第5讲 分式方程 优等生讲义 (知识梳理＋典例＋压轴＋练习) 2026−2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册

第5讲 分式方程 (知识梳理＋典例＋压轴＋练习) 2026−2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式方程的概念，能识别分式方程 · 掌握去分母解分式方程的一般步骤，会检验增根 · 能从实际问题中抽象出分式方程并求解 · 掌握分式方程的应用：工程、行程、购物、分配等问题 · 能处理含字母参数的分式方程与增根问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 整式方程与分式方程的区别：分母是否含未知数 分式方程的解也叫根 解分式方程的核心思路：去分母化为整式方程 概念辨析例题：下列方程中是分式方程的是（　） 解析：判断标准：分母中是否含有未知数，如=2是分式方程 ☆ 2.解分式方程的一般步骤 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 解整式方程（去括号、移项、合并同类项、系数化1） 检验：把整式方程的根代入最简公分母 最简公分母不为0的根才是原分式方程的根 概念辨析例题：解方程= 解析：两边乘x(x-2)得x=3(x-2)，x=3；检验x(x-2)=3≠0，故x=3是根 ☆ 3.增根 去分母后产生的、使最简公分母为0的根叫做增根 增根不是原分式方程的根，必须舍去 分式方程必须检验，这是与整式方程的重要区别 已知增根求参数：把增根代入去分母后的整式方程 概念辨析例题：若关于x的方程+1=0有增根，求m 解析：增根为x=1，去分母得m+(x-1)=0，代入x=1得m=0 ☆ 4.列分式方程解应用题 审题：找等量关系，设未知数 列方程：根据等量关系列出分式方程 解：按解分式方程步骤求解 双检验：检验是否为方程的根+是否符合实际意义 概念辨析例题：A型机器人比B型每小时多搬30kg，A型搬900kg与B型搬600kg时间相等，求B型速度 解析：设B型每小时x kg，列=，解得x=60 📋 知识总结表 要点 方法 注意事项 分式方程 分母含未知数 与整式方程区分 去分母 两边乘最简公分母 不要漏乘不含分母的项 解整式方程 去括号移项合并 按一元一次方程步骤 检验 代入最简公分母 分母为0即增根舍去 增根 使公分母为0 已知增根反求参数 应用题 设元列方程 双检验（根+实际意义） ⚠️ 核心考点 【考点1】解分式方程（第1-8题） · 去分母找对最简公分母 · 去括号注意符号变化 · 解完必须检验 · 增根舍去并说明 1．（2026秋•沧县校级月考）解分式方程，去分母后正确的整式方程是（　　） A．2x＝3（x﹣3） B．2x＝3x﹣3 C．2（x﹣3）＝3x D．2x＝3 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：两边同乘以x（x﹣3）得：2x＝3（x﹣3）． 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•阿荣旗期末）分式方程的解是（　　） A．0 B．2 C．3 D．无解 【分析】根据解分式方程的步骤求解即可． 【解答】解：方程两边同乘以x﹣3，得x＝2（x﹣3）+3， 解得x＝3， 经检验，x＝3不是原方程的解，原方程无解． 故选：D． 【点评】本题考查解分式方程，掌握知识点是解题的关键． 3．（2025秋•隆回县期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（　　） A．2（x﹣5）﹣1＝4（x﹣6） B．2（x﹣5）﹣1＝2 C．2（x﹣5）+1＝4（x﹣6） D．2（x﹣5）+1＝2 【分析】方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【解答】解：原方程可改写为：， 确定最简公分母为2（x﹣6），两边同乘2（x﹣6），得：2（x﹣5）+1＝4（x﹣6）． 故答案选：C． 【点评】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母， 4．（2026•武威二模）关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为0，列不等式求解得到k的取值范围． 【解答】解：原方程可变形为， x+k﹣4k＝3（x﹣2）， x﹣3k＝3x﹣6， 2x＝6﹣3k， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为0， ∴， 解不等式得，k≤2， 解不等式得，， ∴k的取值范围是k≤2且． 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，掌握解分式方程的步骤是关键． 5．（2026春•郸城县月考）对于代数式m，n，定义运算“※”：，若，则2026 A﹣B＝　　 ． 【分析】先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【解答】解：先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值如下： ， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查分式的运算，分式的混合运算．熟练掌握以上知识点是关键． 6．（2026秋•铁西区月考）方程的解为　　 ． 【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2）（x+1），得3（x+1）＝x﹣2， 去括号，得3x+3＝x﹣2， 移项、合并同类项，得2x＝﹣5， 系数化为1，得， 检验：当时，（x﹣2）（x+1）≠0， ∴是原方程的解． 故答案为：． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 7．（2026秋•沧县校级月考）解下列分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）根据解分式方程的步骤解答即可； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）两边同乘以x（x+1），得4x＝3（x+1）， 去括号，得4x＝3x+3， 移项并合并同类项，得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x+1）＝12≠0， ∴x＝3是原方程的解； （2）两边同乘以（x﹣3）得：x+x﹣3＝3， 移项并合并同类项，得2x＝6， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣3＝0， ∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026秋•单元）解方程： （1）； （2）0； （3）1． 【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：x+4＝4， 解得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解； （2）去分母得：3x﹣x﹣2＝0， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，分式方程无解； （3）去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3， 解得：x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【考点2】实际问题抽象出的分式方程（第9-21题） · 找准等量关系设未知数 · 时间=总量÷效率/速度 · 数量=总价÷单价 · 分式方程双检验 9．（2026•兴庆区校级一模）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示　①　 ，解法二所列方程中的x表示　③　 ．（填序号） ①甲种商品每件进价x元 ②乙种商品每件进价x元 ③甲种商品购进x件 （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为　50　 元/件，乙种商品的进价为　30　 元/件． （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价﹣进价） 【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进（40﹣a）件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，再根据利润＝售价﹣进价得出函数解析式，再根据函数的性质求出最值． 【解答】解：（1）由甲商品数量＝乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元； 由甲商品进价﹣乙商品进价＝20，可得：20中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）， 去分母得：2000（x﹣20）＝1200x， 整理得：5x﹣100＝3x， 解得：x＝50， 经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意； ∴x﹣20＝50﹣20＝30， 故答案为：50，30； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进（40﹣a）件， ∵商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品， ∴50a+30（40﹣a）≤1420， ∴a≤11， 根据题意得：W＝（80﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝30a+600﹣15a＝15a+600， ∵15＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵a≤11， ∴当a＝11时，W最大，最大值为15×11+600＝765， ∴该商店获得最大的利润为765元． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 10．（2026春•西安期末）爱知中学为丰富同学们的大课间活动，准备为各班购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍．请列分式方程求出跳绳和实心球的单价． 【分析】设跳绳的单价为x元，则实心球的单价为（x+5）元，根据用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍建立方程求解即可． 【解答】解：设跳绳的单价为x元，根据题意可得： ， 解得x＝15， 经检验，x＝15符合题意， ∴x+5＝20． 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 11．（2026春•英德市期末）英德市是“中国红茶之乡”，某茶厂包装英红九号茶叶，A种机器每分钟比B种机器多包装10盒；A种机器包装300盒的时间与B种机器包装200盒的时间相同． 在计算A、B两种机器每分钟各包装多少盒时，嘉嘉和琪琪分别给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程； 琪琪：解：设B种机器每分钟包装y盒，则A种机器每分钟包装　（y+10）　 盒，列得方程　　 ． 请完成下列问题： （1）根据嘉嘉所列方程，x的实际意义是A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟；　 ； （2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路求出两种机器每分钟各包装多少盒． 【分析】（1）根据嘉嘉所列方程，x的实际意义是A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟； （2）设B种机器每分钟包装y盒，则A机器每分钟包装（y+10）盒，由题意得，然后解方程并检验即可． 【解答】解：（1）x的实际意义是A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟， 故答案为：A种机器包装300盒用时x分钟或B种机器包装200盒用时x分钟； （2）设B种机器每分钟包装y盒，则A机器每分钟包装（y+10）盒，根据题意可得： ， 解得：y＝20， 经检验：y＝20是原分式方程的解，且符合实际， y+10＝20+10＝30， 故答案为：（y+10），． 【点评】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 12．（2026•卫东区校级模拟）近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30；乙：． 则甲所列方程中的x表示B型玩具的单价　 ，乙所列方程中的x表示　用520元购进A型玩具的数量　 ； （2）从甲，乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个？ 【分析】（1）根据所列方程即可判断出x的意义； （2）任意选择一种方法解答即可； （3）设可购进A型玩具a个，则8a+5（200﹣a）≤1350，解不等式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示用520元购进A型玩具的数量； 故答案为：B型玩具的单价；用520元购进A型玩具的数量； （2）甲：， 解得x＝5， 经检验，x＝5是原方程的解， 5×1.6＝8（元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； 乙：， 解得x＝65， 经检验，x＝65是原方程的解， （元）， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； （3）设可购进A型玩具a个，根据题意得： 8a+5（200﹣a）≤1350， 解得， ∴整数a最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，熟练掌握解分式方程是关键． 13．（2025秋•商丘期末）《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 寒假前夕，某中学购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务．通过调研，学校准备购买商丘市市花月季和河南省省花腊梅来装点校园． 素材一 采购小组到市场上了解到每盆月季比每盆腊梅便宜3元，用600元购买的腊梅数量为用240元购买的月季数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①　月季　 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买月季的数量为y盆，由题意得方程：②　　 ． 任务二 请选择任务一中的任一方程，求出两种花卉的单价； 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（7﹣m）盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务三 求m的值． （1）任务一中横线①处应填　月季　 ，横线②处应填　　 ； （2）完成任务二的任务； （3）列出关于m的方程，并完成任务三，求出m的值． 【分析】（1）由题意，可知：用600元购买的腊梅数量为，根据每盆月季比每盆腊梅便宜3元，可得①处的答案；小组成员乙设购买月季的数量为y盆，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案； （2）根据两小组所列的方程，解方程即可； （3）根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）依题意，表示用600元购买的腊梅数量为用240元购买的月季数量的2倍． ∴小组成员甲设的是月季的单价为x元； ∴①处填：月季； 小组成员乙设购买月季的数量为y盆，由题意得方程： ； ∴②处填：， 故答案为：①月季，②； （2）解方程， 解得x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解且符合题意， 则x+3＝15， 答：购买月季的单价为12元，腊梅的单价为15元； 解方程， 解得y＝20， 经检验，y＝20是原方程的解且符合题意， 则（元），（元）， 答：购买月季的单价为12元，腊梅的单价为15元； （3）由题意得：， 解得：m＝5， 经检验m＝5，是原方程的根且符合题意， ∴m＝5． 【点评】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： 14．（2026春•亭湖区校级期中）阅读下列素材，完成任务． 问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在WSBK葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年•致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设． 素材一 已知一个B款机车模型比一个A款机车模型价格贵10元． 素材二 学校用2500元购进A款机车模型的数量是用1500元购进B款机车模型数量的2倍． 任务1 甲同学：设①_____的单价为x元，由题意得方程：； 乙同学：设购买B款机车模型y辆，由题意得方程：②______． 任务2 求A、B两款机车模型的单价． （1）任务1中横线①处应填A款机车模型　 ，横线②处应填　　 ； （2）请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价． 【分析】（1）①根据“一个B款机车模型比一个A款机车模型价格贵10元”，结合方程即可得到①为A款机车模型的单价为x元；②设购买B款机车模型y辆，根据“一个B款机车模型比一个A款机车模型价格贵10元”建立方程即可； （2）根据所列方程，解分式方程，并且检验即可． 【解答】解：（1）甲同学：设A款机车模型的单价为x元，由题意得方程：； 乙同学：设购买B款机车模型y辆，由题意得方程：， 故答案为：A款机车模型，； （2）甲同学：设A款机车模型的单价为x元， 由题意得方程：， 解得x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为50+10＝60（元）； 乙同学：设购买B款机车模型y辆， 由题意得方程：， 解得y＝25， 经检验，y＝25是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为（元），A款机车模型的单价为（元）， 答：A款机车模型的单价为50元，B款机车模型的单价为60元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 15．（2026•瑞安市开学）宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多220m，B机器人行走5400m所用的时间与A机器人行走4300m所用的时间相等．设A机器人每小时行走x（m），则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设A机器人每小时行走xm，则B机器人每小时行走（x+220）m，利用时间＝路程÷速度，结合B机器人行走5400m所用的时间与A机器人行走4300m所用的时间相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设A机器人每小时行走xm，则B机器人每小时行走（x+220）m， 根据题意得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 16．（2025秋•鼓楼区校级期末）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得7个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　） A． B． C． D． 【分析】设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇带了（100﹣x）个鸡蛋，根据关键描述语“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板”，“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得7个铜板”列出方程，此题得解． 【解答】解：设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇带了（100﹣x）个鸡蛋， 根据题意得：•x•（100﹣x）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 17．（2025秋•蓬莱区期末）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则x表示（　　） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 【分析】根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【解答】解：∵第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ∴． 对比乐乐所列方程 ， 可得 x﹣6＝a，即 x＝a+6， ∴x表示第二次分钱的人数． 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18．（2026•海州区校级模拟）一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），”列出方程即可． 【解答】解：∵无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时， ∴顺风速度＝（x+36）千米/小时，逆风速度＝（x﹣36）千米/小时， ∴可列方程为：， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，用到的知识点为：顺风速度＝无风时的速度+风速；逆风速度＝无风时的速度﹣风速． 19．（2026•瑞安市开学）“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中x表示（　　） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 【分析】根据题意和题目中的方程，可知等号左边和右边都是表示原来的总人数，从而可以得到x表示的是原来每名同学需要分摊的车费（单位：元）． 【解答】解：由题意和题目中的方程可知， x表示原来每名同学需要分摊的车费（单位：元）， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出方程中x表示的含义． 20．（2026•罗湖区校级开学）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成该工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作需要8天完成，问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率×工作时间＝工作总量，可以列出相应的方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， 8（）＝1， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 21．（2026秋•沧县校级月考）甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运x件货物，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设乙每小时搬运x件货物，则甲每小时搬运（x+20）件货物，根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，建立方程即可． 【解答】解：根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键． 【考点3】分式方程的应用（第22-31题） · 工程问题：效率×时间=总量 · 行程问题：速度×时间=路程 · 购物问题：单价×数量=总价 · 结果要符合实际意义 22．（2026•南岸区校级模拟）列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需80元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需140元． （1）求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； （2）面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【分析】（1）根据“总价＝臊子面单价×数量+黄牛面单价×数量”列二元一次方程组求解； （2）根据“数量＝总价÷单价”列出第二季度和第三季度的购买的面粉数量，再根据第二季度和第三季度购买的面粉数量之间的关系列方程求解． 【解答】解：（1）设“经典臊子面”的单价为x元，“特色黄牛面”的单价为y元， 可列二元一次方程组得，， 解得， 答：“经典臊子面”的单价为10元，“特色黄牛面”的单价为20元． （2）设第二季度平均每千克面粉的价格为m元， 则第三季度平均每千克面粉的价格为（1+20%）m＝1.2m（元）， 根据题意列分式方程得，， 整理得，12m＝120， 解得m＝10， 经检验，m＝10是原分式方程的解， ∴1.2m＝12， 答：第三季度面粉的单价为12元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 23．（2026•赤峰模拟）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【分析】（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装（30﹣m）套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元， 根据题意得：1.5， 解得：x＝148， 经检验，x＝148是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝178， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装（30﹣m）套， 根据题意得：148（30﹣m）+178m≤5000， 解得：m≤18， ∴m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24．（2025秋•科左中旗期末）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【分析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答． 【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需x天， 由题意列分式方程得：， 整理得，1.5x＝75， 解得：x＝50， 经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意． 则1.5x＝1.5×50＝75（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ∵50＜51＜75， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， ∴从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：50×1000＝50000（元）， 若乙单独完成，其费用为：75×700＝52500（元）， ∵52500元＞50000元， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上所述，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（2026•福田区校级开学）【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型F来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m2）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：km）；k为常数且k＞0． 【模型应用】 （1）已知当S＝3万m2，d＝4km时，F＝60次，则k＝　80　 ； （2）甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万m2和4.5万m2，它们到同一居民区的距离之比为2：3，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离d＞5km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）：F． 【模型分析】 （3）现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万m2的购物中心，且到居民区距离d限定在4km≤d≤7km，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次．求整数d的值． 【分析】（1）代入已知条件求解常数k； （2）根据距离比设参数，结合F的数量关系列分式方程求解； （3）分段根据F的范围列不等式，找出符合条件的整数d． 【解答】解：（1）将S＝3，d＝4，F＝60代入，得， 解得k＝80， 故答案为：80； （2）设甲购物中心到此居民区的距离为2xkm，乙购物中心到此居民区的距离为3xkm， 已知k＝80， 居民到乙的平均购物次数， 居民到甲的平均购物次数， 由题意得， 解得x＝2， 经检验x＝2是原分式方程的解， 因此2x＝4，3x＝6， 答：甲购物中心到此居民区的距离为4km，乙购物中心到此居民区的距离为6km； （3）已知4≤d≤7，要S＝35，k＝80，求F≥70， 分两种情况讨论： 当5＜d≤7时， ， 解得d2≤40， 即， 结合5＜d≤7， 得满足条件的整数d＝6，d＝7不满足条件； 当4≤d≤5时，， 解得d≤40， 结合4≤d≤5， 得整数d＝4，5都满足条件； 综上，满足条件的整数d为4，5，6． 【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，点的坐标，待定系数法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2026春•介休市期末）我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的8倍，人工修补组摊铺6公里路面的时间比养护车摊铺36公里路面的时间多6小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面　2　 公里． 【分析】设这辆新型养护车每小时摊铺路面x公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里，列分式方程求解即可． 【解答】解：设这辆新型养护车每小时摊铺路面x公里，根据题意可得： ， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是所列分式方程的解， 答：新型养护车每小时摊铺路面2公里． 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，列出分式方程是关键． 27．（2025秋•青岛校级期末）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行的速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车的速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min，则当乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有　1600　 m． 【分析】设甲同学步行的速度为xm/min，则乙同学骑自行车的速度为4xm/min，公交车的速度是8xm/min．根据“结果甲同学比乙同学晚到2.5min”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出2.5min公交车所走的路程即可所求． 【解答】解：设甲同学步行的速度为xm/min，则乙同学骑自行车的速度为4xm/min，公交车的速度是8xm/min． 根据题意列分式方程得， ， 整理得，20x＝1600， 解得x＝80． 经检验，x＝80是所列分式方程的根，且符合题意． 所以2.5×8×80＝1600（m）． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有1600m． 故答案为：1600． 【点评】本题考查分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 28．（2025秋•通州区期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（　　） A．100 B．150 C．200 D．250 【分析】设改造后每天生产的机器台数为未知数，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合改造前后生产对应数量机器的时间相同列分式方程求解，最后检验并得到答案． 【解答】解：设改造后每天生产的机器台数为x， 根据题意列分式方程得， ， 整理得，200x＝30000， 解得x＝150， 经检验，x＝150是原分式方程的根，且符合题意， ∴改造后每天生产的机器台数为150． 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 29．（2025秋•海伦市期末）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同，已知水流的速度是2km/h，则轮船在静水中航行的速度为（　　）km/h． A．18 B．20 C．22 D．25 【分析】顺水速度＝水流速度+静水速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度．根据“顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同”可列出方程． 【解答】解：设轮船在静水中的航行速度为x km/h，根据题意得： ， 解得：x＝18． 经检验：x＝18是原方程的解． 答：船在静水中的航行速度为18km/h． 故选：A． 【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法． 30．（2026春•沙坪坝区校级月考）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前了两天完成任务，设原计划每天收割xhm2，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设原计划每天收割的面积为xhm2，则实际每天收割的面积为（1+20%）xhm2，根据结果提前2天完成任务即可列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意得：2． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 31．（2026•新城区开学）某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【分析】根据题意，得x表示篮球的数量时，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；x表示篮球的单价，分别表示出篮球的数量为，建立方程即可． 【解答】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程； 设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【创新及压轴题】（第32-35题） · 新定义题先读懂规则 · 阅读理解题分段找等量 · 组合问题分情况讨论 · 分类要全面不重不漏 32．（2025秋•江北区校级期末）我校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“山城骏马手账本”和“雾都萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． （1）请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经测算，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元？ 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据两种购买方案的花费，建立二元一次方程组求解即可； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是5a元，根据购进数量的差值建立分式方程求解，注意分式方程需检验． 【解答】解：（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得， 解这个方程组，得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是5a元， ∴， 解得a＝0.2， 经检验，a＝0.2是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，以及分式方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 33．（2026春•永寿县期末）随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． （1）每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根据每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台A型机器人每天搬运货物吨数，再将其代入（x+10）中，即可求出每台B型机器人每天搬运货物吨数； （2）设购买m台A型机器人，则购买（25﹣m）台B型机器人，根据每天搬运的货物不低于2345吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨， 根据题意得：， 解得：x＝90， 经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝90+10＝100． 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）设购买m台A型机器人， 根据题意得：90m+100（25﹣m）≥2345， 解得：m≤15.5， ∴m的最大值为15． 答：最多购买A种型号的机器人15台． 【点评】本题考查分式方程的应用，正确进行计算是解题关键． 34．（2026春•寿县期末）2025数字中国创新大赛﹣中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． （1）求“朝阳号”的行驶速度； （2）如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明． 【分析】（1）根据“天元号”行全程的与“朝阳号”行全程的所用时间的相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间＝路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答． 【解答】解：（1）设“朝阳号”的平均速度为x米/秒，则“天元号”的平均速度为（x+0.8）米/秒， 由题意得：， 去分母得：30x＝24（x+0.8）， 解得：x＝3.2，经检验x＝3.2是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是3.2米/秒． （2）不能同时到达，理由如下：调整后“天元号”的行驶路程为（米），“天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， ∵9≠9.375， ∴两车不能同时到达． 【点评】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． 35．（2025秋•关岭县期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m（0＜m＜6）元，求出整数m的值． 【分析】（1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题； （2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出m＝3即可． 【解答】解：（1）由题意可知，每支中性笔为（x+1.2）元． 由题意得：， 解得：x＝1.6， 经检验，x＝1.6是原方程的解， 此时，圆珠笔的数量为12÷1.6＝7.5（支）， ∵圆珠笔的数量为整数， ∴x＝1.6不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）由题意可知，每支中性笔为（x+m）元． 由题意得：， 解得：x， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数， ∴整数m＝3， ∴x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， 答：整数m的值为3． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•綦江区期末）《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【分析】（1）设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为（x+4）元，根据购买的数量相等列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣（150﹣m）个，总费用为W元，先列不等式求出35≤m≤37.5，且m为正整数，再列出W关于m的函数解析式，根据一次函数的增减性求解即可． 【解答】解：（1）设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为（x+4）元， 由题意列分式方程可得：， 整理得，80x＝800， 解得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， 则x+4＝10+4＝14， 答：哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元； （2）设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣（150﹣m）个， 根据题意可得一元一次不等式组：， 解得，35≤m≤37.5， ∵m为正整数， ∴m可以为35，36，37． 则有3种购买方案： 方案一：购买哪吒造型钥匙扣35个，敖丙造型钥匙扣150﹣35＝115个； 方案二：购买哪吒造型钥匙扣36个，敖丙造型钥匙扣150﹣36＝114个； 方案三：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣150﹣37＝113个． 设总费用为W元，则， W＝10m+14（150﹣m） ＝10m+2100﹣14m ＝﹣4m+2100， ∵﹣4＜0， ∴W随m的增大而减小， 所以当m＝37时，W最小， 答：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键． 【练习 2】（2026•拱墅区校级二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（　　） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【分析】设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为（30﹣x）尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【解答】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为（30﹣x）尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列分式方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 【练习 3】（2026•平陆县二模）山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的50倍．若该生产线灌装30000瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装1200瓶所用的时间少1小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（　　） A．15000瓶 B．25000瓶 C．30000瓶 D．60000瓶 【分析】设人工灌装生产线每小时可以灌装老陈醋x瓶，根据题意，列出方程即可． 【解答】设人工灌装生产线每小时可以灌装老陈醋x瓶，依题意得， ， 解得：x＝600， 经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意， 该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋50x＝50×600＝30000瓶， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 4】（2026•杭锦后旗二模）鄂尔多斯市某煤电化工产业园引进A、B两种智能搬运机器人转运煤炭原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg煤炭所用时间与B型机器人搬运600kg煤炭所用时间相等．设B型机器人每小时搬运xkg煤炭，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“A型机器人搬运900kg煤炭所用时间与B型机器人搬运600kg煤炭所用时间相等．”这一等量关系，先表示出两种机器人的工作效率和工作时间，即可列出正确方程． 【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg煤炭， 根据题意列分式方程得： ， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式 💯 课后巩固 复习建议 · 解分式方程四步走：去分母→解整式方程→检验→写结论 · 最简公分母找对，去分母时不漏乘常数项 · 必须检验：代入公分母，为0即增根 · 应用题双检验：方程的根+实际意义 · 增根反求参数：把增根代入去分母后的整式方程 【作业 1】（2025秋•天元区期末）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【分析】（1）设A型学习用品单价x元，利用“用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可； （2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可． 【解答】解：（1）设A型学习用品的单价为x元，则B型学习用品的单价为（x+10）元，由题意得： ， 解得：x＝20，经检验x＝20是原分式方程的根，且符合实际， 则x+10＝30． 答：A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． （2）设购买B型学习用品y件，则购买A型学习用品（1000﹣y）件， 由题意得：20（1000﹣y）+30y≤28000， 解得：y≤800． 答：最多购买B型学习用品800件． 【点评】本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程的关键． 【作业 2】（2026春•昭通期中）公交公司为响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款公交汽车，已知每辆A型汽车单价是每辆B型汽车单价的2倍，现公司用1000万元购进A型汽车的数量比800万元购进B型汽车的数量少10辆．分别求每辆A型、B型汽车单价． 【分析】根据“用1000万元购进A型汽车的数量比800万元购进B型汽车的数量少10辆”这一数量关系列式求解． 【解答】解：设每辆B型汽车单价是x万元，则每辆A型汽车单价是2x万元． ∵公司用1000万元购进A型汽车的数量比800万元购进B型汽车的数量少10辆 ∴， 解得x＝30， 检验，x＝30≠0，2x≠0， ∴x＝30是原分式方程的解， ∴A型汽车单价2x＝2×30＝60（万元）， 答：每辆A型型汽车单价是60万元、每辆B型汽车单价是30万元． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2026•泌阳县二模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，由题意：用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由题意：资金不超过600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元， 由题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， 则x+5＝15， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆， 由题意得：15m+10×2m≤600， 解得：m， ∵m为正整数， ∴m的最大值为17， 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【作业 4】（2026•贵州模拟）2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等． （1）求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表（两种都要购进）共50块，且进货总费用不超过13800元．已知每块A款手表利润80元，每块B款手表利润100元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【分析】（1）设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价（x+40）元，根据“用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等”可列出关于x的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进A款手表m（m为正整数）块，则购进B款手表（50﹣m）块，全部售出的利润为W元，根据“进货总费用不超过13800元”列出关于m的不等式，求解后确定m的取值范围；根据“每块A款手表利润80元，每块B款手表利润100元”可确定W关于m的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价（x+40）元， 依题意，得：， 整理得，1200x＝312000， 解得x＝260， 经检验，x＝260是原方程的解且符合题意， ∴x+40＝260+40＝300（元）， ∴A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元； （2）设购进A款手表m（m为正整数）块，则购进B款手表（50﹣m）块，全部售出的利润为W元， ∵进货总费用不超过13800元， ∴根据题意列一元一次不等式得，260m+300（50﹣m）≤13800， 整理得，40m≥1200， 解得m≥30， 又∵购进B款手表（50﹣m）块， ∴50﹣m＞0， 解得：m＜50， ∴30≤m＜50（m为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：W＝80m+100（50﹣m）＝﹣20m+5000， ∵﹣20＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴当m＝30时，W取得最大值，最大值为﹣20×30+5000＝4400（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为4400元． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 【作业 5】（2026•静乐县二模）大同黄花菜是大同市特色地理标志农产品，品质优良、采摘期集中，用工需求大．为缓解大同黄花菜采摘季的劳动力短缺问题，并降低生产成本，某黄花菜种植基地引进了智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍．用一台智能采摘机器人采摘600千克黄花菜，比4个工人采摘这些黄花菜要少用1天．求一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜多少千克． 【分析】设一个工人平均每天可采摘黄花菜x千克，根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【解答】解：设一个工人平均每天可采摘黄花菜x千克， 根据题意，， 解得x＝30， 经检验，x＝30是原分式方程的解， ∴5x＝5×30＝150（千克）． 答：一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜150千克． 【点评】本题考查分式方程的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业 6】（2026•西藏）在“铸牢中华民族共同体意识”宣传活动中，举办方计划采购印有活动主题内容的冰箱贴和书签，把它们作为本次活动的纪念品．已知冰箱贴单价是书签单价的1.2倍，用360元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个． （1）求冰箱贴和书签的单价； （2）要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，且纪念品的总金额不超过1500元，举办方最多可以购买多少个冰箱贴？ 【分析】（1）设书签的单价为x元，则冰箱贴的单价为1.2x元，根据用360元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个，列出分式方程，解方程即可； （2）设举办方购买冰箱贴的数量为m个，则购买书签的数量为（90﹣m）个，根据纪念品的总金额不超过1500元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设书签的单价为x元，则冰箱贴的单价为1.2x元， 根据题意得：， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝18， 答：书签的单价为15元，冰箱贴的单价为18元； （2）设举办方购买冰箱贴的数量为m个，则购买书签的数量为（90﹣m）个， 根据题意得：15×（90﹣m）+18m≤1500， 解得：m≤50， 答：举办方最多可以购买冰箱贴50个． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． 【作业 7】（2026•朝阳区校级二模）骑行爱好者小王计划骑车前往距离120公里的邻市游玩．实际骑行时，因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1.2倍，结果提前1小时到达目的地．求小王原计划每小时骑行多少公里． 【分析】设小王原计划每小时骑行x公里，根据“提前1小时到达目的地”列出方程，求解并检验即可． 【解答】解：因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1.2倍，结果提前1小时到达目的地．则： 设小王原计划每小时骑行x公里，根据题意，得 ， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原分式方程的解． 答：小王原计划每小时骑行20公里． 【点评】本题考查分式方程的应用，正确进行是解题关键． 【作业 8】（2025秋•白塔区校级期末）每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． （1）羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ （2）该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 【分析】（1）设购进x副羽毛球拍，y副网球拍，根据羽毛球拍和网球拍共100副，一共花了7250元，列出方程组，求解即可； （2）设每个排球的采购价为m元，则每个篮球的采购价为（1+20%）m元，根据数量＝总价÷单价，篮球数量比排球多14个，列出分式方程，求解即可． 【解答】解：（1）设购进x副羽毛球拍，y副网球拍， 依题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副． （2）设每个排球的采购价为m元，则每个篮球的采购价为（1+20%）m元， 依题意列分式方程得：， 整理得，16.8m＝1260， 解得m＝75． 经检验：m＝75是原方程的解，且符合题意． 答：每个排球的采购价为75元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组、分式方程． 【作业 9】（2026•菏泽一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过BC路段时的速度是（　　） A．1.5米/秒 B．1米/秒 C．1.2米/秒 D．2米/秒 【分析】设通过AB的速度是xm/s，根据AB＝BC＝12米，小敏共用22秒通过AC路段，通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过BC路段时的速度． 【解答】解：设通过AB的速度是xm/s，根据题意可得： ， 去分母得：14.4+12＝26.4x， 解得x＝1， 经检验：x＝1是原方程的解且符合题意． ∴通过AB时的速度是1米/秒，BC路段的速度是1.2米/秒． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 【作业 10】（2026春•濮阳期末）如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间（单位：小时）．下列说法错误的是（　　） A．10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名 B．在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等 C．10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同 D．10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名 【分析】根据横轴和纵轴表示的意义对每个点进行分析即可． 【解答】解：A、10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名，故选项A正确； B、在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等，故选项B正确， C、10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间有的相同，有的不同，故选项C说法错误； D、10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名，故选项D说法正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 11】（2026•临邑县模拟）“某学校改造过程中整修门口2000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成 B．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成 C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成 D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成 【分析】由x的意义可找出（x﹣5）的意义，利用等量关系工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列方程，即可找出题目中用“…”表示的条件． 【解答】解：∵x表示实际每天整修道路的长度， ∴方程中出现的（x﹣5）表示原计划每天整修道路的长度， ∴在实际施工时，每天比原计划多修5m． ∵工作时间＝工作总量÷工作效率，结合所列方程为， ∴结果提前10天完成， ∴题目中用“…”表示的条件应是：每天比原计划多修5m，结果提前10天完成． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出原题中缺失的条件是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 分式方程 (知识梳理＋典例＋压轴＋练习) 2026−2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式方程的概念，能识别分式方程 · 掌握去分母解分式方程的一般步骤，会检验增根 · 能从实际问题中抽象出分式方程并求解 · 掌握分式方程的应用：工程、行程、购物、分配等问题 · 能处理含字母参数的分式方程与增根问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 整式方程与分式方程的区别：分母是否含未知数 分式方程的解也叫根 解分式方程的核心思路：去分母化为整式方程 概念辨析例题：下列方程中是分式方程的是（　） 解析：判断标准：分母中是否含有未知数，如=2是分式方程 ☆ 2.解分式方程的一般步骤 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 解整式方程（去括号、移项、合并同类项、系数化1） 检验：把整式方程的根代入最简公分母 最简公分母不为0的根才是原分式方程的根 概念辨析例题：解方程= 解析：两边乘x(x-2)得x=3(x-2)，x=3；检验x(x-2)=3≠0，故x=3是根 ☆ 3.增根 去分母后产生的、使最简公分母为0的根叫做增根 增根不是原分式方程的根，必须舍去 分式方程必须检验，这是与整式方程的重要区别 已知增根求参数：把增根代入去分母后的整式方程 概念辨析例题：若关于x的方程+1=0有增根，求m 解析：增根为x=1，去分母得m+(x-1)=0，代入x=1得m=0 ☆ 4.列分式方程解应用题 审题：找等量关系，设未知数 列方程：根据等量关系列出分式方程 解：按解分式方程步骤求解 双检验：检验是否为方程的根+是否符合实际意义 概念辨析例题：A型机器人比B型每小时多搬30kg，A型搬900kg与B型搬600kg时间相等，求B型速度 解析：设B型每小时x kg，列=，解得x=60 📋 知识总结表 要点 方法 注意事项 分式方程 分母含未知数 与整式方程区分 去分母 两边乘最简公分母 不要漏乘不含分母的项 解整式方程 去括号移项合并 按一元一次方程步骤 检验 代入最简公分母 分母为0即增根舍去 增根 使公分母为0 已知增根反求参数 应用题 设元列方程 双检验（根+实际意义） ⚠️ 核心考点 【考点1】解分式方程（第1-8题） · 去分母找对最简公分母 · 去括号注意符号变化 · 解完必须检验 · 增根舍去并说明 1．（2026秋•沧县校级月考）解分式方程，去分母后正确的整式方程是（　　） A．2x＝3（x﹣3） B．2x＝3x﹣3 C．2（x﹣3）＝3x D．2x＝3 2．（2025秋•阿荣旗期末）分式方程的解是（　　） A．0 B．2 C．3 D．无解 3．（2025秋•隆回县期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（　　） A．2（x﹣5）﹣1＝4（x﹣6） B．2（x﹣5）﹣1＝2 C．2（x﹣5）+1＝4（x﹣6） D．2（x﹣5）+1＝2 4．（2026•武威二模）关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 5．（2026春•郸城县月考）对于代数式m，n，定义运算“※”：，若，则2026 A﹣B＝____________________ ． 6．（2026秋•铁西区月考）方程的解为____________________ ． 7．（2026秋•沧县校级月考）解下列分式方程： （1）； （2）． 8．（2026秋•单元）解方程： （1）； （2）0； （3）1． 【考点2】实际问题抽象出的分式方程（第9-21题） · 找准等量关系设未知数 · 时间=总量÷效率/速度 · 数量=总价÷单价 · 分式方程双检验 9．（2026•兴庆区校级一模）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示_____ ，解法二所列方程中的x表示_____ ．（填序号） ①甲种商品每件进价x元 ②乙种商品每件进价x元 ③甲种商品购进x件 （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______ 元/件，乙种商品的进价为_______ 元/件． （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价﹣进价） 10．（2026春•西安期末）爱知中学为丰富同学们的大课间活动，准备为各班购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍．请列分式方程求出跳绳和实心球的单价． 11．（2026春•英德市期末）英德市是“中国红茶之乡”，某茶厂包装英红九号茶叶，A种机器每分钟比B种机器多包装10盒；A种机器包装300盒的时间与B种机器包装200盒的时间相同． 在计算A、B两种机器每分钟各包装多少盒时，嘉嘉和琪琪分别给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程； 琪琪：解：设B种机器每分钟包装y盒，则A种机器每分钟包装___________ 盒，列得方程____________________ ． 请完成下列问题： （1）根据嘉嘉所列方程，x的实际意义是____________________ ； （2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路求出两种机器每分钟各包装多少盒． 12．（2026•卫东区校级模拟）近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30；乙：． 则甲所列方程中的x表示____________ ，乙所列方程中的x表示___________________ ； （2）从甲，乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个？ 13．（2025秋•商丘期末）《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案： 项目情景 寒假前夕，某中学购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务．通过调研，学校准备购买商丘市市花月季和河南省省花腊梅来装点校园． 素材一 采购小组到市场上了解到每盆月季比每盆腊梅便宜3元，用600元购买的腊梅数量为用240元购买的月季数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①_______ 的单价为x元，由题意得方程：； 小组成员乙设购买月季的数量为y盆，由题意得方程：②____________________ ． 任务二 请选择任务一中的任一方程，求出两种花卉的单价； 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（7﹣m）盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务三 求m的值． （1）任务一中横线①处应填_______ ，横线②处应填____________________ ； （2）完成任务二的任务； （3）列出关于m的方程，并完成任务三，求出m的值． 14．（2026春•亭湖区校级期中）阅读下列素材，完成任务． 问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在WSBK葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年•致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设． 素材一 已知一个B款机车模型比一个A款机车模型价格贵10元． 素材二 学校用2500元购进A款机车模型的数量是用1500元购进B款机车模型数量的2倍． 任务1 甲同学：设①_____的单价为x元，由题意得方程：； 乙同学：设购买B款机车模型y辆，由题意得方程：②______． 任务2 求A、B两款机车模型的单价． （1）任务1中横线①处应填___________ ，横线②处应填____________________ ； （2）请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价． 15．（2026•瑞安市开学）宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多220m，B机器人行走5400m所用的时间与A机器人行走4300m所用的时间相等．设A机器人每小时行走x（m），则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025秋•鼓楼区校级期末）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得7个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•蓬莱区期末）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则x表示（　　） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 18．（2026•海州区校级模拟）一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 19．（2026•瑞安市开学）“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中x表示（　　） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 20．（2026•罗湖区校级开学）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成该工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作需要8天完成，问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 21．（2026秋•沧县校级月考）甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运x件货物，列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点3】分式方程的应用（第22-31题） · 工程问题：效率×时间=总量 · 行程问题：速度×时间=路程 · 购物问题：单价×数量=总价 · 结果要符合实际意义 22．（2026•南岸区校级模拟）列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需80元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需140元． （1）求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； （2）面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 23．（2026•赤峰模拟）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 24．（2025秋•科左中旗期末）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 25．（2026•福田区校级开学）【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型F来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m2）；d表示购物中心到居民区的距离（单位：km）；k为常数且k＞0． 【模型应用】 （1）已知当S＝3万m2，d＝4km时，F＝60次，则k＝_______ ； （2）甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万m2和4.5万m2，它们到同一居民区的距离之比为2：3，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离； 【模型修正】 实际调研发现，当距离d＞5km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）：F． 【模型分析】 （3）现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万m2的购物中心，且到居民区距离d限定在4km≤d≤7km，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次．求整数d的值． 26．（2026春•介休市期末）我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的8倍，人工修补组摊铺6公里路面的时间比养护车摊铺36公里路面的时间多6小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_____ 公里． 27．（2025秋•青岛校级期末）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行的速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车的速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min，则当乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_________ m． 28．（2025秋•通州区期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（　　） A．100 B．150 C．200 D．250 29．（2025秋•海伦市期末）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同，已知水流的速度是2km/h，则轮船在静水中航行的速度为（　　）km/h． A．18 B．20 C．22 D．25 30．（2026春•沙坪坝区校级月考）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前了两天完成任务，设原计划每天收割xhm2，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 31．（2026•新城区开学）某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【创新及压轴题】（第32-35题） · 新定义题先读懂规则 · 阅读理解题分段找等量 · 组合问题分情况讨论 · 分类要全面不重不漏 32．（2025秋•江北区校级期末）我校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“山城骏马手账本”和“雾都萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． （1）请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经测算，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元？ 33．（2026春•永寿县期末）随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． （1）每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 34．（2026春•寿县期末）2025数字中国创新大赛﹣中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． （1）求“朝阳号”的行驶速度； （2）如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明． 35．（2025秋•关岭县期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m（0＜m＜6）元，求出整数m的值． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•綦江区期末）《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【练习 2】（2026•拱墅区校级二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（　　） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【练习 3】（2026•平陆县二模）山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的50倍．若该生产线灌装30000瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装1200瓶所用的时间少1小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（　　） A．15000瓶 B．25000瓶 C．30000瓶 D．60000瓶 【练习 4】（2026•杭锦后旗二模）鄂尔多斯市某煤电化工产业园引进A、B两种智能搬运机器人转运煤炭原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg煤炭所用时间与B型机器人搬运600kg煤炭所用时间相等．设B型机器人每小时搬运xkg煤炭，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•天元区期末）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【作业 2】（2026春•昭通期中）公交公司为响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款公交汽车，已知每辆A型汽车单价是每辆B型汽车单价的2倍，现公司用1000万元购进A型汽车的数量比800万元购进B型汽车的数量少10辆．分别求每辆A型、B型汽车单价． 【作业 3】（2026•泌阳县二模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【作业 4】（2026•贵州模拟）2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等． （1）求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表（两种都要购进）共50块，且进货总费用不超过13800元．已知每块A款手表利润80元，每块B款手表利润100元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【作业 5】（2026•静乐县二模）大同黄花菜是大同市特色地理标志农产品，品质优良、采摘期集中，用工需求大．为缓解大同黄花菜采摘季的劳动力短缺问题，并降低生产成本，某黄花菜种植基地引进了智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍．用一台智能采摘机器人采摘600千克黄花菜，比4个工人采摘这些黄花菜要少用1天．求一台智能采摘机器人平均每天可采摘黄花菜多少千克． 【作业 6】（2026•西藏）在“铸牢中华民族共同体意识”宣传活动中，举办方计划采购印有活动主题内容的冰箱贴和书签，把它们作为本次活动的纪念品．已知冰箱贴单价是书签单价的1.2倍，用360元购买冰箱贴的数量比用同样金额购买书签的数量少4个． （1）求冰箱贴和书签的单价； （2）要使90名活动参与者均能随机获得其中一种纪念品，且纪念品的总金额不超过1500元，举办方最多可以购买多少个冰箱贴？ 【作业 7】（2026•朝阳区校级二模）骑行爱好者小王计划骑车前往距离120公里的邻市游玩．实际骑行时，因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1.2倍，结果提前1小时到达目的地．求小王原计划每小时骑行多少公里． 【作业 8】（2025秋•白塔区校级期末）每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． （1）羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ （2）该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 【作业 9】（2026•菏泽一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过BC路段时的速度是（　　） A．1.5米/秒 B．1米/秒 C．1.2米/秒 D．2米/秒 【作业 10】（2026春•濮阳期末）如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间（单位：小时）．下列说法错误的是（　　） A．10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名 B．在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等 C．10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同 D．10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名 【作业 11】（2026•临邑县模拟）“某学校改造过程中整修门口2000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成 B．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成 C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成 D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成 复习建议 · 解分式方程四步走：去分母→解整式方程→检验→写结论 · 最简公分母找对，去分母时不漏乘常数项 · 必须检验：代入公分母，为0即增根 · 应用题双检验：方程的根+实际意义 · 增根反求参数：把增根代入去分母后的整式方程 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $