4.1 函数课件2026-2027学年北师大版数学八年级上册

4.1 函数 同学们，大家都坐过摩天轮吗？ 当坐在摩天轮上时，随着时间的变化，离地面的高度也在不断变化.摩天轮上某一点离地面的高度 h(单位：m)与旋转时间 t(单位：min)之间存在着一种关系. 大家想一想，这个高度 h 是如何随着时间 t 变化的呢？ 探究1 下图反映了摩天轮上某一点的高度 h (单位：m) 与旋转时间 t (单位：min) 之间的关系. (1) 根据右图填表: t / min 0 1 2 3 4 5 … h / m … 3 14 36 47 36 14 (2) 对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗？ 确定，对于给定的时间 t，相应的高度h随之确定 . 探究2 圆柱形物体常常像下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ (1) 填写下表： 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 1 3 6 10 15 (2) 随着层数的增加，物体的总数如何变化？ 随着层数的增加，物体总数也在不断增加. (3)给定任一层数 n，你能确定相应的物体总数 y吗？有几个 y 值和它对应？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 能确定，且只有唯一一个 y 值和它对应！ 探究3 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273.15℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (单位：K) 与摄氏温度 t (单位：℃) 之间有如下数量关系： T = t + 273.15，T ≥ 0. (1) 随着摄氏温度的增加，热力学温度如何变化? 随着摄氏温度的增加，热力学温度也在不断升高 (2) 给定任意一个大于 -273.15℃ 的摄氏温度 t 值，相应的热力学温度 T 确定吗？有几个 T 值和它对应？ 能确定，并且有唯一一个 T 值和它对应 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 思考1 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 注意：1.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系； 2.一个自变量x的值只能对应唯一一个y值，但一个确定的y值可以对应多个不同的x的值. 例1 下列关系式中，表示 y 是 x 的函数关系的是 ． ① y = 2x + 3；② y = x2 + 3；③ y = 2|x|；④ ；⑤ y2 - 3x = 10， ①②③ 一个 x 值，有两个 y 值与它对应 点拨：函数需满足的两个关键点：①有两个变量；②对于变量 x 的每个值，都有唯一的变量 y 值与其对应 (2)三种表示函数的方法，有什么特点呢？ (1)图象的方式更能呈现自变量和函数之间的变化关系； (2)表格能清晰地显示变量间的数量关系； (3)关系式能够准确而简洁地阐述函数的计算方法和变化规律. T = t + 273.15，T ≥ 0 思考3 上述的三个问题中，自变量能取哪些值？ 自变量的取值范围：t ≥ 0 探究1 摩天轮 探究2 物体堆放. 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 自变量的取值范围：n 取正整数 思考2 (1)以上三个探究问题中，都用到了什么方法来表示函数呢? 图象法 列表法 关系式法 1. 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y 1 3 6 10 15 … 2. 3. T = t + 273.15，T ≥ 0 探究3 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273.15℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273.15℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系： T = t + 273.15，T ≥ 0. 自变量的取值范围：t ≥ -273.15. 例2 请求出下列函数中自变量的取值范围. (1) y = 2x + 3 (2) (3) (4) x 为任意实数. 分母不为0，所以x+1≠0，所以x ≠ -1. 根号里面大于等于0，所以2x-1≥0，所以x ≥ . (5)y=x-2 根号里面大于等于0，分母不为0，所以x+1 >0，即x > -1. 使底数不为0；所以 x≠0. 类型 特点 举例 自变量取值范围 整式型 等式右边是关于自变量的整式 y=2x+3 分式型 等式右边是关于自变量的分式 根式型 等号右边是二次根式 零次幂(或负整数次幂) 等号右边是关于自变量的零次幂或负整次幂 y=x0 y=x-2 复合型 包含以上情况中至少两种 常见函数表达式中自变量取值范围的确定 全体实数 使分母不为0的实数 使底数不为0的实数 根号下大于等于0，分母不为0 使根号下式子的值大于或等于0的实数 确定函数自变量的取值范围应从两个方面考虑： (1)要使函数关系式有意义； (2)对于实际问题中函数关系，还应使实际问题有意义. 归纳总结 1.如图所示的图象中,表示y是x的函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 2.小明骑自行车,轮子每分钟滚动60圈,则轮子滚动的圈数n与时间t (单位:分)之间的关系式是　　　　,其中　　　　是自变量,　 　　　是因变量,　　　　是　　　　的函数.  n=60t t n t n 随堂小练 问题 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273.15℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (单位：K) 与摄氏温度 t (单位：℃) 之间有如下数量关系： T = t + 273.15，T ≥ 0. (1) 当t分别为-43℃，-27℃，0℃，18℃时，相应的热力学温度T是多少? 解：当 t＝-43 ℃ 时，T＝ -43＋273.15＝230.15 (K)； 当 t＝-27 ℃ 时，T＝ -27＋273.15＝246 .15(K)； 当 t＝0 ℃ 时，T＝0＋273.15＝273.15 (K)； 当 t＝18 ℃ 时，T＝18＋273.15＝291.15 (K). 归纳总结 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 即:如果y是x的函数当x=a时，y=b,那么b叫做当 x=a时的函数值. 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系，而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值. 3.按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1 D 4.下列变量之间的关系中,具有函数关系的有 (　　) ①三角形的某条边的长度一定,面积与这条边上的高; ②多边形的内角和与边数; ③水管中水流的速度和水管的长度; ④在一定的时间内,匀速运动所走的路程和速度. A.1个　　　　B.2个 C.3个　　　　D.4个 C 5.一个长方形的长是x,宽是10,周长是y,面积是S. (1)写出y与x之间的关系式. (2)写出S与x之间的关系式. (3)当S=200时,x等于多少?y等于多少? 解:(1)y和x之间的函数解析式为. (2)与x之间的函数解析式为. (3)当S=200时,有, 所以,所以. 6.在一次耐力测试比赛中,嘉嘉和淇淇两位同学全程的速度v(单位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数图象如图所示. 根据图象,解决下列问题. (1)　　同学先到终点,且两人到达终点的时间相差　秒.  (2)这次测试比赛全程是　　米.  (3)求测试比赛开始多少秒时,两人第一次相遇. 解:(3)由题图可知,当0≤t≤75时,嘉嘉在淇淇前面,没有相遇. 在75<t≤160时,嘉嘉减速,淇淇可能会追上嘉嘉,设此时用时为t, 则8×75+4(t-75)=6t,解得t=150,∴测试比赛开始150秒时,两人第一次相遇. 嘉嘉 10 1500 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 概念 函数 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值. 函数表示方式 图象法、列表法、关系式法. $