第2讲 有理数的引入 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第2讲 有理数的引入 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数、负数的意义，能用正负数表示相反意义的量 · 掌握数轴的三要素，能在数轴上表示有理数 · 理解相反数的概念，会求一个数的相反数 · 理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值 · 能利用数轴比较有理数的大小 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 大于0的数是正数，在正数前加负号“−”的数是负数 0既不是正数也不是负数 正负数可以表示具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降） 有理数按符号分为正有理数、0、负有理数 概念辨析例题：若收入100元记作+100，则支出50元记作什么 解析：收入与支出是相反意义的量，支出用负数表示 ☆ 2.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴上原点右边的数大于0，左边的数小于0 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 数轴上右边的数总比左边的数大 概念辨析例题：在数轴上表示−3和2的点，哪个在右边 解析：数轴上右边的数总比左边的大，2＞−3 ☆ 3.相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 0的相反数是0 a的相反数是−a 互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离相等 概念辨析例题：求−5的相反数 解析：只有符号不同，−5的相反数是5 ☆ 4.绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a| 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 绝对值是非负数，即|a|≥0 概念辨析例题：求|−3|和|4| 解析：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身 📋 知识总结表 概念 定义/规定 注意事项 正负数 大于0为正，加“−”为负 0既非正也非负 数轴 原点+正方向+单位长度 右边的数总比左边大 相反数 只有符号不同 0的相反数是0 绝对值 到原点的距离 |a|≥0恒成立 大小比较 数轴右大左小 负数<0<正数 应用 表示相反意义的量 距离用绝对值 ⚠️ 核心考点 【考点1】正数与负数（第1-5题） · 正数大于0，负数小于0 · 0既不是正数也不是负数 · 正负数表示相反意义的量 · 注意省略“+”号的正数 1．（2026•深圳一模）“数字人民币”应用场景范围逐步扩大，若转入6元记作+6元，那么转出7元记作（　　） A．﹣7元 B．+7元 C．元 D．±7元 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【解答】解：若转入6元记作+6元，那么转出7元记作﹣7元， 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2．（2024秋•仙游县期中）老师在评卷时，如果把得4分记为4分，那么扣3分记为（　　） A．﹣3分 B．+3分 C．﹣1分 D．+1分 【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量：得分为正，扣分为负，直接得出结论即可． 【解答】解：如果把得4分记为+4分，那么扣3分记为﹣3分， 故选：A． 【点评】本题考查了负数的意义及其应用，正确理解题意是解题的关键． 3．（2025秋•富平县校级期末）在1，﹣40%，0，﹣3，，，2025，0.6中，非负数有（　　）个． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【解答】解：在1，﹣40%，0，﹣3，，﹣1，2025，0.6中，非负数有在1，0，，2025，0.6，共5个． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是明确大于或等于零的数是非负数． 4．（2025秋•虹口区期末）小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下面的表记录下她的体重变化情况，已知她6月1日的体重是40.2kg，那么她12月1日的体重是　40.1　 kg． 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 ﹣1.2kg +1.3kg +2.0kg ﹣1.5kg ﹣1.5kg +0.8kg 【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：40.2﹣1.2+1.3+2.0﹣1.5﹣1.5+0.8＝40.1（kg）， 即她12月1日的体重是40.1kg， 故答案为：40.1． 【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键． 5．（2025秋•开福区校级月考）写出一个有理数，使这个数的绝对值等于它的相反数：　﹣2　 ． 【分析】根据绝对值的意义求解． 【解答】解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是0或负数． 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了绝对值的性质：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了相反数． 【考点2】数轴（第6-15题） · 数轴三要素缺一不可 · 原点位置确定后正方向向右 · 有理数与数轴上点一一对应 · 利用数轴比较大小 6．（2025秋•都江堰市期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 【分析】依题意，根据数轴得到b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数四则运算法则求解即可． 【解答】解：观察数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，b﹣a＜0，ab＜0，|b|＞|a|， ∴四个选项中A选项正确，B，C，D选项错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，做题的关键是仔细运算． 7．（2025秋•鹤壁期末）如图，点A表示的数是1，若将点A向左移动4个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．4 【分析】根据点在数轴上平移的规则即可求解． 【解答】解：点A表示的数是1，若将点A向左移动4个单位长度得到点A′，1﹣4＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴上点的平移，解题的关键是掌握点在数轴上平移的规则“左减右加”． 8．（2026•建邺区二模）如图，a，b，a+b在数轴上的对应点分别是A，B，P，则a﹣b在数轴上的对应点位于（　　） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， a+b＜a＜b， 所以b＜0， 则a＜b＜0． 由a＞a+b得， a﹣b＞a． 因为AP＜AB， 则a﹣（a+b）＜b﹣a， 所以﹣b＜b﹣a， 则a﹣b＜b， 所以a＜a﹣b＜b， 即a﹣b在数轴上的对应点位于点A和点B之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 9．（2025秋•东城区校级期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上5.2cm对应数轴上的数为（　　） A．5.2 B．﹣2.2 C．﹣4.8 D．﹣1.8 【分析】根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【解答】解：刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0， 即刻度尺和数轴的单位长度相同， ∵刻度尺上3cm对应数轴上的0， ∴3﹣5.2＝﹣2.2， ∴刻度尺上5.2cm对应数轴上的数为2.2． 故选：B． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2025秋•齐河县月考）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上A′处，且A′B：A′C＝2：3，则C点表示的数是　4或﹣5　 ． 【分析】先求出AB的长，再由折叠的性质得到AC＝A′C，再分当点A′在B的右侧时，当点A′在B的左侧时，两种情况分别求出BC的长即可得到答案． 【解答】解：∵点A、B表示的数分别是﹣14，10， ∴AB＝10﹣（﹣14）＝24， 由折叠可知AC＝A′C， 当点A′在B的左侧时， ∵A′B：A′C＝2：3， ∴， ∴， ∴点C表示的数为10﹣15＝﹣5； 当点A′在B的右侧时， ∵A′B：A′C＝2：3， ∴， ∴， ∴点C表示的数为10﹣6＝4； 故答案为：4或﹣5． 【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2024秋•句容市月考）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 　﹣2　 ． 【分析】先求出AB的长度，再根据点C是线段AB的中点，求出AC的长度，进一步即可求出点C表示的数． 【解答】解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和2， ∴AB＝2﹣（﹣6）＝8， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝4， ∴﹣6+4＝﹣2， ∴点C表示的数是﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 12．（2026•江西模拟）如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线互相平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2，则点B在数轴上表示的数是　4　 ． 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【解答】解：令点B表示的数为x， ∵图中的虚线互相平行且点A表示的数为﹣2， ∴， 解得x＝4， 经检验x＝4是原方程的解且符合题意， ∴点B表示的数为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 13．（2024秋•江津区期末）为了有效遏制酒后驾车行为，区交警大队的一辆警车在城区的一条东西走向的路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，在某段时间内，这辆警车从出发点开始所走的路程为：+8，﹣12，+9，﹣5，+11，﹣8，﹣7，+10．（单位：千米） （1）巡逻结束时，这辆警车在出发点的哪个方向？距离出发点多远？ （2）如果这辆警车每千米耗油0.6升，出车时，油箱内有45.2升油，巡逻结束后，油箱中的油有无剩余，若有，剩余多少升？ 【分析】（1）求出各个数据的和，根据结果的符号判断方向，根据结果的绝对值判断距离； （2）求出各个数据的绝对值的和，即求出行驶的总路程，再乘以每千米耗油量即可． 【解答】解：（1）（+8）+（﹣12）+（+9）+（﹣5）+（+11）+（﹣8）+（﹣7）+（+10）＝6（千米）， ∴巡逻结束时，这辆警车在出发点的东方，距离出发点6千米． （2）|+8|+|﹣12|+|+9|+|﹣5|+|+11|+|﹣8|+|﹣7|+|+10|＝70（千米）， 45.2﹣0.6×70＝3.2（升）， ∴巡逻结束后，油箱中的油还有剩余，剩余3.2升． 【点评】本题主要考查正负数的实际应用，有理数加法、乘法运算的实际应用，解题的关键是理解正负号的实际意义． 14．（2026•高碑店市模拟）数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是1﹣2x． （1）当x＝﹣2时，求线段AB的长； （2）若点A在点B的右侧，求符合要求的x的最小整数值． 【分析】（1）将x＝﹣2代入计算即可； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时， 点A表示的数是，点B表示的数是5， ∴AB＝3； （2）由题意知， 解得， ∴x的最小整数值为0． 【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握该知识点是关键． 【考点3】相反数（第16-20题） · 只有符号不同的两个数 · a的相反数是−a · 0的相反数是0 · 相反数成对出现 15．（2025秋•宁陵县期中）若m与3互为相反数，则m+3＝（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．6 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：∵m和3互为相反数， ∴m+3＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 16．（2026•肥西县二模）下列各数中，相反数等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2026 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此计算判断即可． 【解答】解：A、﹣1的相反数是1，故此选项不符合题意； B、1的相反数是﹣1，故此选项不符合题意； C、0的相反数是0，故此选项符合题意； D、2026的相反数是﹣2026，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 17．（2025秋•宜宾期末）﹣2025的相反数是 　2025　 ． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2025的相反数是2025． 故答案为：2025． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 18．（2025秋•庄河市期末）如果2m与﹣m+1互为相反数，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】根据相反数的性质列得方程，解得m的值即可． 【解答】解：如果2m与﹣m+1互为相反数， 则2m﹣m+1＝0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握其性质是解题的关键． 19．（2024秋•龙川县校级月考）若a、b互为相反数，则2024+a+1+b＝　2025　 ． 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知a+b＝0，将其代入即可求得结果． 【解答】解：由条件可知a+b＝0， ∴原式＝2024+1+（a+b）＝2024+1+0＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路． 【考点4】绝对值（第21-33题） · |a|表示到原点的距离 · 正数绝对值本身 · 负数绝对值是相反数 · 绝对值非负 20．（2026•镜湖区校级三模）化简﹣|﹣3|，正确的是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【分析】根据绝对值，相反数的定义解答即可． 【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，相反数，掌握绝对值的定义，相反数的定义是解题的关键． 21．（2025秋•鼓楼区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．0是最小的正数 B．﹣m一定比m小 C．互为相反数的两个数之和为0 D．绝对值等于它本身的数是负数 【分析】根据正负数、相反数、绝对值的基本概念判断即可 【解答】解：本题考查了正负数、相反数、绝对值的基本概念如下： A．0既不是正数也不是负数，故A错误； B．当m为负数时，﹣m为正数，此时﹣m＞m，故B错误； C．互为相反数的两个数之和为0，故C正确； D．绝对值等于本身的数是正数和0，而不是负数，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了正负数、相反数、绝对值的基本概念． 22．（2025秋•玄武区校级期末）如果|b|≤4，那么|b+4|+|b﹣4|的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵|b|≤4， ∴|b+4|+|b﹣4| ＝b+4﹣b+4 ＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 23．（2025秋•竞秀区期末）如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，求出4个排球中质量最接近标准质量的球即可． 【解答】解：由题知， 因为|+4.9|＝4.9，|+0.7|＝0.7，|﹣3.5|＝3.5，|﹣0.6|＝0.6，且0.6＜0.7＜3.5＜4.9， 所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值，能根据题意求出记录数据中各数的绝对值是解题的关键． 24．（2025秋•鲤城区校级期末）若a、b为整数，且|a﹣3|+|a﹣b|＝1，则a+b的值可能的结果是（　　） A．4 B．4或5 C．4或5或7 D．4或5或7或8 【分析】由绝对值的非负性及和为1，得到|a﹣3|＝0，|a﹣b|＝1或|a﹣3|＝1，|a﹣b|＝0，分别求解即可．． 【解答】解：根据题意可知，|a﹣3|＝0，|a﹣b|＝1或|a﹣3|＝1，|a﹣b|＝0， ①若|a﹣3|＝0，|a﹣b|＝1，则a＝3，b＝2或4， 当a＝3，b＝2时，a+b＝3+2＝5， 当a＝3，b＝4时，a+b＝3+4＝7， ②若|a﹣3|＝1，|a﹣b|＝0，则a＝4，b＝4或a＝2，b＝2， 当a＝4，b＝4时，a+b＝4+4＝8， 当a＝2，b＝2时，a+b＝2+2＝4， 综上所述，a+b的值可能的结果为4，5，7，8． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 25．（2025秋•越秀区期末）已知a•b≠0，则的值为　0，﹣2，2．　 ． 【分析】分当a＞0，b＞0时；当a＞0，b＜0时；当a＜0，b＜0时；当a＜0，b＞0时四种情况作答即可． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，， 当a＞0，b＜0时，， 当a＜0，b＜0时，， 当a＜0，b＞0时，， 故答案为：0，﹣2，2． 【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的除法，分情况进行讨论是解题的关键． 26．（2025秋•思明区校级期中）设是一个四位数，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是　16　 ． 【分析】由a≤b≤c≤d化简原式得2（d﹣a），因四位数abcd中a最小为1、d最大为9，故最大值为2×（9﹣1）＝16． 【解答】解：∵a≤b≤c≤d， ∴|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|＝b﹣a+c﹣b+d﹣c+d﹣a＝2（d﹣a）， ∵是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d， ∴a最小值为1，d最大值为9， ∴2（d﹣a）的最大值为2×（9﹣1）＝16， 即|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值为16． 故答案为：16． 【点评】本题考查绝对值的应用，属于中档题． 27．（2025秋•青羊区校级期末）已知abc＞0，则的值为　4或0　 ． 【分析】由abc＞0可知，a、b、c的符号有两种可能：全正或两负一正．当全正时，每个绝对值与自身比值为1，abc为正其与绝对值比值也为1，求和得4．当两负一正时，两个负数的绝对值与自身比值为﹣1，正数为1，abc因两负相乘为正再乘正仍为正，其与绝对值比值为1，求和得0． 【解答】解：分析abc＞0的情况： 当a＞0，b＞0，c＞0时：，，，1， 原式＝1+1+1+1＝4； 当a、b、c中有两个负数、一个正数时（不妨设a＜0，b＜0，c＞0）：1，，1，abc＝（﹣a）（﹣b）c＝abc＞0， 故， 原式＝﹣1+（﹣1）+1+1＝0， 综上，原式的值为4或0． 故答案为：4或0． 【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 28．（2025秋•岳塘区期末）若“*”表示一种新运算，它的意义是：a*b＝ab﹣（a+b），例1*2＝1×2﹣（1+2）＝﹣1，计算（﹣4）*3＝ 　﹣11　 ． 【分析】根据a*b＝ab﹣（a+b），可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝ab﹣（a+b）， ∴（﹣4）*3 ＝（﹣4）×3﹣[（﹣4）+3] ＝﹣12﹣（﹣1） ＝﹣12+1 ＝﹣11， 故答案为：﹣11． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 29．（2025秋•长安区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助如图的数轴进行以下探索： 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|） （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　﹣4或2　 ． （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　8　 ，最小距离是　2　 ． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算公式进行计算即可； （2）根据绝对值的几何意义进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义进行计算即可； （4）根据绝对值的几何意义进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为|4﹣1|＝3，|﹣3﹣2|＝5， 所以数轴上表示4和1的两点之间的距离是3，表示﹣3和2两点之间的距离是5． 故答案为：3，5； （2）因为代数式|x+1|的值可看成数轴上表示数x的点到表示﹣1的点的距离， 又因为|x+1|＝3， 则﹣1﹣3＝﹣4，﹣1+3＝2， 所以x＝﹣4或2． 故答案为：﹣4或2； （3）因为|a﹣3|＝2，|b+2|＝1， 所以a＝1或5，b＝﹣3或﹣1， 则A、B两点间的最大距离是：5﹣（﹣3）＝8，最小距离是：1﹣（﹣1）＝2． 故答案为：8，2； （4）代数式|x﹣3|+|x﹣6|的值可看成数轴上表示数x的点到表示3和6的点的距离之和． 当表示数x的点在表示3的点和6的点之间时（包括端点）， 代数式|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为：6﹣3＝3， 所以当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为3． 【点评】本题主要考查了绝对值及数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征及绝对值的几何意义是解题的关键． 30．（2025秋•虎林市期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）填空：a　＜　 0，a﹣b　＜　 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简：|a|﹣2|a﹣b|+|b﹣a|． 【分析】（1）根据数轴表示数的方法以及有理数a，b在数轴上的位置可得答案； （2）根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）由有理数a，b在数轴上的位置可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0， 故答案为：＜，＜； （2）由（1）得a﹣b＜0，b﹣a＞0， ∴|a|﹣2|a﹣b|+|b﹣a| ＝﹣a+2（a﹣b）+b﹣a ＝﹣a+2a﹣2b+b﹣a ＝﹣b． 【点评】本题考查绝对值、数轴，理解数轴表示数的意义以及绝对值的定义是正确解答的关键． 31．（2025秋•无棣县期中）阅读下列材料并解决有关问题： 【材料﹣】我们知道|x|，现在我们可以用这一个结论来化简含x有绝对值的代数式， 如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1与2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； （2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； （3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 综上讨论，原式 【材料二】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出|x+2|和|x﹣4|的零点值； （2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|； （3）对于任意有理数x，|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料﹣】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 【解答】解：（1）令x+2＝0和x﹣4＝0， 求得x＝﹣2，x＝4， ∴﹣2与4分别为|x+2|与|x﹣4|的零点值． （2）当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2； 当﹣2≤x＜4时，原式＝x+2﹣（x﹣4）＝6； 当x≥4时，原式＝x+2+x﹣4＝2x﹣2． ∴|x+2|+|x﹣4|； （3）对于任意有理数x，|x+2|+|x﹣4|有最小值，最小值为6． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． 【考点5】有理数大小比较（第34-43题） · 数轴右大左小 · 正数>0>负数 · 两个负数比绝对值大的反而小 · 先化简再比较 32．（2025秋•思明区校级期末）已知（a，b，c为正数），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【分析】根据题意，可令，据此分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【解答】解：由题知， 不妨令， 解得，，c＝1． 又因为， 所以a，b，c的大小关系是a＞c＞b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较，令是解题的关键． 33．（2026•铁岭县模拟）2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1，﹣3，其中最低的气温是（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣3 【分析】由题意可根据有理数的大小比较进行求解． 【解答】解：∵﹣4℃＜﹣3℃＜0℃＜1℃， ∴最低的气温是﹣4℃； 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键． 34．（2025秋•岳阳楼区期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a2＜b2 C．|a﹣b|＝b﹣a D．a＜﹣a＜﹣b＜b 【分析】利用数轴确定a、b的大小，然后根据有理数的加法、减法、乘方法则判断即可． 【解答】解：由题意可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a+b＜0，故A不符合题意； a2＞b2，故B不符合题意； |a﹣b|＝b﹣a，故C符合题意； a＜﹣b＜b＜﹣a，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查数轴、有理数的加法、减法和乘方，熟练运用法则计算是关键． 35．（2026•丛台区校级模拟）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 杭州 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．杭州 D．郑州 【分析】根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜3， ∴气温最低的城市是杭州， ∴选项C正确． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键． 36．（2025秋•左权县期末）比较大小： 　＞　 ．（填上“＞”、“＝”或“＜”） 【分析】根据两个负数比较，绝对值小的反而大，即可解答． 【解答】解：∵||，||， ∴， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键． 37．（2025秋•常德校级期末）比较大小：　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：∵、分子相同，分母不同，且3＜4， ∴， ∵， ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 38．（2025秋•广信区校级期末）已知有理数|a|＝a，|b|＝﹣b，请比较两数的大小：a　≥　 b． 【分析】根据绝对值的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为|a|＝a， 所以a≥0． 又因为|b|＝﹣b， 所以b≤0， 所以a≥b． 故答案为：≥． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较及绝对值，熟知绝对值的性质是解题的关键． 39．（2025•重庆校级开学）三个不同自然数a、b、c，2a+b+c＝11，则a、b、c三个数中最小的数最大等于　2　 ． 【分析】先理解题意，得a+a+b+c＝11，为了让最小的数最大，我们假设这四个数尽可能接近，则我们尝试让这四个数都接近2或者3，再进行分类讨论，即a＝2或a＝3，结合a、b、c是不同自然数以及问题进行分析，即可作答． 【解答】解：因为三个不同自然数a、b、c，2a+b+c＝11， 所以a+a+b+c＝11， 为了让最小的数最大，我们假设这四个数尽可能接近， 则11÷4＝2.75， 所以我们尝试让这四个数都接近2或者3， 假设a＝2， 那么2a＝4， 此时b+c＝7， 因为a、b、c是不同的自然数， 所以我们要找两个不同的自然数b、c，使得它们的和为7，并且都大于a＝2（这样才能保证a是最小的）， 取b＝3，c＝4，此时3+4＝7，满足b+c＝7且a＝2，b＝3，c＝4都是不同的自然数，也满足a是最小的数； 假设a＝3， 那么2a＝2×3＝6， 此时b+c＝5， 因为a＝3， 所以6、c至少要比3大（因为是不同的自然数）， 那么b最小是4，c最小是5， 4+5﹣9＞5， 不满足b+c＝5， 所以a不能等于3． 综上所述：a、b、c三个数中最小的数最大等于2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了整数的运算，关键是我们尝试让这四个数都接近2或者3． 40．（2025秋•南通校级月考）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是﹣3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 　4　 ； （2）若数轴上点C与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数是 　2或6　 ； （3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来． ，﹣|﹣5|，22，﹣（﹣2.5）． 　﹣|﹣5|　 ＜　　 ＜　﹣（﹣2.5）　 ＜　22 ． 【分析】（1）根据点A表示﹣3即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可． 【解答】解：（1）如图，O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为4﹣2＝2或4+2＝6． 故答案为：2或6； （3）﹣|﹣5|＝﹣5，22＝4，﹣（﹣2.5）＝2.5， 在数轴上表示，如图所示： 故﹣|﹣5|（﹣2.5）＜22． 故答案为：﹣|﹣5|，，﹣（﹣2.5），22． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． 41．（2025秋•长沙期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空： a﹣c　＜　 0，c﹣b　＞　 0，a+b　＜　 0． （2）化简：|a﹣c|+|c﹣b|+|a+b|． 【分析】（1）由图可得，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|，即可比较大小； （2）结合（1）去绝对值，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可得，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|， ∴a﹣c＜0，c﹣b＞0，a+b＜0； 故答案为：＜，＞，＜； （2）|a﹣c|+|c﹣b|+|a+b| ＝c﹣a+c﹣b﹣a﹣b ＝﹣2a﹣2b+2c． 【点评】本题考查有理数大小比较，绝对值，解题的关键是数形结合思想的应用． 【创新及压轴题】（第44-46题） · 数轴与绝对值综合 · 分类讨论思想 · 数形结合找规律 · 多条件综合分析 42．（2025秋•鲁山县校级月考）数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．小亮在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示　2　 的点重合． （2）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣3的点重合，则表示3的点与表示　﹣5　 的点重合；假如A，B两点经过此次折叠后重合，且数轴上A，B两点之间的距离为5（点A在点B的左侧），则A，B两点表示的数分别是　﹣3.5，1.5　 ． （3）在数轴上剪下从﹣6到2，长度是8个单位长度的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数是　﹣1或﹣2或﹣3　 ． 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，则可以得出﹣2与2重合； （2）1表示的点与﹣3表示的点重合，根据对称性找到折痕的点为﹣1，设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；因为AB＝7，所以A到折痕的点距离为3.5，由此得出A、B两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：分别画出对应的图形，①当AB：BC：CD＝1：1：2时所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝8a＝2，得出AB、BC、CD的值计算折痕处对应的点所表示的数的值，当AB：BC：CD＝1：2：1时，当AB：BC：CD＝2：1：1时，同理可得出折痕处对应的点所表示的数的值． 【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合， ∴由对称性找到折痕的点为原点O， 则﹣2与2重合， 故答案为：2； （2）∵1表示的点与﹣3表示的点重合， ∴根据对称性找到折痕的点为﹣1， 设3表示的点与数a表示的点重合， ∴3+a＝2×（﹣1）， 解得：a＝﹣5， ∵AB＝5， ∴A到折痕的点：﹣1距离为2.5， ∵A在B的左侧， ∴A表示的数：﹣1﹣2.5＝﹣3.5， B表示的数：﹣1+2.5＝1.5， 故答案为：﹣5；﹣3.5；1.5； （3）如图：①当AB：BC：CD＝1：1：2时， 设AB＝a，BC＝a，CD＝2a， ∵AB+BC+CD＝8， ∴a+a+2a＝8， 解得：a＝2， ∴AB＝2，BC＝2，CD＝4， ∴折痕处所表示的数为：﹣6+2+1＝﹣3； ②当AB：BC：CD＝1：2：1时， 设AB＝a，BC＝2a，CD＝a， ∵AB+BC+CD＝8， ∴a+2a+a＝8， 解得：a＝2， ∴AB＝2，BC＝4，CD＝2； ∴折痕处所表示的数为：﹣6+2+2＝﹣2； ③当AB：BC：CD＝2：1：1时， 设AB＝2a，BC＝a，CD＝a， ∵AB+BC+CD＝8， ∴a+a+2a＝8， 解得：a＝2， ∴AB＝4，BC＝2，CD＝2； ∴折痕处所表示的数为：﹣6+4+1＝﹣1； 综上所述：折痕处所表示的数可能为：﹣1或﹣2或﹣3， 故答案为：﹣1或﹣2或﹣3． 【点评】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点坐标差的绝对值，本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． 43．（2023秋•市中区月考）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，AB＜BC，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，a+b＜0． （1）原点在第 　②　 部分（填序号）． （2）比较：﹣a、b、﹣c的大小． （3）若（a+1）2+|c﹣4|＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数． 【分析】（1）由ab＜0且a＜b得出a＜0，b＞0，从而得出原点的位置； （2）先判断﹣a、﹣c的大小，即可得出大小关系； （3）根据非负数的性质求出a、c的值，再根据数轴上两点之间的距离公式计算，即可得出b的值． 【解答】解：（1）ab＜0， ∴a、b异号， 由数轴可知a＜b， ∴а＜0，b＞0， ∴原点在第②部分， 故答案为：②． （2）∵a+b＜0，a＜0，b＞0， ∴|a|＞|b|， ∴﹣a＞b， ∵b＞0，c＞b， ∴﹣c＜0， ∴﹣c＜b＜﹣a． （3）由题可知，（а+1）2+|c﹣4|＝0， 又∵（a+1）2≥0，|c﹣4|≥0， ∴a+1＝0，c﹣4＝0， ∴a＝﹣1，c＝4， ∵BC＝2AB， ∴4﹣b＝2[b﹣（﹣1）]， 解得：b， 即点B表示的数为． 【点评】本题考查了数轴、非负数的性质和数轴上两点之间的距离公式，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 44．（2025秋•哈尔滨期末）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为|m﹣n|． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与﹣4的两点之间的距离为 　7　 ； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若|x﹣1|＝2，则x＝　3或﹣1　 ； ②若|x+3|＝|x﹣5|，则x＝　1　 ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①|a﹣b|+|b﹣c|＝　6　 ； ②若|b﹣2a|＝4，则点C表示的数为 　4或12　 ； ③若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段AC上，当|p﹣a|+|p﹣c|＝8且|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|最小时，P、Q两点之间的距离为 　3或5　 ． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； ②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，c＞b＞a，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，b﹣a＝2，结合|b﹣2a|＝4，求得a＝﹣2或a＝6，据此求解即可； ③分情况讨论，求得q＝b，p＝a﹣1或p＝a+7，据此求解即可． 【解答】解：（1）数轴上表示3与﹣4的两点之间的距离为|3﹣（﹣4）|＝7， 故答案为：7； （2）①若|x﹣1|＝2，则x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得x＝3或x＝﹣1， 故答案为：3或﹣1； ②若|x+3|＝|x﹣5|，则x+3＝x﹣5（舍去）或x+3＝5﹣x， 解得x＝1， 故答案为：1； （3）①由数轴知，c＞b＞a， ∴a﹣b＜0，b﹣c＜0， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a＝6； 故答案为：6； ②由数轴知，b﹣a＝2，即b＝2+a， 结合|b﹣2a|＝4，即|2+a﹣2a|＝4， ∴|2﹣a|＝4， ∴2﹣a＝4或2﹣a＝﹣4， 解得a＝﹣2或a＝6； 根据数轴知，c﹣a＝6， ∴点C表示的数为4或12； 故答案为：4或12； ③由题意可知，点Q在线段AC上， 可得a≤q≤c，则q﹣a≥0，q﹣c≤0， ∴|q﹣a|＝q﹣a，|q﹣c|＝c﹣q， 当a≤q≤b时，|q﹣b|≤0， ∴|q﹣b|＝b﹣q， 故|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|＝q﹣a+b﹣q+c﹣q＝c﹣a+b﹣q＝6+b﹣q， 当b＜q≤c时，|q﹣b|＞0， 则|q﹣b|＞q﹣b， 故|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|＝q﹣a+q﹣b+c﹣q＝c﹣a﹣b＝q＝6+q﹣b， ∵|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|最小， 故q＝b时，取值最小； 当p≤a时，p﹣a≤0，p﹣c＜0， ∴|p﹣a|+|p﹣c|＝a﹣p+c﹣p＝a+c﹣2p＝2a+6﹣2p＝8，即a﹣p＝1； 当a＜p＜c时，p﹣a＞0，p﹣c＜0， ∴|p﹣a|+|p﹣c|＝p﹣a+c﹣p＝c﹣a＝8（不成立，舍去）； 当p≥c时，p﹣a＞0，p﹣c≥0， ∴|p﹣a|+|p﹣c|＝p﹣a+p﹣c＝2p﹣a﹣c＝2p﹣2a﹣6＝8，即p﹣a＝7， 综上，q＝b，p＝a﹣1或p＝a+7， 当p＝a﹣1时，P、Q两点之间的距离为|b﹣（a﹣1）|＝|b﹣a+1|＝|2+1|＝3； 当p＝a+7时，P、Q两点之间的距离为|b﹣（a+7）|＝|b﹣a﹣7|＝|2﹣7|＝5； ∴P、Q两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 📝 随堂检测 【练习 1】一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则A6＝ 　　 ． 【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解． 【解答】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处， 第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处， …， 则跳动n次后，即跳到了离原点的处； 则第6次跳动后，A6， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴，有理数乘方的应用，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•营山县期末）若|x|＝4，则x的值为　±4　 ． 【分析】根据绝对值的定义求解即可． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝4， ∴x＝±4， 故答案为：±4． 【点评】该题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 【练习 3】（2025秋•杭州期中）出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的，如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣4，+6（单位：千米：每次行车都有乘客），请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ 【分析】（1）将所有数据直接相加，如果和为正则在出发地东方，否则在西方，据此判断距离即可；（2）将所有数据取绝对值后相加后乘以油耗再乘以油的单价即可． 【解答】解：（1）根据已知可得：﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2﹣4+6＝9（km）， ∵9＞0， ∴在出发点东9km处， 故小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地东方，距下午出车的出发地9km处； （2）共耗油：（2+5+1+10+3+2+4+6）×0.3＝33×0.3＝9.9（L）， ∵每升汽油6元， ∴共需要油费：9.9×6＝59.4（元）， 【点评】本题考查正数与负数的意义以及应用，理解题意是关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 正负数表示相反意义的量，0是分界点 · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 · 相反数：只有符号不同，0的相反数是0 · 绝对值是非负数，|a|≥0 · 比较大小：数轴上右边的数大，负数绝对值大的反而小 【作业 1】（2025秋•驻马店校级期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） ①abc＞0；②b﹣a＞0；③；④|a+b|﹣|b﹣c|+|a﹣c|＝﹣2c． A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【分析】根据数轴确定a、b、c的正负性和绝对值大小关系，逐项进行判断即可． 【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置可知，b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a| ∴abc＞0， 故①正确； ∵b是负数，a是正数， ∴b﹣a＜0， 故②错误； ∵b＜c＜0＜a， ∴， 故③正确； ∵a+b＜0， ∴|a+b|＝﹣a﹣b； ∵b﹣c＜0， ∴|b﹣c|＝c﹣b； ∵a﹣c＞0， ∴|a﹣c|＝a﹣c． 则|a+b|﹣|b﹣c|+|a﹣c|＝﹣a﹣b﹣（c﹣b）+a﹣c＝﹣2c， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：B． 【点评】本题主要考查数轴、有理数运算以及绝对值的性质，熟练掌握数轴上数的符号与绝对值的关系、绝对值的化简方法是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•南开区校级月考）下列说法：①﹣a＜0；②0不是整数；③有理数都可以用数轴上的点来表示；④任何有理数必定等于或小于它的绝对值；⑤相反数大于它本身的数一定是负数；⑥绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征，有理数的相关概念及绝对值和相反数的定义，对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：因为a＜0时，﹣a＞0， 所以①错误； 因为0是整数， 所以②错误； 因为有理数都可以用数轴上的点来表示， 所以③正确； 因为任何有理数必定等于或小于它的绝对值， 所以④正确； 因为相反数大于它本身的数一定是负数， 所以⑤正确； 因为绝对值等于它本身的数一定是非负数， 所以⑥错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴、正数和负数、有理数、相反数及绝对值，熟知数轴上的点所表示数的特征，有理数的相关概念及绝对值和相反数的定义是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•普陀区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①绝对值越大的数越大； ②非负数是零和正数的统称； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向南前进了15m； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有6个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据正数和负数，数轴及绝对值的定义，判断各个选项即可得出答案． 【解答】解：①绝对值越大的数不一定越大，不符合题意； ②非负数是零和正数的统称，符合题意； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向西前进了15m，不符合题意； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有无数个，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，数轴及绝对值的知识，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握． 【作业 4】（2025秋•黄岩区期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣6和6，以点C为折点，将此数轴向右对折，使得点A落在射线CB上，此时若AB＝4，则C点表示的数是　﹣2或2　 ． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：设点C表示的数是x， ∵AB＝4，A和B表示的数分别是﹣6和6， ∴6﹣（﹣6）﹣4＝8，8÷2＝4，﹣6+4＝﹣2， ∴点B表示的数是﹣2； 或6﹣（﹣6）+4＝16，16÷2＝8，﹣6+8＝2， ∴点B表示的数是2． 故答案为：﹣2或2． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【作业 5】（2025秋•青浦区校级期中）已知a，b，c是非零有理数，且1，则的值为　﹣1或3　 ． 【分析】根据绝对值的意义以及题中条件，进行分情况讨论即可． 【解答】解：①已知a，b，c是非零的有理数， ∵当1时，则abc＜0，分两种情况： 情况1：a、b、c中有1个负数，2个正数 假如a＜0，b＞0，c＞0（其他负数情况结果一致），1+（﹣1）+1＝﹣1； 情况2：a、b、c中3个都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0，1+1+1＝3． 故答案为：﹣1或3． 【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，熟知绝对值的意义是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•郑州期末）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 　﹣11b﹣3a+7　 ． 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵a＞0、b＜0， ∴|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b| ＝6﹣5b+[﹣（8b﹣1）]﹣（3a﹣2b） ＝6﹣5b﹣8b+1﹣3a+2b ＝﹣11b﹣3a+7， 故答案为：﹣11b﹣3a+7． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【作业 7】（2025秋•英德市期中）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． （2）用a，b表示A，B两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是　3　 ，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是　9　 ； （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是　|a﹣b|　 ； 【解决问题】 （3）|x﹣3|的含义是数轴上表示数x与　3　 的两点之间的距离，|x+4|的含义是数轴上表示数x与　﹣4　 的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示﹣4和3两数的位置，当表示数x的点在﹣4与3之间移动时，可以发现|x+4|+|x﹣3|的值总是一个固定的值，这个值是　7　 ； （5）若动点P，Q分别从﹣4和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒（t＞0）．点P表示的数为　﹣4﹣t ，点Q表示的数为　3﹣2t ． 【分析】（1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识和绝对值的定义解答； （3）利用数轴知识和绝对值的定义解答； （4）利用数轴知识和绝对值的定义解答； （5）利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：（1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是3，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是9； 故答案为：3，9； （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是|a﹣b|； 故答案为：|a﹣b|； （3）|x﹣3|的含义是数轴上表示数x与3的两点之间的距离，|x+4|的含义是数轴上表示数x与﹣4的两点之间的距离； 故答案为：3，﹣4； （4）， |x+4|+|x﹣3|的值总是一个固定的值，这个值是7； 故答案为：7； （5）点P表示的数为﹣4﹣t，点Q表示的数为3﹣2t． 故答案为：﹣4﹣t，3﹣2t． 【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 【作业 8】（2024秋•镇平县期中）为积极响应环境保护的号召，某运输公司购置了一批新能源汽车，其中编号为A01的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：km）（以30km为标准，多于30km记为正，低于30km记为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 +8 ﹣10 +16 +6 ﹣9 ﹣3 +2 （1）这七天中，路程最多的一天行驶了 　46　 km，行驶最多的一天的路程比最少的一天多 　26　 km； （2）已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.5元，求该新能源汽车这7天的充电总费用． 【分析】（1）（2）利用正数和负数的意义，有理数的混合运算法则计算解答． 【解答】解：（1）30+16＝46（km），16﹣（﹣10）＝26（km）， 故答案为：46，26； （2）[30×7+（8﹣10+16+6﹣9﹣3+2）]×0.2×0.5 ＝（210+10）×0.1 ＝220×0.1 ＝22（元）． 答：该新能源汽车这7天的充电总费用22元． 【点评】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算法则． 【作业 9】（2026秋•单元）已知|x|＜π（x是整数），求x的值，并在数轴上表示求得的数． 【分析】先明确|x|的含义是x的绝对值，π≈3.14，根据|x|＜π且x是整数，找出满足条件的整数x，再在数轴上表示． 【解答】解：由条件可知|x|＜3.14， ∴﹣3.14＜x＜3.14， 又∵x是整数， ∴x的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3， 在数轴上表示﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3如图所示， 【点评】本题主要考查了绝对值的概念、不等式的整数解以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的意义和整数的范围确定方法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 有理数的引入 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数、负数的意义，能用正负数表示相反意义的量 · 掌握数轴的三要素，能在数轴上表示有理数 · 理解相反数的概念，会求一个数的相反数 · 理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值 · 能利用数轴比较有理数的大小 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 大于0的数是正数，在正数前加负号“−”的数是负数 0既不是正数也不是负数 正负数可以表示具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降） 有理数按符号分为正有理数、0、负有理数 概念辨析例题：若收入100元记作+100，则支出50元记作什么 解析：收入与支出是相反意义的量，支出用负数表示 ☆ 2.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴上原点右边的数大于0，左边的数小于0 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 数轴上右边的数总比左边的数大 概念辨析例题：在数轴上表示−3和2的点，哪个在右边 解析：数轴上右边的数总比左边的大，2＞−3 ☆ 3.相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 0的相反数是0 a的相反数是−a 互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离相等 概念辨析例题：求−5的相反数 解析：只有符号不同，−5的相反数是5 ☆ 4.绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a| 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 绝对值是非负数，即|a|≥0 概念辨析例题：求|−3|和|4| 解析：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身 📋 知识总结表 概念 定义/规定 注意事项 正负数 大于0为正，加“−”为负 0既非正也非负 数轴 原点+正方向+单位长度 右边的数总比左边大 相反数 只有符号不同 0的相反数是0 绝对值 到原点的距离 |a|≥0恒成立 大小比较 数轴右大左小 负数<0<正数 应用 表示相反意义的量 距离用绝对值 ⚠️ 核心考点 【考点1】正数与负数（第1-5题） · 正数大于0，负数小于0 · 0既不是正数也不是负数 · 正负数表示相反意义的量 · 注意省略“+”号的正数 1．（2026•深圳一模）“数字人民币”应用场景范围逐步扩大，若转入6元记作+6元，那么转出7元记作（　　） A．﹣7元 B．+7元 C．元 D．±7元 2．（2024秋•仙游县期中）老师在评卷时，如果把得4分记为4分，那么扣3分记为（　　） A．﹣3分 B．+3分 C．﹣1分 D．+1分 3．（2025秋•富平县校级期末）在1，﹣40%，0，﹣3，，，2025，0.6中，非负数有（　　）个． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（2025秋•虹口区期末）小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下面的表记录下她的体重变化情况，已知她6月1日的体重是40.2kg，那么她12月1日的体重是_________ kg． 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 ﹣1.2kg +1.3kg +2.0kg ﹣1.5kg ﹣1.5kg +0.8kg 5．（2025秋•开福区校级月考）写出一个有理数，使这个数的绝对值等于它的相反数：_______ ． 【考点2】数轴（第6-15题） · 数轴三要素缺一不可 · 原点位置确定后正方向向右 · 有理数与数轴上点一一对应 · 利用数轴比较大小 6．（2025秋•都江堰市期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＞|b| 7．（2025秋•鹤壁期末）如图，点A表示的数是1，若将点A向左移动4个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．4 8．（2026•建邺区二模）如图，a，b，a+b在数轴上的对应点分别是A，B，P，则a﹣b在数轴上的对应点位于（　　） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 9．（2025秋•东城区校级期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上5.2cm对应数轴上的数为（　　） A．5.2 B．﹣2.2 C．﹣4.8 D．﹣1.8 10．（2025秋•齐河县月考）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上A′处，且A′B：A′C＝2：3，则C点表示的数是_________ ． 11．（2024秋•句容市月考）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 _______ ． 12．（2026•江西模拟）如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线互相平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2，则点B在数轴上表示的数是_____ ． 13．（2024秋•江津区期末）为了有效遏制酒后驾车行为，区交警大队的一辆警车在城区的一条东西走向的路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，在某段时间内，这辆警车从出发点开始所走的路程为：+8，﹣12，+9，﹣5，+11，﹣8，﹣7，+10．（单位：千米） （1）巡逻结束时，这辆警车在出发点的哪个方向？距离出发点多远？ （2）如果这辆警车每千米耗油0.6升，出车时，油箱内有45.2升油，巡逻结束后，油箱中的油有无剩余，若有，剩余多少升？ 14．（2026•高碑店市模拟）数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是1﹣2x． （1）当x＝﹣2时，求线段AB的长； （2）若点A在点B的右侧，求符合要求的x的最小整数值． 【考点3】相反数（第16-20题） · 只有符号不同的两个数 · a的相反数是−a · 0的相反数是0 · 相反数成对出现 15．（2025秋•宁陵县期中）若m与3互为相反数，则m+3＝（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．6 16．（2026•肥西县二模）下列各数中，相反数等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2026 17．（2025秋•宜宾期末）﹣2025的相反数是 _________ ． 18．（2025秋•庄河市期末）如果2m与﹣m+1互为相反数，则m的值为_______ ． 19．（2024秋•龙川县校级月考）若a、b互为相反数，则2024+a+1+b＝_________ ． 【考点4】绝对值（第21-33题） · |a|表示到原点的距离 · 正数绝对值本身 · 负数绝对值是相反数 · 绝对值非负 20．（2026•镜湖区校级三模）化简﹣|﹣3|，正确的是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 21．（2025秋•鼓楼区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．0是最小的正数 B．﹣m一定比m小 C．互为相反数的两个数之和为0 D．绝对值等于它本身的数是负数 22．（2025秋•玄武区校级期末）如果|b|≤4，那么|b+4|+|b﹣4|的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 23．（2025秋•竞秀区期末）如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 24．（2025秋•鲤城区校级期末）若a、b为整数，且|a﹣3|+|a﹣b|＝1，则a+b的值可能的结果是（　　） A．4 B．4或5 C．4或5或7 D．4或5或7或8 25．（2025秋•越秀区期末）已知a•b≠0，则的值为____________ ． 26．（2025秋•思明区校级期中）设是一个四位数，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是_______ ． 27．（2025秋•青羊区校级期末）已知abc＞0，则的值为________ ． 28．（2025秋•岳塘区期末）若“*”表示一种新运算，它的意义是：a*b＝ab﹣（a+b），例1*2＝1×2﹣（1+2）＝﹣1，计算（﹣4）*3＝ ________ ． 29．（2025秋•长安区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助如图的数轴进行以下探索： 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____ ；表示﹣3和2两点之间的距离是_____ ．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|） （2）如果|x+1|＝3，那么x＝_________ ． （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_____ ，最小距离是_____ ． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 30．（2025秋•虎林市期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）填空：a_____ 0，a﹣b_____ 0（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）化简：|a|﹣2|a﹣b|+|b﹣a|． 31．（2025秋•无棣县期中）阅读下列材料并解决有关问题： 【材料﹣】我们知道|x|，现在我们可以用这一个结论来化简含x有绝对值的代数式， 如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1与2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； （2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； （3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 综上讨论，原式 【材料二】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出|x+2|和|x﹣4|的零点值； （2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|； （3）对于任意有理数x，|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【考点5】有理数大小比较（第34-43题） · 数轴右大左小 · 正数>0>负数 · 两个负数比绝对值大的反而小 · 先化简再比较 32．（2025秋•思明区校级期末）已知（a，b，c为正数），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 33．（2026•铁岭县模拟）2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1，﹣3，其中最低的气温是（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣3 34．（2025秋•岳阳楼区期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a2＜b2 C．|a﹣b|＝b﹣a D．a＜﹣a＜﹣b＜b 35．（2026•丛台区校级模拟）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 杭州 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．杭州 D．郑州 36．（2025秋•左权县期末）比较大小： _____ ．（填上“＞”、“＝”或“＜”） 37．（2025秋•常德校级期末）比较大小：_____ （填“＞”、“＜”或“＝”）． 38．（2025秋•广信区校级期末）已知有理数|a|＝a，|b|＝﹣b，请比较两数的大小：a_____ b． 39．（2025•重庆校级开学）三个不同自然数a、b、c，2a+b+c＝11，则a、b、c三个数中最小的数最大等于_____ ． 40．（2025秋•南通校级月考）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是﹣3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 _____ ； （2）若数轴上点C与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数是 ________ ； （3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来． ，﹣|﹣5|，22，﹣（﹣2.5）． __________ ＜____________________ ＜____________ ＜_______ ． 41．（2025秋•长沙期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空： a﹣c _____ 0，c﹣b _____ 0，a+b _____ 0． （2）化简：|a﹣c|+|c﹣b|+|a+b|． 【创新及压轴题】（第44-46题） · 数轴与绝对值综合 · 分类讨论思想 · 数形结合找规律 · 多条件综合分析 42．（2025秋•鲁山县校级月考）数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．小亮在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示_____ 的点重合． （2）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣3的点重合，则表示3的点与表示_______ 的点重合；假如A，B两点经过此次折叠后重合，且数轴上A，B两点之间的距离为5（点A在点B的左侧），则A，B两点表示的数分别是_____________ ． （3）在数轴上剪下从﹣6到2，长度是8个单位长度的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数是_____________ ． 43．（2023秋•市中区月考）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，AB＜BC，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，a+b＜0． （1）原点在第 _____ 部分（填序号）． （2）比较：﹣a、b、﹣c的大小． （3）若（a+1）2+|c﹣4|＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数． 44．（2025秋•哈尔滨期末）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为|m﹣n|． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与﹣4的两点之间的距离为 _____ ； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若|x﹣1|＝2，则x＝_________ ； ②若|x+3|＝|x﹣5|，则x＝_____ ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①|a﹣b|+|b﹣c|＝_____ ； ②若|b﹣2a|＝4，则点C表示的数为 _________ ； ③若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段AC上，当|p﹣a|+|p﹣c|＝8且|q﹣a|+|q﹣b|+|q﹣c|最小时，P、Q两点之间的距离为 ________ ． 📝 随堂检测 【练习 1】一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则A6＝ ___________________ ． 【练习 2】（2025秋•营山县期末）若|x|＝4，则x的值为_______ ． 【练习 3】（2025秋•杭州期中）出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的，如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣4，+6（单位：千米：每次行车都有乘客），请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ 💯 课后巩固 复习建议 · 正负数表示相反意义的量，0是分界点 · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 · 相反数：只有符号不同，0的相反数是0 · 绝对值是非负数，|a|≥0 · 比较大小：数轴上右边的数大，负数绝对值大的反而小 【作业 1】（2025秋•驻马店校级期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） ①abc＞0；②b﹣a＞0；③；④|a+b|﹣|b﹣c|+|a﹣c|＝﹣2c． A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【作业 2】（2025秋•南开区校级月考）下列说法：①﹣a＜0；②0不是整数；③有理数都可以用数轴上的点来表示；④任何有理数必定等于或小于它的绝对值；⑤相反数大于它本身的数一定是负数；⑥绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业 3】（2025秋•普陀区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①绝对值越大的数越大； ②非负数是零和正数的统称； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向南前进了15m； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有6个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业 4】（2025秋•黄岩区期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣6和6，以点C为折点，将此数轴向右对折，使得点A落在射线CB上，此时若AB＝4，则C点表示的数是_________ ． 【作业 5】（2025秋•青浦区校级期中）已知a，b，c是非零有理数，且1，则的值为_________ ． 【作业 6】（2025秋•郑州期末）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 ______________ ． 【作业 7】（2025秋•英德市期中）【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． （2）用a，b表示A，B两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是_____ ，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是_____ ； （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是__________ ； 【解决问题】 （3）|x﹣3|的含义是数轴上表示数x与_____ 的两点之间的距离，|x+4|的含义是数轴上表示数x与_______ 的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示﹣4和3两数的位置，当表示数x的点在﹣4与3之间移动时，可以发现|x+4|+|x﹣3|的值总是一个固定的值，这个值是_____ ； （5）若动点P，Q分别从﹣4和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒（t＞0）．点P表示的数为_________ ，点Q表示的数为_________ ． 【作业 8】（2024秋•镇平县期中）为积极响应环境保护的号召，某运输公司购置了一批新能源汽车，其中编号为A01的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：km）（以30km为标准，多于30km记为正，低于30km记为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 +8 ﹣10 +16 +6 ﹣9 ﹣3 +2 （1）这七天中，路程最多的一天行驶了 _______ km，行驶最多的一天的路程比最少的一天多 _______ km； （2）已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.5元，求该新能源汽车这7天的充电总费用． 【作业 9】（2026秋•单元）已知|x|＜π（x是整数），求x的值，并在数轴上表示求得的数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $