3.5 一元二次方程的应用 同步训练 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

3.5 一元二次方程的应用 同步训练 一、选择题 1．在某中学开展的课外阅读活动中，要求七，八、九三个年级学生的人均阅读量逐次增加，而且增长率相同，已知七年级学生的人均阅读量为每年10万字，九年级学生的人均阅读量为每年14.4万字，则该校八年级学生的人均阅读量为每年（　　） A．11万字 B．11.2万字 C．12万字 D．12.2万字 2．某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨．若蔬菜产量的年平均增长率相同，则年平均增长率为（　　） A． B． C． D． 4．如图，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（　　） A．5 B．4 C．8 D．10 5．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（　　） A． B． C． D． 6．红星电池厂2026年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 7．空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（　　） A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法 二、填空题 8．某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，如果设每年降价的百分率均为x（），则由题意可列方程：　 　． 9．某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打　 　折. 10．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为9，1s时间导线产生72J的热量，则电流的值是　 　A． 11．有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为　 　；阴影部分每个正方形的边长为　 　． 12．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是　 　． 三、解答题 13．小辰想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为. 小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体裁法；若不能，请说明理由. 14．澄泥砚是全国四大名砚之一，其历史可上溯到唐代，为陶砚，以泥沙再造而成，其质细腻，柔中有坚，贮水不涸，历寒不冰，发墨护毫，兼具陶石双重优点，某电商直播销售一款澄泥砚，每块澄泥砚的成本为30元，当每块售价定为48元时，平均每月可售出500块澄泥砚，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10块，若想获得销售澄泥砚的月利润恰好为11200元，且每块售价上涨不超过20元，问每块澄泥砚的售价应上涨多少元？ 四、综合题 15．某商店抓住商机，销售某款篮球服.6月份平均每天售出100件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件. （1）若降价5元，求平均每天的销售数量： （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元? 16．我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2025年的单价是200元，今年的单价为162元． （1）求2025年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设该校学生七年级至九年级人均阅读量的人均阅读年增长率为x， 根据题意，得：10(1+x)2=14.4 解得：x1=20%，x2=-220%（不符合题意，舍去）， ∴该校八年级学生的人均阅读量为每年：10×(1+20%)=12（万字）， 故答案为：C． 【分析】设该校学生七年级至九年级人均阅读量的人均阅读年增长率为 x ，根据增长率问题，列出一元二次方程，解方程即可求解． 2．【答案】A 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设这种商品的售价上涨元时，根据题意得， 故答案为：A． 【分析】设这种商品的售价上涨元时，根据该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，列出方程，即可求解． 3．【答案】D 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x， 由题意可得：100（1+x）2=121， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）， 即年平均增长率为10%. 故答案为：D. 【分析】根据某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨，列方程100（1+x）2=121，再求解即可。 4．【答案】A 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设BC长为x，由CG=6可知，BG=6-x； 则S1=BC2=x2，S2=BG2=(6-x）2； 由S1+S2=16可知，x2+(6-x）2=2x2-12x+36=16； 由韦达定理可知，防滑砖面积为x1x2=5. 故答案为：A. 【分析】设BC长为x，可表示出BG的长，利用正方形的面积公式可表示出S1，S2，再根据S1+S2=16，代入可得到关于x的方程，利用一元二次方程根与系数及三角形的面积公式，可求出阴影部分的三角形的面积. 5．【答案】C 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：由题意可得1+x+x2=57， 解得x=7或-8（舍去）. 故答案为：C. 【分析】根据枝干和小分支的数量之和是57个可得1+x+x2=57，求解即可. 6．【答案】B 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：由题意可得：， 故答案为：B. 【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。 7．【答案】A 【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：如图： 设AC=a米，则宽为（40-2a）米， 由题意得， 解得， ∵40-2a≤18， ∴x≥11， ∴， ∴只存在一种围法， 故答案为：A 【分析】设AC=a米，则宽为（40-2a）米，进而根据矩形的面积公式结合题意求出a的取值范围即可求解。 8．【答案】 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解： 设每年降价的百分率均为x（）， ∵某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元， ∴可列方程：， 故答案为：. 【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。 9．【答案】八 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设商品可打x折销售， ∴， 解得， 故答案为：8. 【分析】首先设商品可以打x折，由进价为1000元，出售时标价为1500元，利润率不低于20%，根据利润等于售价乘以折扣率再减去进价，即可列出关于x的不等式，解出不等式即可得出答案. 10．【答案】2 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：由题意可得： ， 解得：， 即电流的值是A， 故答案为：. 【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。 11．【答案】1； 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解： 根据题中的方法，可令图中的正方形的四个角位置上的正方形的边长为，则大正方形的边长为（x+3），得到大正形的面积为（x+3）2=x2+6x+9=7+9=16，所以x+3=4，得到x=1； 阴影部分每个正方形的边长为. 故答案为：1；. 【分析】利用题中方法，可以直接得出阴影部分正方形的边长；再利用正方形面积公式和 得到（x+3）2=16，进而得出小正方形的边长x的值. 12．【答案】20% 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设平均增长率为x，由题意可得5000(1+x)2=7200， 解得x=20%. 故答案为：20%. 【分析】设平均增长率为x，则4月份盈利5000(1+x)元，5月份盈利5000(1+x)2元，然后根据5月份盈利达到7200元建立方程，求解即可. 13．【答案】解：设长方形纸片的长为，宽为 依题意，得 ∵ ∴ ∴长方形纸片的长为. ∴面积为的正方形的边长为， ∵ ∴. 答：无法裁出符合要求的纸片. 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【分析】由长方形的长宽之比设长方形纸片的长为，宽为，再根据长方形的面积为列出一元二次方程，解得长方形的长和宽，然后判断得无法裁出符合要求的纸片. 14．【答案】解：设每块澄泥砚的售价应上涨x元，则每块的销售利润为（48+x﹣30）元，平均每月可售出（500﹣10x）块， 根据题意得：（48+x﹣30）（500﹣10x）＝11200， 整理得：x2﹣32x+220＝0， 解得：x1＝10，x2＝22（不符合题意，舍去）． 答：每块澄泥砚的售价应上涨10元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】设每块澄泥砚的售价应上涨x元，则每块的销售利润为(48+x-30)元，平均每月可售出(500-10x)块，根据每块的销售利润×销售量=总利润结合题意可得关于x的方程，求解即可. 15．【答案】（1）解：平均每天的销售数量=100+5x10 =150 (件) （2）解：设每件商品降价x元，则 (100+10x) (40- x)=6000 解得x1=10，x2=20， 答：当每件商品降价10或20元时，该商店每天销售利润为6000元. 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）当降价5元时，平均每天的销售量为100+5×10，计算即可； （2）设每件商品降价x元，则平均每天的销售量为(100+10x)，每件的利润为(40-x)，根据每件的利润×销售量=总利润建立方程，求解即可. 16．【答案】（1）设2025年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x 根据题意得：200（1-x）2＝162 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去） 答：2025年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%. （2）A店买十送一，A店实际需要购买的足球个数为91个 在A店购买需要的费用为162×91＝14742（元） 在B店购买需要的费用为162×100×＝14580（元） ∵14742元＞14580元， ∴去B店购买足球更优惠． 答：去B店购买足球更优惠. 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【分析】（1）设2025年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据足球2025年的单价×（1-降低的百分率）2= 今年的单价 ，列出方程并解之即可； （2）根据促销方案，分别计算出A、B两店的费用，再比较即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $