2.5 有理数的乘法与除法 （知识梳理+达标检测）《典例全解·题型通关》 -2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘，0乘任何数得0）、法则推广（奇负偶正，有0则积为0）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、倒数（乘积为1）、除法法则（除以数等于乘倒数，同号得正异号得负，0除以非0得0）及乘除混合运算（从左到右，转化为乘法），构建从基础法则到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于知识梳理逻辑清晰且层层递进，达标检测融入《九章算术》行程问题、公交站点位置计算等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过运算规律题和实际应用题提升运算能力与推理意识，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.5 有理数的乘法与除法（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数乘法法则 1、有理数乘法法则。 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 0与任何数相乘都得0。 知识点二有理数乘法法则的推广 1、几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正，简记“奇负偶正”。 2、几个数相乘，若有一个因数为0，则积为0；同样，若积为0，则至少有一个因数为0。 知识点三有理数的乘法运算律 1、乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 乘法结合律：有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 乘法分配律：有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 知识点四倒数 1、倒数：一般地，如果a×b=1，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。2、求一个数的倒数的方法。 知识点五有理数除法法则 1、有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2、有理数除法法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点六有理数的乘除混合运算 1、有理数的乘除混合运算顺序：按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的。 2、有理数的乘除混合运算。 进行有理数的乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果，将除法转化为乘法后，可利用乘法的运算律简化运算。 一、选择题 1．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 2．若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，有理数乘法运算，绝对值意义，由和得，即a和c异号；结合，推出；由和得；最终得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴，即a和c异号， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，假定两者步长相等，据此回答以下问题：“今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？以下答案中，正确的是（   ） A．走路快的人在前面，两人相隔400步 B．走路慢的人在前面，两人相隔300步 C．走路快的人在前面，两人相隔300步 D．走路慢的人在前面，两人相隔400步 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是正确理解题意． 根据同样时间段内走路快者与慢者的步数比，计算慢者再走600步所需时间，进而求快者在此时间内的步数，比较两者总步数差． 【详解】解：∵走路慢者速度为60步/单位时间， ∴再走600步所需时间单位时间. 在此时间内，走路快者走步， 走路慢者先走100步，再走600步，共700步， ∴，快者在前面，相隔步， 故选：C． 4．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先根据数轴判断数的大小关系，再判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴； 综上，只有④正确，共1个． 5．观察规律并计算：（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字规律，观察算式可得，，，⋯⋯，再相加即可得出结论． 【详解】解：由算式可得： ， ， ， ⋯⋯， ， 所以， ． 故选：C． 6．已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 二、填空题 7．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道题得5分，做错一道题扣2分，结果刘畅同学考了72分，他做对了________道题． 【答案】16 【分析】先假设20道题全部做对，计算出假设总得分，求出实际得分与假设得分的差，再得出做错一道题比做对一道题少得的分数，用总分数差除以做错一道少得的分数，得到做错的题数，最后计算得到做对的题数． 【详解】解：假设20道题全做对，则总分为（分）， 实际比假设少得的分数为（分）， 做错一道题比做对一道题少得的分数为（分）， 做错的题数为（道）， 做对的题数为（道）． 8．计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地到达乙地．汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高，那么还要______小时才能到达． 【答案】 【分析】先求出原计划行驶速度，再求出行驶1小时后剩余的路程，接着计算提速后的速度，最后求出剩余路程所需的时间． 【详解】解：由题意得，原计划速度为（千米/时）， 汽车开出1小时后，剩余路程为 （千米）， 速度提高后，新速度为（千米/时）， 因此剩余路程所需时间为（小时）． 10．如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【详解】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 11．规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，…，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据运算符号“”的定义，将分式化简后，利用有理数的乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 12．监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 【答案】100.1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据每袋超出或不足标准质量的数值以及对应的袋数，分别计算出超出或不足的总质量，进而计算10袋食品的总质量，再求平均质量，即可解题． 【详解】解：标准总质量为（g）， 超出部分总和为（g）， 总质量为（g）， 平均质量为（g/袋）， 故答案为：100.1． 三、解答题 13．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 14．规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： （1）求的值； （2）与的值相等吗？请计算说明． 【答案】（1）23 （2）与的值不相等．说明见解析 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； （2）解∶ 与的值不相等 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 15．大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． （1）计算说明最终车辆停在哪一站； （2）相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 【答案】（1）最终停在老虎滩站 （2）公交车全程行驶的总路程为 【分析】（1）将题干中的数据相加后判断即可； （2）将题干中的数据的绝对值相加，然后乘以即可． 【详解】（1）解：， 答：最终停在老虎滩站； （2）解：行驶的总站数为 ∴总路程为． 16．某快递中转站12月第一周平均每天收到快递1200件，12月第二周每天收到快递件数与12月第一周平均每天收到的快递件数相比，增加记作“”，减少记作“”，12月第二周收件情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 件数 （1）该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为___________，收件最少的一天收到快递件数为___________． （2）求该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数． 【答案】（1）1236，1162 （2）该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数为件． 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）利用正负数的实际应用及加减法分别求出第二周每天收到快递的件数，比较即可解答； （2）由（1）知第二周每天收到快递的件数，再根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：第二周周一收到快递的件数为（件）， 第二周周二收到快递的件数为（件）， 第二周周三收到快递的件数为（件）， 第二周周四收到快递的件数为（件）， 第二周周五收到快递的件数为（件）， 第二周周六收到快递的件数为（件）， 第二周周日收到快递的件数为（件）， ， 该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为件，收件最少的一天收到快递件数为件， 故答案为：，； （2）解：由（1）知第二周每天收到快递的件数， 则 （件） 答：该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数为件． 17．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． （1）把这四个数用“”连接起来： ； （2）用“”或“”填空： 0， 0； （3）若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 【答案】（1） （2）； （3） 【分析】（1）利用数轴比较大小即可解答； （2）由数轴可得，，且，再利用有理数的加法、减法法则即可解答； （3）由数轴可知，，从而确定a、b的值，再根据相反数和倒数的定义得出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，，， ∴，， 故答案为：；； （3）解：由数轴得，，， 又∵，， ∴，， ∵c、d互为相反数，m、n互为倒数， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、相反数、倒数，有理数的大小比较，有理数的加法和减法，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 18．某粮库一周前存有粮食200吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 （1）若运进的粮食装卸费为元/吨，运出的粮食装卸费为元/吨，则这一周要付的装卸费一共是多少钱？ （2）若每周平均进出的粮食数量大致相同，则再过几周粮库储存的粮食会降低到100吨？ 【答案】（1）元 （2）再过周粮库储存的粮食会降低到吨 【分析】（1）根据 “运进的粮食装卸费运出的粮食装卸费这一周要付的装卸费”列式化简即可； （2）先求出进出记录的和，判断增减，再列式计算即可． 【详解】（1）解： ； 答：这一周要付的装卸费一共是元钱． （2）解： （吨）， ∵结果为负, ∴每周粮库中的粮食都会减少10吨， ∴（周）， 综上所述，再过9周会降低到100吨． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.5 有理数的乘法与除法（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数乘法法则 1、有理数乘法法则。 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 0与任何数相乘都得0。 知识点二有理数乘法法则的推广 1、几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正，简记“奇负偶正”。 2、几个数相乘，若有一个因数为0，则积为0；同样，若积为0，则至少有一个因数为0。 知识点三有理数的乘法运算律 1、乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 乘法结合律：有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 乘法分配律：有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 知识点四倒数 1、倒数：一般地，如果a×b=1，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。2、求一个数的倒数的方法。 知识点五有理数除法法则 1、有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2、有理数除法法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点六有理数的乘除混合运算 1、有理数的乘除混合运算顺序：按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的。 2、有理数的乘除混合运算。 进行有理数的乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果，将除法转化为乘法后，可利用乘法的运算律简化运算。 一、选择题 1．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，假定两者步长相等，据此回答以下问题：“今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？以下答案中，正确的是（   ） A．走路快的人在前面，两人相隔400步 B．走路慢的人在前面，两人相隔300步 C．走路快的人在前面，两人相隔300步 D．走路慢的人在前面，两人相隔400步 4．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．观察规律并计算：（      ） A． B． C． D． 6．已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 二、填空题 7．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道题得5分，做错一道题扣2分，结果刘畅同学考了72分，他做对了________道题． 8．计算：_____． 9．甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地到达乙地．汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高，那么还要______小时才能到达． 10．如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 11．规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，…，则的值为______． 12．监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 三、解答题 13．计算： （1）； （2）． 14．规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： （1）求的值； （2）与的值相等吗？请计算说明． 15．大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． （1）计算说明最终车辆停在哪一站； （2）相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 16．某快递中转站12月第一周平均每天收到快递1200件，12月第二周每天收到快递件数与12月第一周平均每天收到的快递件数相比，增加记作“”，减少记作“”，12月第二周收件情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 件数 （1）该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为___________，收件最少的一天收到快递件数为___________． （2）求该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数． 17．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． （1）把这四个数用“”连接起来： ； （2）用“”或“”填空： 0， 0； （3）若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 18．某粮库一周前存有粮食200吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 （1）若运进的粮食装卸费为元/吨，运出的粮食装卸费为元/吨，则这一周要付的装卸费一共是多少钱？ （2）若每周平均进出的粮食数量大致相同，则再过几周粮库储存的粮食会降低到100吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $