－x)(1－x)=81， 解得x=0.1或1.9(不合题意，舍去) 即x=10%. 【举一反三2】某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：注意第二季度包括四月份、五月份和六月份. 【举一反三3】一种型号的智能手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，那么这个百分率是__________． 【答案】20% 【解析】设每次降价的百分率为x， 依题意，得：7500(1﹣x)2＝4800， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2(舍去)． 故答案为：20%． 【举一反三4】2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地.据了解，今年3月该基地接待参观人数10万人，5月接待参观人数增加到12.1万人． （1） 求这两个月参观人数的月平均增长率. （2） 按照这个增长率，预计6月的参观人数为多少？ 【答案】解：（1） 设月平均增长率为 , 由题意，得 ， 解得 ， （不合题意，舍去）. 答：这两个月参观人数的月平均增长率为 ． （2） （万人）． 答：按照这个增长率，预计6月的参观人数为13.31万人． 【举一反三5】某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1) 商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； (2) 市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】解： (1) 设每次降价的百分率为x， 依题意得：3000（1﹣x）2＝2430， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率是10%； (2) 假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）． 解得a1＝a2＝3． 所以下调150元，因此定价为2750元． 【题型2】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ） A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元 【答案】A 【解析】设每件商品降价元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 故选：A． 【举一反三1】超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价(　　) A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元 【答案】D 【解析】设每千克水果应涨价x元， 依题意得方程：(500﹣20x)(10+x)＝6000， 整理，得x2﹣15x+50＝0， 解这个方程，得x1＝5，x2＝10． 答：每千克水果应涨价5元或10元． 故选：D． 【举一反三2】为了满足市场需要，某商店采购了一批节能灯，共用去400元，在搬运的过程中，不小心打碎了5盏，该店把余下的灯每盏在进价的基础上加4元全部售出.经核算，这批灯的利润为90元，则每盏灯的进价为__________ 元. 【答案】10 【解析】设每盏灯的进价为x元. 根据题意，得(4＋x)＝490. 解得x1＝10，x2＝－32（不符合题意，舍去）. 即每盏灯的进价为10元. 【举一反三3】直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 __________元． 【答案】50 【解析】设设每件售价应定为x元，根据题意， 得(x﹣40)[20+2(60﹣x)]＝(60﹣40)×20， 解得：x1＝50，x2＝60， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴x＝50. 故答案为：50． 【举一反三4】超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】解：(1)根据题意得：20+6×2＝32(件)， 答：平均每天销售数量为32件. (2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40﹣x)元，平均每天可售出(20+2x)元，依题意得： (40﹣x)(20+2x)＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又要让顾客得到更大实惠， ∴x＝20． 答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【举一反三5】在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】解：(1)设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：200(1+x)2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不符合题意，舍去)． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%. (2)设售价应降价y元，则每千克的销售利润为(18﹣y﹣8)元，每天能售出(120+30)千克， 根据题意得：(18﹣y﹣8)(120+30)＝840， 整理得：y2﹣2y﹣24＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣4(不符合题意，舍去)． 答：售价应降低6元． 【题型3】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【解析】设这个航空公司共有飞机场x个. x(x－1)＝15×2， 解得x1＝6，x2＝－5（不符合题意，舍去）. 即这个航空公司共有飞机场6个. 【举一反三1】一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有(　　) A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 【答案】B 【解析】设这个小组共有x人，则每人需送出(x﹣1)张贺卡， 依题意得：x(x﹣1)＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9(不合题意，舍去)． 故选：B． 【举一反三2】乒乓球锦标赛上，男子单打实行单循环比赛(即每两个运动员都相互交手一次)，共进行66场比赛，则参加比赛的运动员共__________人. 【答案】12 【解析】解：设有运动员x人，根据题意得x(x－1)=66，解得x=12或x=－11(舍去). 【举一反三3】2014年西非埃博拉病毒疫情是自2014年2月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014年12月02日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290例，其中6128人死亡.感染人数已经超过一万，死亡人数上升趋势正在减缓，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若1个人患病，则经过两轮感染就共有81人患病. (1) 求x的值； (2) 若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】解： (1) 设每轮传染中平均一人传染x人， 则第一轮后有x＋1人感染，第二轮后有x(x＋1)＋x＋1人感染， 由题意得x(x＋1)＋x＋1=81， 即x1=8，x2=－10(不符合题意舍去). 所以，每轮平均一人传染8人. (2) 三轮感染后的人数为81＋81×8=729. ∵729＞700， ∴3轮感染后，被感染的人数会超过700人. 【题型4】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为（  ） A．18 B．13 C．7 D．3 【答案】C 【解析】设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16）， 依题意，得：x（x+16）＝161， 解得：x1＝7，x2＝﹣23（不合题意，舍去）， 答：这9个数中最小数为7． 故选：C． 【举一反三1】如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如12，13，14，19，20，21，26，27，28).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为 A．18 B．13 C．7 D．3 【答案】C 【解析】根据题图可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x＋16，根据题意得x(x＋16)＝161，解得x1＝7，x2＝－23(不符合题意，舍去). 【举一反三2】如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(　　) A．4.5 m B．5 m C．5.5 m D．6 m 【答案】B 【解析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为(130﹣3x)米、宽为(60﹣2x)米的矩形， 根据题意得：(130﹣3x)(60﹣2x)＝5750， 整理得：3x2﹣220x+1025＝0， 解得：x1＝＞60(舍去)，x2＝5， 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B． 【举一反三3】如图，学校将一面积为110 m2的矩形空地一边增加4 m，另一边增加5 m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为__________m2． 【答案】225 【解析】设训练场的边长为x m，则原空地的长为(x﹣4)m，宽为(x﹣5)m， 依题意，得(x﹣4)(x﹣5)＝110， 解之，得x＝15， 所以，训练场的面积为225 m2． 故答案为：225． 【举一反三4】一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 __________米． 【答案】1 【解析】设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为(60﹣2x)米，宽为(17﹣2x)米的矩形， 根据题意得：(60﹣2x)(17﹣2x)＝870， 整理得：2x2﹣77x+75＝0， 解得：x1＝1，x2＝(不符合题意，舍去)， ∴通道宽为1米． 故答案为：1． 【举一反三5】如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少． 【答案】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为7，最大数为17． 【举一反三6】如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则________，________，________；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为________． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【题型5】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：D. 【举一反三1】《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为__________． 【答案】 【解析】解：设：这些桌面的宽度为， 则由图可得，小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为， 有， 解得， ， ， 即这些桌面的宽度为． 故答案为：． 【举一反三2】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． (2)不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确． (3)，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 【题型6】一元二次方程的实际应用-与图形有关的问题 【典例】如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（  ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【解析】解：设剪去正方形的边长为x cm，则长方体盒子的底面长为（12﹣2x）cm，宽为＝（8﹣x）cm． 依题意得：（12﹣2x）（8﹣x）＝48， 整理得：x2﹣22x+72＝0， 解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为2cm． 故选：B． 【举一反三1】如图，由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6 m2的长方形ABCD，则长方形ABCD的周长为(  ) A．5 m B．5.2 m C．6 m D．6.2 m 【答案】B 【解析】设每块长方形地砖的宽为x m，则长为4x m， 根据题意，得4x2＝1.6×， 解得x＝±0.2， 2×(4x+x+2×4x)＝26 x＝5.2(m)， 即：矩形ABCD的周长为5.2 m． 故选：B． 【举一反三2】如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(  ) A．10 B．5 C．2 D．2 【答案】C 【解析】如图，过A作AG⊥CD于G，AH⊥BC于H，连接AD， ∵∠BDC＝90°，AB＝AC， AB＝AD＝AC， ∴BD＝2AG， ∵“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成， ∴设AE＝x，则AH＝DG＝10﹣x，EF＝13﹣x， ∴AG＝x﹣3， ∴BD＝2x﹣6， ∵△DBC的面积为23， ∴BD•AH＝23， ∴(2x﹣6)(10﹣x)＝23， 解得：x＝或x＝， ∴BD＝7+或7﹣，CD＝2AH＝7+或7﹣， ∴BC＝＝2， 故选：C． 【举一反三3】如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的.如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为__________. 【答案】6 【解析】解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8－x， 根据题意得x[x－(8－x)]=24， 解得x=6或x=－2(舍去). 【举一反三4】如图,在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2,道路的宽应为多少? 【答案】解:设道路的宽应为x(m), 由题意,得(50-2x)(38-2x)=1 260, 解得x1=4,x2=40(不合题意,舍去), ∴x=4. 答:道路的宽应为4 m. 【题型7】一元二次方程的实际应用-数字问题 【典例】两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（  ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【解析】设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为， 依题意得， 解得(不合题意，舍去)，， ∴这两个数中，较大的数是， 故选：D 【举一反三1】两个连续奇数的积是255，则两个数的和是(  ) A．31 B．32 C．±31 D．±32 【答案】D 【解析】设其中一个较小的奇数为x，那么较大的应该为x+2，则x(x+2)＝255， 解得x＝﹣17，x＝15， 所以这两个奇数应该是﹣17，﹣15或15，17， 那么他们的和应该是±32. 故选：D． 【举一反三2】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为，则原数为__________． 【答案】或 【解析】设原两位数的十位数字为，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴原两位数为或， 故答案为：或． 【举一反三3】两个连续整数的积为210，则这两个数分别为__________． 【答案】﹣15，﹣14或14，15 【解析】设较小的数为x， x(x+1)＝210， 解得x1＝14，x2＝﹣15， ∴x+1＝15或﹣14. 故答案为：﹣15，﹣14或14，15． 【举一反三4】一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】解：设该三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．则 100x+10（x+3）+（2x+3）＝5（2x+3）2+12， 整理，得 5x2﹣13x+6＝0， 所以，（x﹣2）（5x﹣3）＝0． 所以x﹣2＝0或5x﹣3＝0， 解得，x＝2，则x+3＝5，2x+3＝7， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 【题型8】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【举一反三1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【解析】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【举一反三2】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 __________． 【答案】 【解析】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【举一反三3】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【解析】解 （1）设生产线加工小时，则生产线加工小时， 【举一反三4】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1) 求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2) 乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】解： (1) 设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； (2) 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 【题型9】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：由题意得：（16﹣2t）（12﹣2t）＝××16×12， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t＝2或t＝12， 当t＝2时，16﹣2t＝12，12﹣2t＝8，符合题意； 当t＝12时，16﹣2t＝﹣8，12﹣2t＝﹣12，不符合题意，舍去； ∴t＝2， 故选：B． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：由题意得：（16﹣2t）（12﹣2t）＝××16×12， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t＝2或t＝12， 当t＝2时，16﹣2t＝12，12﹣2t＝8，符合题意； 当t＝12时，16﹣2t＝﹣8，12﹣2t＝﹣12，不符合题意，舍去； ∴t＝2， 故选：B． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12 cm2时，点P一运动的时间是(  ) A．2 s B．2 s或6 s C．6 s D．6 s或8 s 【答案】A 【解析】8÷1＝8(s)，6÷2＝3(s)， 当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝(8﹣t) cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t×(8﹣t)÷2＝12， 整理得：t2﹣8t＝12， 解得：t1＝2，t2＝6(不符合题意，舍去)， ∴点P的运动时间是2 s． 故选：A． 【举一反三3】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是 __________s． 【答案】3． 【解析】解：设动点P，Q运动t（t≤3）秒时，能使△PBQ的面积为， 则BP的长为，BQ的长为tcm． 可列方程为， 解得t1＝3，t2＝5（舍去）， ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为． 故答案为：3． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2?(AB=6 cm,BC=8 cm). 【答案】解：设经过x秒， 则， ， 答：经过2秒或4秒△PBQ的面积等于8 cm2 【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动． (1) 几秒后△PBQ的面积等于8cm2； (2) △PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？ 【答案】解： (1) 当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm， 根据题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 答：经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2； (2) △PDQ的面积不能为8cm2，理由如下： 假设△PDQ的面积能为8cm2，则S△PDQ＝S长方形ABCD﹣S△APD﹣S△PBQ﹣S△CDQ， 即12×6﹣×12•t﹣（6﹣t）•2t﹣×6•（12﹣2t）＝8， 整理得：t2﹣6t+28＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0， ∴原方程无解， ∴假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $