第6讲 有理数混合运算 讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第6讲 有理数混合运算 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数混合运算的顺序 · 能正确进行含乘方、括号的混合运算 · 理解十进制与二进制的转换 · 掌握新定义运算 · 能利用混合运算解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数混合运算顺序 先乘方，再乘除，后加减 同级运算从左到右 有括号先算括号内 括号由小到大 概念辨析例题：计算2+3×(−2) 解析：先乘3×(−2)=−6，再2+(−6)=−4 ☆ 2.混合运算技巧 统一为加法或乘法 确定符号 运算律简算 能约分先约分 概念辨析例题：计算(−8)÷(−2)+3² 解析：(−8)÷(−2)=4，3²=9，4+9=13 ☆ 3.十进制与二进制 二进制只用0和1 逢二进一 二进制数按位权展开转十进制 十进制除以2取余转二进制 概念辨析例题：二进制1011转十进制 解析：1×8+0×4+1×2+1×1=11 ☆ 4.新定义运算 按定义的新规则计算 先找运算规律 代入数值 按新规则优先级 概念辨析例题：定义a*b＝a²−b，求2*3 解析：2*3＝2²−3＝4−3＝1 📋 知识总结表 内容 规则 示例 运算顺序 先乘方再乘除后加减 2+3×(−2)=−4 同级运算 从左到右 6÷2×3=9 括号 先小后大 先内后外 进制 二进制逢二进一 1011₂=11 新定义 按新规则代入 a*b=a²−b 应用 综合算式 分段计费 ⚠️ 核心考点 【考点一】有理数的混合运算（第1-7题） · 先乘方后乘除 · 加减最后 · 括号优先 · 符号确定 1．（2025秋•信阳期末）在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作3＝（11）2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（　　） A．35 B．82 C．83 D．135 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1011101）2化为1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20＝64+0+16+8+4+0+1＝93， 则93＝64+24+5＝1×82+3×81+5×80， 那么（1011101）2等于八进制中的数为135， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2025秋•扎兰屯市期末）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0﹣7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．按照上述方法将八进制数2067换算成十进制数为（　　） A．16 B．127 C．1079 D．1143 【分析】根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得的结果相加即可． 【解答】解：（2067）8换算成十进制数为： （2067）8＝2×83+0×82+6×81+7＝1079， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数的乘方等知识，掌握题意找到进制转化的方法是关键． 3．（2025秋•宣化区期末）定义一种新运算“⊗”，a⊗b＝a2﹣b，则（﹣2）⊗3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：∵a⊗b＝a2﹣b， ∴（﹣2）⊗3 ＝（﹣2）2﹣3 ＝4﹣3 ＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 4．（2026•台湾）算式2.45×98.7﹣（﹣0.55）×98.7之值介于下列哪两个数之间？（　　） A．150，200 B．200，250 C．250，300 D．300，350 【分析】利用乘法分配律对原式进行计算，再判断即可． 【解答】解：原式＝2.45×98.7﹣（﹣0.55）×98.7 ＝2.45×98.7+0.55×98.7 ＝（2.45+0.55）×98.7 ＝3×98.7 ＝296.1， ∴算式2.45×98.7﹣（﹣0.55）×98.7之值介于250与300两个数之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算及有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．（2026春•西峡县月考）计算的结果是（　　） A．3a+6b B．3a+6b C．3a+b6 D．3a+6b 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【解答】解：， 即的结果是3a+6b， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．（2025秋•锦江区校级期末）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m是最大的负整数，则代数式2ab﹣（c+d）﹣3|m|＝　﹣1　 ． 【分析】根据倒数的定义，ab＝1，根据相反数的定义，c+d＝0，m是最大的负整数，得到m＝﹣1，将相关数据代入代数式计算即可． 【解答】解：∵c、d互为相反数， ∴c+d＝0， ∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∵m是最大的负整数， ∴m＝﹣1， ∴原式＝2×1﹣0﹣3×1＝2﹣0﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2025秋•东城区期末）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．例如如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法： 将十进制数1000转化为八进制数为 　（1750）8 ． 【分析】根据题意用1000除以8并取余数即可． 【解答】解：1000÷8＝125……0， 125÷8＝15……5， 15÷8＝1……7， 1÷8＝0……1， 则将十进制数1000转化为八进制数为（1750）8， 故答案为：（1750）8． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握将十进制数转化为八进制数的方法是解题的关键． 【考点2】十进制与二进制（第8-11题） · 按位权展开 · 除以2取余 · 二进制只含0和1 · 注意位权 8．（2026春•鼓楼区期末）计算（﹣2）2026+（﹣2）2025的结果为（　　） A．﹣22026 B．﹣22025 C．22025 D．22026 【分析】通过提取（﹣2）2025 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【解答】解：（﹣2）2026+（﹣2）2025 ＝（﹣2）2025×[（﹣2）+1] ＝（﹣2）2025×（﹣1） ＝﹣22025×（﹣1） ＝22025． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 9．（2025秋•巢湖市期末）对任意两个有理数a，b定义如下运算：a*b＝|a+b﹣ab|．有下列四个结论：①3*（﹣2）＝5；②a*0＝a；③a*b＝b*a；④若a*2＝b*2，则a＝b．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③ C．①③ D．③④ 【分析】根据定义的运算列式计算后进行判断即可． 【解答】解：3*（﹣2）＝|3﹣2﹣3×（﹣2）|＝7，则①错误； a*0＝|a+0﹣0|＝|a|，则②错误； a*b＝|a+b﹣ab|，b*a＝|a+b﹣ab|，则③正确； a*2＝|a+2﹣2a|＝|2﹣a|，b*2＝|b+2﹣2b|＝|2﹣b|，那么a＝b或a+b＝4，则④错误； 综上，正确的是③， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 10．（2026春•罗平县期末）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2）3＝﹣6 B． C． D．﹣32﹣（﹣2）3＝1 【分析】先算乘方、再算乘除、最后算加减即可． 【解答】解：A、（﹣2）3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8≠﹣6，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、﹣32﹣（﹣2）3＝﹣9﹣（﹣8）＝﹣9+8＝﹣1≠1，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 11．（2026春•宿城区期末）计算32×2026+42×2026+72×2026的结果为（　　） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 【分析】通过提取公因数2026，简化表达式后计算完全平方公式，最后相乘得到结果． 【解答】解：原式＝2026×（32+42+72） ＝2026×（3+7）2 ＝2026×100 ＝202600 故选：C． 【点评】本题考查有理数运算和完全平方公式的运用，熟练掌握计算公式是解题关键． 【考点3】自定义运算（第12-17题） · 按新规则代入 · 找规律 · 优先级 · 逐项计算 12．（2026•高州市一模）定义关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．若规定f（2）＝9，则f（4）＝（　　） A．3 B．6 C．18 D．81 【分析】根据给定的运算规则，将f（4）变形为两个f（2）的乘积，代入已知条件计算即可． 【解答】解：∵f（m+n）＝f（m）•f（n），f（2）＝9， ∴f（4）＝f（2+2）＝f（2）•f（2）＝9×9＝81， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．（2026•南岗区校级开学）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（x﹣1）⊗x＝5，则﹣2x2+4x的值是　﹣10　 ． 【分析】根据新定义先将式子（x﹣1）⊗x＝5转化为x2﹣2x＝5，再代入﹣2x2+4x＝﹣2（x2﹣2x）计算即可． 【解答】解：∵a⊗b＝2ab﹣b2， ∴（x﹣1）⊗x＝2x（x﹣1）﹣x2， ∵（x﹣1）⊗x＝5， ∴2x（x﹣1）﹣x2＝5， 化简，得：x2﹣2x＝5， ∴﹣2x2+4x＝﹣2（x2﹣2x）＝﹣2×5＝﹣10， 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 14．（2025秋•昌都市期末）定义一种新的运算“※”，规定a※b＝﹣4a÷b，则3※（﹣4）的值为　3　 ． 【分析】根据新定义，以及有理数的乘除运算的运算方法，求出3※（﹣4）的值是多少即可． 【解答】解：根据新定义及有理数的乘除运算法则可得： 3※（﹣4）＝﹣4×3÷（﹣4）＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是掌握新定义运算法则． 15．（2025秋•喀什地区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，则代数式a+b﹣cd+x的值为 　﹣4或2　 ． 【分析】先根据题意得出a+b＝0，cd＝1，|x|＝3，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3， ∴a+b＝0，cd＝1，|x|＝3， ∴x＝±3， 当x＝3时，a+b﹣cd+x＝0﹣1+3＝2； 当x＝﹣3时，原式＝0﹣1﹣3＝﹣4， ，故代数式a+b﹣cd+x的直为﹣4或2． 故答案为：﹣4或2． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 16．（2025秋•静安区校级期末）规定一种新运算：a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*3＝　1　 ． 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：利用题中的新定义计算可得： （﹣2）*3＝（﹣2）2﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】此题考查了含乘方的有理数混合运算，理解新定义是解题的关键． 17．（2025秋•开江县校级期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：12＝1×10+2；235＝2×10×10+3×10+5；在一种六进制计数法中，它是用0～5这6个数字来表示数，满6进一，例如：六进制数12对应十进制的数为1×6+2＝8，六进制数235对应十进制的数为2×62+3×6+5＝95，那么六进制数325对应十进制的数为　125　 ． 【分析】将六进制数转换为十进制数，需要将每位数字乘以6的相应次幂后求和即可． 【解答】解：根据将六进制数转换为十进制数可得： 3×62+2×61+5＝3×36+2×6+5＝125． 故答案为：125． 【点评】本题主要考查了不同进制数之间的转换，理解题意是解题的关键． 【考点4】混合运算（第18-22题） · 统一为加法 · 运算律简算 · 先化绝对值 · 结果检验 18．（2025秋•三元区期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算除法，最后算加减即可． 【解答】解： ＝﹣1﹣2+8 ＝5． 【点评】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． 19．（2025秋•海门区校级期末）计算或简化： （1）﹣44﹣（）×[4﹣（﹣2）2]﹣1； （2）18﹣6÷（﹣2）3×（）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【解答】解：（1）原式＝﹣256﹣（）×0﹣1 ＝﹣256﹣1 ＝﹣257； （2）原式＝18﹣6×（）×（） ＝18 ＝17． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（2026春•道外区期末）计算（能用简便运算的用简算）： （1）2.5×4÷8.5； （2）． 【分析】（1）先按从左到右的运算顺序，先计算乘法部分得到整数10，再用10除以8.5，最后化简分数得到结果； （2）利用乘法分配律，把24分别和括号里的三个分数相乘，再把得到的结果依次进行加减运算，简化计算过程． 【解答】解：（1）2.5×4÷8.5 ＝10÷8.5 ； （2） ＝6+20﹣21 ＝26﹣21 ＝5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 21．（2026春•谯城区校级月考）计算：． 【分析】先算乘方、绝对值、除法，再算乘法，后算加减即可． 【解答】解：原式 ＝﹣9﹣6+6 ＝﹣9． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 22．（2025秋•揭东区期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式 ＝﹣3+12﹣3 ＝6． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【考点5】应用（第23-28题） · 列综合算式 · 分段计算 · 盈亏问题 · 结果取整 23．（2025秋•子洲县期末）“东北参，子洲芪．”这句话流传甚广，尤其在中医药界尽人皆知．之所以放在一起盛赞，是因为两者均属补气良药，人参偏重于大补元气，黄芪则以补虚为主．在互联网技术的影响下，经销商小张在网上销售黄芪，原计划每天卖3000克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有出入，下表是某星期的销售情况（超出的部分记为正，不足的部分记为负．单位：克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际每天的销售量与计划销售量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +15 +1 若每克按2元出售，该星期的总运费为100元，求经销商小张该星期的总收入．（总收入＝总销售额﹣总运费） 【分析】根据表格中的数据计算出销售总量，进一步算出总收入． 【解答】解：根据表格中的数据计算出销售总量可得： 3000×7+5﹣3﹣4+12﹣6+15+1＝21020， 21020×2﹣100＝41940． 答：小张该星期的总收入为41940元． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数的概念，熟练掌握运算法则是解题关键． 24．（2025秋•二道区期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人当天的巡逻行驶记录如下（单位：km）：+2，﹣1.5，﹣2，+0.5，﹣4.5，+1.5． （1）这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的哪个方向？距出发点多少km？ （2）已知巡逻机器人的平均速度为3km/h，求这次巡逻所用的时间． 【分析】（1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得： 2+（﹣1.5）+（﹣2）+（+0.5）+（﹣4.5）+（+1.5） ＝2﹣1.5+2+0.5﹣4.5+1.5 ＝﹣4km． 答：这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的南侧4km处． （2）（|2|+|﹣1.5|+|﹣2|+|0.5|+|﹣4.5|+|1.5|＝12（千米）， 12÷3＝4h． 答：这次巡逻所用的时间为4h． 【点评】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 25．（2025秋•利津县月考）利津水煎包是山东东营的传统名吃，以“外皮酥韧、内馅鲜香”著称，其制作技艺被列入当地非物质文化遗产．某老字号作坊生产的利津水煎包分大、小两种规格，已知小包子标准质量为每个80克．现抽取8个样品进行检测，结果如下（单位：克）： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 85 83 80 83 75 88 77 83 与标准质量差值 　+5　 　+3　 　0　 　+3　 　﹣5　 　+8　 　﹣3　 　+3　 （1）与标准质量比较，把超出的克数记为正，不足的克数记为负，请你依次写出得这8个差值，并把结果填在表格中． （2）请利用（1）中的差值，求这8个水煎包的总质量是多少？ 【分析】（1）用每个质量减去标准质量得到结果，填入表格即可； （2）先将与标准质量差值相加，再加上8个标准质量，即可解答． 【解答】解：（1）用每个质量减去标准质量得： 85﹣80＝5， 83﹣80＝3， 80﹣80＝0， 83﹣80＝3， 75﹣80＝﹣5， 88﹣80＝8， 77﹣80＝﹣3， 83﹣80＝3， 故填入表格数为：+5；+3；0；+3；﹣5；+8；﹣3；+3． （2）先将与标准质量差值相加，再加上8个标准质量可得： 80×8+[（+5）+（+3）+0+（+3）+（﹣5）+（+8）+（﹣3）+（+3）]＝654（克）， 答：这8个水煎包的总质量是654克． 【点评】本题考查了正数和负数的意义，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出算式计算． 26．（2025秋•澄城县期末）在科技浪潮的推动下，无人驾驶快递配送车正以颠覆性姿态重塑物流行业，让高效、安全、环保的配送体验触手可及．一辆无人驾驶快递配送车从配送站出发，在一条南北方向的街道上运营．规定：以配送站为原点，向南为正，向北为负，这辆无人驾驶快递配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）： +7、+1、+6、+5、+3、﹣2、﹣9、﹣4、﹣8、﹣4． （1）这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地时，配送车在配送站的什么方向，距离配送站多少千米？ （2）若这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地后，返回配送站．已知这种无人驾驶快递配送车每千米耗电0.15元，求这辆无人驾驶快递配送车该天耗电的总费用． 【分析】（1）把所给的配送里程相加，所得结果的绝对值为与出发地点的距离，若结果为正，则在出发点的南边，若结果为负，则在出发点的北边； （2）把所给的配送里程取绝对值，与返回配送站的路程相加，所得结果乘以0.15即可得到答案． 【解答】解：（1）把所给的配送里程相加可得： +7+1+6+5+3﹣2﹣9﹣4﹣8﹣4 ＝﹣5． 所以配送车在配送站的北面，距离配送站5千米． （2）这辆无人驾驶快递配送车行驶的总路程为： |+7|+|+1|+|+6|+|+5|+|+3|+|﹣2|+|﹣9|+|﹣4|+|﹣8|+|﹣4|+5＝54（千米）． 所以当天耗电的总费用为54×0.15＝8.1（元）． 【点评】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数加减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 27．（2025秋•顺德区校级月考）华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【探索发现】 （1）如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成9部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．则阴影部分的面积是　　 ； 【问题解决】 （2）请你借助图1，计算的值； 【拓展应用】 （3）计算：的值． 【分析】（1）根据图形可得，阴影部分的面积，进而可以得解； （2）结合（1），即可计算得解； （3）设计一个边长为1的正方形，将其分成三等份，取其中的两份，这部分的面积为，然后将剩下的分成三等份，取其中的两份，这部分的面积是，…以此类推，即可求解． 【解答】解：（1）根据图形可得：． 故答案为：； （2）由题意，结合（1）， ∴11． （3）如图所示： ∴①的面积为， ②的面积为， ③的面积为：， ④的面积为：， 以此类推， 第n个面积为， ∴1． 【点评】本题考查的是数形结合的应用，规律探究．发现规律是关键． 28．（2025秋•久治县期末）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售100kg左右的苹果梨．下表为小李12月份第一周销售苹果梨的情况（以100kg为标准，超额记为正，不足记为负，单位：kg）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 ﹣3 ﹣1 +1 ﹣2 ﹣6 +13 +8 根据以上内容解答下列问题： （1）这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克苹果梨？ （2）若苹果梨的售价为5.5元/kg，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 【分析】（1）根据表格可知星期六销售最多，星期五销售最少，用星期六的+13减去星期五的﹣6即可； （2）求出一周总的销售量，再用单价乘以数量，即可得到总收入． 【解答】解：（1）由表格可知，与标准销售量的差值，星期六是+13，星期五是﹣6， ∴星期六销售量最多，星期五销售量最少， ∵以100kg为标准， ∴星期六比星期五多销售：+13﹣（﹣6）＝19（kg）； （2）小李这周直播销售苹果梨的总量为： 100×7+（﹣3）+（﹣1）+（+1）+（﹣2）+（﹣6）+（+13）+（+8）＝710（kg）， ∴总收入为：5.5×710＝3905（元）． 【点评】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•湖南）水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据有理数的混合运算法则进行解题即可． 【解答】解：（+1）×2+（﹣2） ＝（+2）﹣2 ＝0． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•惠阳区期末）小明在线上商城购买学习用品，结账后得到如图的小票，其中包装费和优惠券的费用被污染了，根据小票信息，你认为包装费和优惠券分别可能为（　　） A．2元和50元 B．2元和52元 C．3元和53元 D．4元和51元 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：212.6﹣164.6＝48（元）， 则包装费和优惠券的差值应为48元， 那么只有A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•中山市期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：212＝2×102+1×101+2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为（　　） A．34 B．194 C．1234 D．6154 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：4+3×5+2×52+1×53 ＝4+15+50+125 ＝194， 即孩子已经出生的天数为194． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•长春期末）如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A→B→C→D顺序的运算，可列式为：[（5×2）﹣3]2+4，8经过运算顺序B→D→A→C运算，可列式为{[（8﹣3）+4]×2}2．则﹣2经过C→D→A→B顺序的运算结果为（　　） A．1 B．3 C．9 D．13 【分析】根据题意可以列出算式[（﹣2）2+4]×2﹣3计算即可． 【解答】解：由题意得，[（﹣2）2+4]×2﹣3 ＝（4+4）×2﹣3 ＝8×2﹣3 ＝16﹣3 ＝13， 故选：D． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【练习 5】（2025秋•永吉县期末）计算： （1）﹣4+（﹣7）﹣（﹣2）+|﹣5|； （2）． 【分析】（1）先算出绝对值的结果，再按有理数加减法的运算顺序和计算法则进行解答； （2）按照先算乘方，再算乘除法，最后算加减法的顺序来计算． 【解答】解：（1）﹣4+（﹣7）﹣（﹣2）+|﹣5| ＝﹣4+（﹣7）+（2+5） ＝﹣11+7 ＝﹣4； （2） ＝﹣9﹣（8﹣8﹣1）+3 ＝﹣9+1 ＝﹣7.25． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是按照运算顺序和计算法则来计算． 【练习 6】（2025秋•东台市期末）计算： （1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2）； （2）； （3）． 【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先把除法转化为乘法，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可． 【解答】解：（1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2） ＝20+7﹣2+（﹣2） ＝23； （2） ＝81 ＝16； （3） ＝﹣4×（）﹣（﹣27）÷9 ＝3+3 ＝6． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【练习 7】（2025秋•潮南区期末）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从A地出发，在东西方向公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：km）：﹣5，+8，﹣4，+7，﹣10，+6． （1）检修小组最终停在距A地多远的地方？ （2）若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到A地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ （3）若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶100km耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车从出发到收工回到A地的耗电费用约为多少元？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义，将各数及（1）中求得的结果的绝对值相加并计算求得总路程，然后将其与0.15相乘并计算求得耗油量，最后把它与8相乘求得油费即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． 【解答】解：（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加可得： （﹣5）+（+8）+（﹣4）+（+7）+（﹣10）+（+6） ＝﹣5+8﹣4+7﹣10+6 ＝2（千米）， 答：检修小组最终停在距A地2千米的地方． （2）根据绝对值的实际意义，将各数及（1）中求得的结果的绝对值相加可得： |﹣5|+|+8|+|﹣4|+|+7|+|﹣10|+|+6| ＝5+8+4+7+10+6 ＝40（千米）， 40+2＝42（千米）， 42×0.15＝6.3（升）， 6.3×8＝50.4（元）， 答：当天从出发到收工回到A地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元； （3）∵该新能源汽车每行驶100km耗电12度， ∴行驶42km耗电（度）， ∴该汽车该天的耗电费用约为5.04×1.5＝7.56（元）， 答：该汽车从出发到收工回到A地的耗电费用约为7.56元． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【练习 8】（2024秋•龙马潭区月考）观察下列各等式，并回答问题：1，，，，… （1）填空： 　　 （n为正整数）； （2）计算：． 【分析】（1）观察已知算式即可得结果； （2）结合（1）的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）根据规律，； 故答案为：； （2）原式＝1 ＝1 ＝ ． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 【练习 9】（2022秋•楚雄市期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的，以此类推… （1）第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的 　　 ，的值为 　　 ； （2）请你利用（1）中的结论，求下列各式的值： ①　1　 ； ②计算：． 【分析】（1）从数字找规律进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论进行计算，即可解答； ②利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（1）第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的， ＝1 ， 故答案为：；； （2）①1， 故答案为：1； ② ＝111111 ＝6﹣（） ＝6（） ＝6（1） ＝6 ＝6 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【练习 10】（2025秋•民权县期中）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： ﹣3﹣50+3+4 （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是　15　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是　　 ； （3）算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“+，﹣，×，÷”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：　（+3）×（+4）×[（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）　 ． 【分析】（1）根据题意，可以得到要使得乘积最大，一定是取同号的两个数字，再观察数字可知，当取﹣5和﹣3时，符合要求； （2）根据题意，可以得到要使得数字相除的商最小，一定是取异号的两个数，再观察数字可知，当取﹣5和3时，符合要求； （3）根据有理数的四种混合运算，求解即可． 【解答】解：（1）当取﹣5和﹣3时，得到的乘积最大， 此时（﹣3）×（﹣5）＝15． 故答案为：15； （2）当取﹣5和3时，得到的商最小， 此时． 故答案为：； （3）选择卡片：+3，+4，﹣3，﹣5， 列式得：（+3）×（+4）×[（﹣3）﹣（﹣5）]＝24． 故答案为：（+3）×（+4）×[（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 💯 课后巩固 复习建议 · 先乘方再乘除后加减 · 同级从左到右 · 括号先算内层 · 二进制按位权展开 · 新定义按规则代入 【作业 1】（2026春•福州校级期中）按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的x值为2，计算2x+1的值最后输出的结果是（　　） A．5 B．7 C．11 D．23 【分析】先输入x＝2，求出结果，再与7比较大小，进而可得出结论． 【解答】解：当x＝2时，2x+1＝2×2+1＝5＜7； 当x＝5时，2x+1＝2×5+1＝11＞7，输出， 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•德阳期末）二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（102）3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30＝11．现有二进制数a＝（11101）2、三进制数b＝（1010）3，那么a、b的大小关系是（　　） A．a＜b B．b＜a C．a＝b D．不能确定 【分析】本题是一个基础题．括号里的数字从左开始，按照题目给的计算法则计算，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可 【解答】解：a＝（11101）2用十进制表示为1×24+1×23+1×22+0×21+1×20＝29， b＝（1010）3用十进制表示为1×33+0×32+1×31+0×30＝30， ∵29＜30， ∴a＜b， 故选：A． 【点评】本题考查有理数混合运算，关键是找出题目给出的运算顺序． 【作业 3】（2026•淄博模拟）有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③；④．其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据有理数的混合运算法则，有理数的乘方等运算法则进行逐项分析计算即可． 【解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原来的计算错误； ②﹣（﹣2）3＝8，原来的计算错误； ③1，原来的计算错误； ④，原来的计算正确． 正确的有1个． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，有理数的加法、除法等运算法则，关键在于正确的进行计算． 【作业 4】（2026春•恩平市期中）定义一个新运算，已知a2＝9，b＝1，则f（a，b）等于（　　） A．8或﹣8 B．8 C．2 D．2或﹣2 【分析】由a2＝9得a＝±3，然后利用定义的新运算列式计算即可． 【解答】解：∵a2＝9， ∴a＝±3， 当a＝3，b＝1时， f（a，b）＝3﹣1＝2， 当a＝﹣3，b＝1时， f（a，b）＝﹣3+1＝﹣2， 综上，f（a，b）的值为2或﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【作业 5】（2026春•鼓楼区期中）下列计算中，结果最小的是（　　） A．10﹣5+10﹣6 B．10﹣5﹣10﹣6 C．10﹣5×10﹣6 D．10﹣5÷10﹣6 【分析】计算出各个选项中式子的结果，然后即可发现哪个式子的结果最小． 【解答】解：10﹣5+10﹣6＝0.00001+0.000001＝0.000011＝1.1×10﹣5， 10﹣5﹣10﹣6＝0.00001﹣0.000001＝0.000009＝9×10﹣6， 10﹣5×10﹣6＝10﹣11， 10﹣5÷10﹣6＝10， 由上可得，结果最小的是10﹣5×10﹣6， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的混合运算、有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业 6】（2025秋•农安县校级期末）计算：． 【分析】先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式＝﹣1+3×（）﹣25÷（﹣5） ＝﹣1﹣4+5 ＝0． 【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•南岗区校级月考）大世界商城新购进一批拉布布，每个进价500元，计划按每个800元售出．但前五天的实际售价与计划售价有差异，以800元为标准，售价超过800元的部分记为正，不足800元的部分记为负，前五天的销售情况如下： 星期 一 二 三 四 五 每个价格相对于标准售价（元） +65 +80 +200 ﹣70 ﹣100 售出个数 4 5 7 8 6 （1）这五天中售出的拉布布最高售价是每个　1000　 元；以最高售价售出的个数是　7　 个． （2）全部售出这五天的拉布布后，商家获得的利润率是多少？ 【分析】（1）超出部分最多的单价最高，超出部分加上标准价格即为最高单价，再结合表格可得结论； （2）先求出5天的售出的拉布布的总个数，总件数乘以标准价格再加上各自的件数乘以相应的每件相对于标准价格得出售价，减去成本即可得到利润，然后再求利润率即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，周三单售出的拉布布的售价最高，最高单价为800+200＝1000（元）； 由表格可知：以最高售价售出的个数是7个． 故答案为：1000；7； （2）总件数为：4+5+7+8+6＝30（个）， 成本为：500×30＝15000（元）， 总售价为：65×4+80×5+200×7﹣70×8﹣100×6+30×800＝24900（元）， ∴商家获得的利润是24900﹣15000＝9900（元）． ∴商家获得的利润率是． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【作业 8】（2025秋•成都期末）（1）计算：25﹣17+（﹣5）﹣33； （2）计算：； （3）解方程：． 【分析】（1）根据有理数加减法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解． 【解答】解：（1）25﹣17+（﹣5）﹣33 ＝25﹣17﹣5﹣33 ＝﹣30； （2） ＝100÷25﹣（﹣7） ＝4﹣2 ＝2； （3）， 3x﹣12＝2（x﹣5）， 3x﹣12＝2x﹣10， 3x﹣2x＝﹣10+12， x＝2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，正确计算是解题的关键． 【作业 9】一辆货车从龙信广场出发负责送货，记向东走为正，则货车先走了﹣2千米到达光华小区，继续走了﹣3.5千米到达实验初中，然后走了+6.5千米到达商和广场，最后返回龙信广场． （1）以龙信广场为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出光华小区、实验初中、商和广场的位置（光华小区用点A表示，实验初中用点B表示，商和广场用点C表示） （2）光华小区与商和广场相距多远？ （3）如果货车每千米耗油0.2升，那么这辆货车从出发送货到返回龙信广场共耗油多少升？ 【分析】（1）根据题意在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出算式，再求出答案即可． 【解答】解：（1）根据题意作图如下： ． （2）由（1）可知，点A表示﹣2，点C表示+1，所以光华小区与商和广场相距|（+1）﹣（﹣2）|＝3（千米）．答：光华小区与商和广场相距3千米． （3）0.2×（|﹣2|+|﹣3.5|+|6.5|+1） ＝0.2×（2+3.5+6.5+1） ＝0.2×13 ＝2.6（升） 答：这辆货车从出发送货到返回龙信广场共耗油2.6升． 【点评】本题考查了数轴，正数和负数，有理数的加减等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键． 【作业 10】（2024秋•太康县期中）规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2+1．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2+1＝﹣30． 请用上面规定计算下列各式： （1）1*5； （2）（﹣5）*[3*（﹣1）]． 【分析】（1）将a＝1，b＝5代入a★b＝a×b﹣a﹣b2+1计算可得； （2）先计算出3★（﹣1）＝﹣6，再计算（﹣5）★[3★（﹣1）]＝（﹣5）★（﹣6）可得答案． 【解答】解：（1）由题意知， 1★5 ＝1×5﹣1﹣52+1 ＝5﹣1﹣25+1 ＝﹣20； （2）∵3★（﹣1） ＝3×（﹣1）﹣3﹣（﹣1）2+1 ＝﹣3﹣3﹣1+1 ＝﹣6， ∴（﹣5）★[3★（﹣1）] ＝（﹣5）★（﹣6） ＝（﹣5）×（﹣6）﹣（﹣5）﹣（﹣6）2+1 ＝30+5﹣36+1 ＝0． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【作业 11】（2025秋•卧龙区期末）计算： （1）﹣13[2﹣（﹣3）2]； （2）． 【分析】（1）根据有理数混合运算的运算法则进行计算； （2）根据有理数混合运算的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式＝﹣1 ﹣1 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 【作业 12】（2025秋•管城区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算除法，最后算减法即可； （2）根据乘法分配律进行计算． 【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣13÷（） ＝﹣8+26 ＝18； （2）原式＝﹣9.6 ＝6.4﹣6+1.6 ＝2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则和运算定律来计算． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 有理数混合运算 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数混合运算的顺序 · 能正确进行含乘方、括号的混合运算 · 理解十进制与二进制的转换 · 掌握新定义运算 · 能利用混合运算解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数混合运算顺序 先乘方，再乘除，后加减 同级运算从左到右 有括号先算括号内 括号由小到大 概念辨析例题：计算2+3×(−2) 解析：先乘3×(−2)=−6，再2+(−6)=−4 ☆ 2.混合运算技巧 统一为加法或乘法 确定符号 运算律简算 能约分先约分 概念辨析例题：计算(−8)÷(−2)+3² 解析：(−8)÷(−2)=4，3²=9，4+9=13 ☆ 3.十进制与二进制 二进制只用0和1 逢二进一 二进制数按位权展开转十进制 十进制除以2取余转二进制 概念辨析例题：二进制1011转十进制 解析：1×8+0×4+1×2+1×1=11 ☆ 4.新定义运算 按定义的新规则计算 先找运算规律 代入数值 按新规则优先级 概念辨析例题：定义a*b＝a²−b，求2*3 解析：2*3＝2²−3＝4−3＝1 📋 知识总结表 内容 规则 示例 运算顺序 先乘方再乘除后加减 2+3×(−2)=−4 同级运算 从左到右 6÷2×3=9 括号 先小后大 先内后外 进制 二进制逢二进一 1011₂=11 新定义 按新规则代入 a*b=a²−b 应用 综合算式 分段计费 ⚠️ 核心考点 【考点一】有理数的混合运算（第1-7题） · 先乘方后乘除 · 加减最后 · 括号优先 · 符号确定 1．（2025秋•信阳期末）在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作3＝（11）2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（　　） A．35 B．82 C．83 D．135 2．（2025秋•扎兰屯市期末）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0﹣7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．按照上述方法将八进制数2067换算成十进制数为（　　） A．16 B．127 C．1079 D．1143 3．（2025秋•宣化区期末）定义一种新运算“⊗”，a⊗b＝a2﹣b，则（﹣2）⊗3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7 4．（2026•台湾）算式2.45×98.7﹣（﹣0.55）×98.7之值介于下列哪两个数之间？（　　） A．150，200 B．200，250 C．250，300 D．300，350 5．（2026春•西峡县月考）计算的结果是（　　） A．3a+6b B．3a+6b C．3a+b6 D．3a+6b 6．（2025秋•锦江区校级期末）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m是最大的负整数，则代数式2ab﹣（c+d）﹣3|m|＝_______ ． 7．（2025秋•东城区期末）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．例如如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法： 将十进制数1000转化为八进制数为 ____________ ． 【考点2】十进制与二进制（第8-11题） · 按位权展开 · 除以2取余 · 二进制只含0和1 · 注意位权 8．（2026春•鼓楼区期末）计算（﹣2）2026+（﹣2）2025的结果为（　　） A．﹣22026 B．﹣22025 C．22025 D．22026 9．（2025秋•巢湖市期末）对任意两个有理数a，b定义如下运算：a*b＝|a+b﹣ab|．有下列四个结论：①3*（﹣2）＝5；②a*0＝a；③a*b＝b*a；④若a*2＝b*2，则a＝b．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③ C．①③ D．③④ 10．（2026春•罗平县期末）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2）3＝﹣6 B． C． D．﹣32﹣（﹣2）3＝1 11．（2026春•宿城区期末）计算32×2026+42×2026+72×2026的结果为（　　） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 【考点3】自定义运算（第12-17题） · 按新规则代入 · 找规律 · 优先级 · 逐项计算 12．（2026•高州市一模）定义关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．若规定f（2）＝9，则f（4）＝（　　） A．3 B．6 C．18 D．81 13．（2026•南岗区校级开学）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（x﹣1）⊗x＝5，则﹣2x2+4x的值是________ ． 14．（2025秋•昌都市期末）定义一种新的运算“※”，规定a※b＝﹣4a÷b，则3※（﹣4）的值为_____ ． 15．（2025秋•喀什地区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，则代数式a+b﹣cd+x的值为 _________ ． 16．（2025秋•静安区校级期末）规定一种新运算：a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*3＝_____ ． 17．（2025秋•开江县校级期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：12＝1×10+2；235＝2×10×10+3×10+5；在一种六进制计数法中，它是用0～5这6个数字来表示数，满6进一，例如：六进制数12对应十进制的数为1×6+2＝8，六进制数235对应十进制的数为2×62+3×6+5＝95，那么六进制数325对应十进制的数为________ ． 【考点4】混合运算（第18-22题） · 统一为加法 · 运算律简算 · 先化绝对值 · 结果检验 18．（2025秋•三元区期末）计算：． 19．（2025秋•海门区校级期末）计算或简化： （1）﹣44﹣（）×[4﹣（﹣2）2]﹣1； （2）18﹣6÷（﹣2）3×（）． 20．（2026春•道外区期末）计算（能用简便运算的用简算）： （1）2.5×4÷8.5； （2）． 21．（2026春•谯城区校级月考）计算：． 22．（2025秋•揭东区期末）计算：． 【考点5】应用（第23-28题） · 列综合算式 · 分段计算 · 盈亏问题 · 结果取整 23．（2025秋•子洲县期末）“东北参，子洲芪．”这句话流传甚广，尤其在中医药界尽人皆知．之所以放在一起盛赞，是因为两者均属补气良药，人参偏重于大补元气，黄芪则以补虚为主．在互联网技术的影响下，经销商小张在网上销售黄芪，原计划每天卖3000克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有出入，下表是某星期的销售情况（超出的部分记为正，不足的部分记为负．单位：克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际每天的销售量与计划销售量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +15 +1 若每克按2元出售，该星期的总运费为100元，求经销商小张该星期的总收入．（总收入＝总销售额﹣总运费） 24．（2025秋•二道区期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人当天的巡逻行驶记录如下（单位：km）：+2，﹣1.5，﹣2，+0.5，﹣4.5，+1.5． （1）这次巡逻结束时，该巡逻机器人在出发点的哪个方向？距出发点多少km？ （2）已知巡逻机器人的平均速度为3km/h，求这次巡逻所用的时间． 25．（2025秋•利津县月考）利津水煎包是山东东营的传统名吃，以“外皮酥韧、内馅鲜香”著称，其制作技艺被列入当地非物质文化遗产．某老字号作坊生产的利津水煎包分大、小两种规格，已知小包子标准质量为每个80克．现抽取8个样品进行检测，结果如下（单位：克）： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 85 83 80 83 75 88 77 83 与标准质量差值 _______ _______ _____ _______ _______ _______ _______ _______ （1）与标准质量比较，把超出的克数记为正，不足的克数记为负，请你依次写出得这8个差值，并把结果填在表格中． （2）请利用（1）中的差值，求这8个水煎包的总质量是多少？ 26．（2025秋•澄城县期末）在科技浪潮的推动下，无人驾驶快递配送车正以颠覆性姿态重塑物流行业，让高效、安全、环保的配送体验触手可及．一辆无人驾驶快递配送车从配送站出发，在一条南北方向的街道上运营．规定：以配送站为原点，向南为正，向北为负，这辆无人驾驶快递配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）： +7、+1、+6、+5、+3、﹣2、﹣9、﹣4、﹣8、﹣4． （1）这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地时，配送车在配送站的什么方向，距离配送站多少千米？ （2）若这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地后，返回配送站．已知这种无人驾驶快递配送车每千米耗电0.15元，求这辆无人驾驶快递配送车该天耗电的总费用． 27．（2025秋•顺德区校级月考）华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【探索发现】 （1）如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成9部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．则阴影部分的面积是____________________ ； 【问题解决】 （2）请你借助图1，计算的值； 【拓展应用】 （3）计算：的值． 28．（2025秋•久治县期末）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售100kg左右的苹果梨．下表为小李12月份第一周销售苹果梨的情况（以100kg为标准，超额记为正，不足记为负，单位：kg）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 ﹣3 ﹣1 +1 ﹣2 ﹣6 +13 +8 根据以上内容解答下列问题： （1）这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克苹果梨？ （2）若苹果梨的售价为5.5元/kg，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•湖南）水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【练习 2】（2025秋•惠阳区期末）小明在线上商城购买学习用品，结账后得到如图的小票，其中包装费和优惠券的费用被污染了，根据小票信息，你认为包装费和优惠券分别可能为（　　） A．2元和50元 B．2元和52元 C．3元和53元 D．4元和51元 【练习 3】（2025秋•中山市期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：212＝2×102+1×101+2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为（　　） A．34 B．194 C．1234 D．6154 【练习 4】（2025秋•长春期末）如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A→B→C→D顺序的运算，可列式为：[（5×2）﹣3]2+4，8经过运算顺序B→D→A→C运算，可列式为{[（8﹣3）+4]×2}2．则﹣2经过C→D→A→B顺序的运算结果为（　　） A．1 B．3 C．9 D．13 【练习 5】（2025秋•永吉县期末）计算： （1）﹣4+（﹣7）﹣（﹣2）+|﹣5|； （2）． 【练习 6】（2025秋•东台市期末）计算： （1）20﹣（﹣7）﹣|﹣2|+（﹣2）； （2）； （3）． 【练习 7】（2025秋•潮南区期末）2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从A地出发，在东西方向公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：km）：﹣5，+8，﹣4，+7，﹣10，+6． （1）检修小组最终停在距A地多远的地方？ （2）若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到A地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ （3）若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶100km耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车从出发到收工回到A地的耗电费用约为多少元？ 【练习 8】（2024秋•龙马潭区月考）观察下列各等式，并回答问题：1，，，，… （1）填空： ____________________ （n为正整数）； （2）计算：． 【练习 9】（2022秋•楚雄市期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的，以此类推… （1）第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的 ___________________ ，的值为 ____________________ ； （2）请你利用（1）中的结论，求下列各式的值： ①____________________ ； ②计算：． 【练习 10】（2025秋•民权县期中）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： ﹣3﹣50+3+4 （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是_______ ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是___________________ ； （3）算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“+，﹣，×，÷”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：____________________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 先乘方再乘除后加减 · 同级从左到右 · 括号先算内层 · 二进制按位权展开 · 新定义按规则代入 【作业 1】（2026春•福州校级期中）按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的x值为2，计算2x+1的值最后输出的结果是（　　） A．5 B．7 C．11 D．23 【作业 2】（2025秋•德阳期末）二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（102）3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30＝11．现有二进制数a＝（11101）2、三进制数b＝（1010）3，那么a、b的大小关系是（　　） A．a＜b B．b＜a C．a＝b D．不能确定 【作业 3】（2026•淄博模拟）有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③；④．其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业 4】（2026春•恩平市期中）定义一个新运算，已知a2＝9，b＝1，则f（a，b）等于（　　） A．8或﹣8 B．8 C．2 D．2或﹣2 【作业 5】（2026春•鼓楼区期中）下列计算中，结果最小的是（　　） A．10﹣5+10﹣6 B．10﹣5﹣10﹣6 C．10﹣5×10﹣6 D．10﹣5÷10﹣6 【作业 6】（2025秋•农安县校级期末）计算：． 【作业 7】（2025秋•南岗区校级月考）大世界商城新购进一批拉布布，每个进价500元，计划按每个800元售出．但前五天的实际售价与计划售价有差异，以800元为标准，售价超过800元的部分记为正，不足800元的部分记为负，前五天的销售情况如下： 星期 一 二 三 四 五 每个价格相对于标准售价（元） +65 +80 +200 ﹣70 ﹣100 售出个数 4 5 7 8 6 （1）这五天中售出的拉布布最高售价是每个_________ 元；以最高售价售出的个数是_____ 个． （2）全部售出这五天的拉布布后，商家获得的利润率是多少？ 【作业 8】（2025秋•成都期末）（1）计算：25﹣17+（﹣5）﹣33； （2）计算：； （3）解方程：． 【作业 9】一辆货车从龙信广场出发负责送货，记向东走为正，则货车先走了﹣2千米到达光华小区，继续走了﹣3.5千米到达实验初中，然后走了+6.5千米到达商和广场，最后返回龙信广场． （1）以龙信广场为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出光华小区、实验初中、商和广场的位置（光华小区用点A表示，实验初中用点B表示，商和广场用点C表示） （2）光华小区与商和广场相距多远？ （3）如果货车每千米耗油0.2升，那么这辆货车从出发送货到返回龙信广场共耗油多少升？ 【作业 10】（2024秋•太康县期中）规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2+1．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2+1＝﹣30． 请用上面规定计算下列各式： （1）1*5； （2）（﹣5）*[3*（﹣1）]． 【作业 11】（2025秋•卧龙区期末）计算： （1）﹣13[2﹣（﹣3）2]； （2）． 【作业 12】（2025秋•管城区校级期末）计算： （1）； （2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $