3.2.4 黄金分割（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 黄金分割 专项练习 ## 知识点梳理 ### 1. 黄金分割定义 点$C$把线段$AB$分成两条线段$AC(AC(C(AC、BC)D)BC)BC$（$(AC>BC)$）((AC>CB)，(AD<DB))如果 $$\boldsymbol{\frac{AC}{AB}(=)\frac{BC}{AC}}$$ 那么称线段$AB$被点$C$**黄金分割**((AC>CB)，(AD<DB))点$C$叫做线段$AB$的**黄金分割点**。 ### 2. 黄金比 黄金比：$\boldsymbol{\dfrac{AC}{AB}(=)\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx(0.618)}$ - 一条线段有**两个**黄金分割点（左右各一个） - 较长线段 (=) 原线段 $\times \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ - 较短线段 (=) 原线段 $\times \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ ### 3. 黄金矩形 宽与长的比等于黄金比$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形。 > > 易错提醒 1. 黄金比是**较长线段∶整条线段**((AC>CB)，(AD<DB))不是较长∶较短； 2. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx(0.618)$((AC>CB)，(AD<DB))不要记成(1.618)（(1.618)是它的倒数）； 3. 一条线段两个黄金分割点((AC>CB)，(AD<DB))两点之间距离要会计算。 ## 一(AC(C(AC、BC)D)BC)选择题（每题4分((AC>CB)，(AD<DB))共20分） 1. 已知线段$AB$的黄金分割点为$C$（$(AC>BC)$）((AC>CB)，(AD<DB))则$\dfrac{AC}{AB}(=)$（） A.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ C.$\dfrac12$ D.$\sqrt{5}$ 2. 线段$(AB(=)10)$((AC>CB)，(AD<DB))$C$是$AB$的黄金分割点((AC>CB)，(AD<DB))$(AC>BC)$((AC>CB)，(AD<DB))则$AC$长为（） A.$5\sqrt{5}-5$ B.$10\sqrt{5}-10$ C.$5-\sqrt{5}$ D.$\sqrt{5}-1$ 3. 黄金矩形的宽与长的比值大约是（） A.$(0.5)$ B.$(0.618)$ C.$(1.618)$ D.$(0.382)$ 4. 一条线段的黄金分割点个数是（） A.$1$个 B.$2$个 C.$3$个 D.无数个 5. 若线段$(AB(=)8)$((AC>CB)，(AD<DB))$C$是$AB$黄金分割点((AC>CB)，(AD<DB))$(AC>BC)$((AC>CB)，(AD<DB))则$BC$等于（） A.$4\sqrt{5}-4$ B.$12-4\sqrt{5}$ C.$4\sqrt{5}$ D.$4\sqrt{5}+4$ ## 二(AC(C(AC、BC)D)BC)填空题（每题4分((AC>CB)，(AD<DB))共20分） 1. 黄金比的准确值是________((AC>CB)，(AD<DB))近似值是________。 2. 线段长$20$((AC>CB)，(AD<DB))$C$为黄金分割点（$(AC>BC)$）((AC>CB)，(AD<DB))较长线段$(AC(=))$________。 3. 若点$C$黄金分割$AB$((AC>CB)，(AD<DB))$(AC>BC)$((AC>CB)，(AD<DB))则$AC^2(=)$________。 4. 黄金矩形的宽$(:)$长$(=)$________。 5. 线段$AB(=)6$((AC>CB)，(AD<DB))$C$是黄金分割点((AC>CB)，(AD<DB))$(AC>BC)$((AC>CB)，(AD<DB))则$\dfrac{BC}{AC}(=)$________。 ## 三(AC(C(AC、BC)D)BC)解答题（共60分） 1.（18分）已知线段$(AB(=)10)\mathrm{cm}$((AC>CB)，(AD<DB))点$C$是$AB$的黄金分割点((AC>CB)，(AD<DB))且$(AC>BC)$。 求：(1)$AC$的长；(2)$BC$的长。 2.（20分）证明题： 已知线段$AB$((AC>CB)，(AD<DB))点$C$在$AB$上((AC>CB)，(AD<DB))满足$AC^2(=)AB\cdot BC$((AC>CB)，(AD<DB))求证：$C$是线段$AB$的黄金分割点。 3.（22分）已知线段$AB(=)20$((AC>CB)，(AD<DB))线段$AB$上有两个黄金分割点$C(AC(C(AC、BC)D)BC)D$((AC>CB)，(AD<DB))$(AC>CB)((AC>CB)，(AD<DB))(AD<DB)$。求$CD$的长度。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.A 解析：黄金比定义$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。 2.A 解析：$(AC(=))10\times\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}(=)5\sqrt{5}-5$。 3.B 解析：黄金比近似(0.618)。 4.B 解析：一条线段左右各一个黄金分割点((AC>CB)，(AD<DB))共2个。 5.B 解析：$(AC(=))4\sqrt{5}-4$((AC>CB)，(AD<DB))$BC(=)8-(4\sqrt{5}-4)(=)12-4\sqrt{5}$。 ### 填空题 1.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$；$(0.618)$ 2.$10\sqrt{5}-10$ 3.$AB\cdot BC$ 4.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 5.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ ### 解答题 1.解： $(AB(=)10)$((AC>CB)，(AD<DB))$(AC>BC)$ (1)$(AC(=))\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot AB(=)\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\times10(=)\boldsymbol{5\sqrt{5}-5}\ (\mathrm{cm})$ (2)$BC(=)AB-(AC(=))10-(5\sqrt{5}-5)(=)\boldsymbol{15-5\sqrt{5}}\ (\mathrm{cm})$ 2.证明： $\because AC^2(=)AB\cdot BC$ 变形得：$\dfrac{AC}{AB}(=)\dfrac{BC}{AC}$ 根据黄金分割定义((AC>CB)，(AD<DB))点$C$把线段$AB$分成$AC(AC(C(AC、BC)D)BC)BC$((AC>CB)，(AD<DB))满足$\dfrac{AC}{AB}(=)\dfrac{BC}{AC}$((AC>CB)，(AD<DB)) $\therefore C$是线段$AB$的黄金分割点。 3.解： $AB(=)20$((AC>CB)，(AD<DB))$C$靠近$B$((AC>CB)，(AD<DB))$(AC>CB)$；$D$靠近$A$((AC>CB)，(AD<DB))$(AD<DB)$ $(AC(=))20\times\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}(=)10\sqrt{5}-10$ $DB(=)10\sqrt{5}-10$ $CD(=)AC+DB-AB$ $(=)(10\sqrt{5}-10)+(10\sqrt{5}-10)-20$ $(=)20\sqrt{5}-40$ 答：$CD(=)\boldsymbol{20\sqrt{5}-40}$。 ## 易错点总结 1. 黄金比$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx(0.618)$((AC>CB)，(AD<DB))**是较长线段/整条线段**((AC>CB)，(AD<DB))不要记反； 2. 公式：较长$(=)AB\times\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$；较短$(=)AB-$较长； 3. 一条线段两个黄金分割点((AC>CB)，(AD<DB))求两点距离用$CD(=)2\times$较长$-AB$； 4. 看到$AC^2(=)AB\cdot BC$((AC>CB)，(AD<DB))直接对应黄金分割的乘积式。 接下来继续**3.3 相似三角形的性质**专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 3.2.4黄金分割 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 图形的相似 素养目标 1.理解黄金分割的概念，能确定一条线段的两个黄金分割点；(重点) 2.能根据黄金分割的概念计算出黄金比，能利用黄金比进行线段的计算;(难点) 3.能利用黄金分割的知识解决一些简单的实际问题，并在解题过程中提高数学的应用意识与计算能力. 素养目标 相似三角形的判定定理1： 的两个三角形相似. 两角分别相等 相似三角形的判定定理2： 两边 且 相等的两个三角形相似. 成比例 夹角 相似三角形的判定定理3： 的两个三角形相似. 三边对应成比例 情境导入 02 新知导入 复习导入 帕提侬神庙正面图、蒙娜丽莎画像构图、鹦鹉螺壳剖面、向日葵种子排列……这些来自建筑、艺术、自然的设计，看起来舒适、和谐，背后是否隐藏着共同的数学秘密呢？ 03 新知探究 古希腊数学家发现，这种令人愉悦的美感与一个特定的比例有关，它就是——黄金分割. 今天就来揭开这个“最美比例”的数学面纱. 03 新知探究 一个五角星如图所示. 问题1：在图中找出相等的角、相等的线段. (1)图中相等的角有∠A＝∠E＝∠G＝∠B＝∠K＝∠LDC＝∠LCD＝36°； ∠KLC＝ ∠ALD ＝ ∠ADL＝ ∠EDF ＝ ∠EFD ＝ ∠GFH ＝∠GHF＝∠BHC＝∠BCH＝∠KCL＝∠GDC＝∠GCD＝72°； 03 新知讲解 ∠ALK＝∠DLB＝∠ADE＝∠KDG＝∠EFG＝ ∠DFH＝∠GHB＝∠FHC＝∠BCK＝∠HCL＝∠KCD＝∠ADC＝108°. (2)相等的线段有AD＝AL＝ED＝EF＝GF＝GH＝BH＝BC＝KC＝KL＝CD； AC＝BL＝KD＝EL＝KH＝GC＝AF＝GD＝EH＝BF； CL＝LD＝DF＝FH＝HC. 03 新知讲解 问题2：图中是否存在相似三角形？在图中找出相似比不同的两对相似三角形. 存在相似三角形，如△ADC∽△AFB，△GHF∽△GCD. 问题3：小亮认为， .同意他的看 法吗？说说理由. 可以通过测量初步验证该比例关系成立，也可由△ADC∽△AFB，可知 .又因为AD＝BC，AF＝AC，所以 . 03 新知讲解 总结： 点C在线段AB上，存在一个特殊的比例关系. 知识点1 黄金分割的概念 1.已知点把线段分成两条线段和，且 ，下列说法错 误的是( ) C A.若，则线段被点 黄金分割 B.若，则线段被点 黄金分割 C.若线段被点黄金分割，则与 的比叫作黄金比 D.一条线段有两个黄金分割点 返回 举一反三 10 2.已知点是线段的黄金分割点 ，则下列结论中正确的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 11 知识点2 黄金分割的应用 （第3题） 3.如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》。画中的 脸部被包在矩形内，点是 的黄金分割点， ，若，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 12 03 新知讲解 提炼概念 任务二：抽象定义，推导黄金比 1.形成定义. 通过以上操作归纳黄金分割、黄金分割点、黄金比的定义. 将五角星中的线段关系一般化，如下图. 文字语言：一般地，如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比. 新课探究 例1 计算黄金比. 解：由 得，AC2＝AB·BC. 设AB＝1，AC＝x，则BC＝1－x. ∴x2＝1×(1－x)，即x2＋x－1＝0. 解这个方程，得x1＝ ，x2＝ (不合题意，舍去). 所以，黄金比 ≈0.618. 03 新知讲解 任务三：黄金分割的拓展和文化探源 生活中不只是线段存在黄金分割，实际上，黄金分割的范围特别广，请看下面的实例. 图1是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图2中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD， 03 新知讲解 那么可以惊奇地发现， .点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ ∵四边形AEFD为正方形，∴AE＝AD. ∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD.∴AE＝BC. ∵ ， ∴ . ∴点E是AB的黄金分割点. ∴ ∴ . ∴矩形ABCD的宽与长的比是黄金比. 03 新知讲解 四边形BCFE是黄金矩形吗？请证明你的结论. 四边形BCFE是黄金矩形.证明如下： ∵四边形ADFE是正方形， ∴AD＝EF＝AE. ∵点E 是AB 的黄金分割点， ∴ . ∴ . ∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金比. ∴四边形BCFE是黄金矩形. 1.已知点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且AC>BC，下列说法错 误的是( ) A.若，则线段AB被点C黄金分割 B.若AC2=AB·BC，则线段AB被点C黄金分割 C.若线段AB被点C黄金分割，则BC与AB的比叫作黄金比 D.一条线段有两个黄金分割点 C 2.若点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列说法中正确的是(     ) A．AB＝　 B．AC＝AB C．AB∶AC＝AC∶BC D．AC≈0.618BC C 当堂检测 3.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论中错误的是(      )     A.∠C＝2∠A              B.BD平分∠ABC C.S△BCD＝S△BOD                 D.点D为线段AC的黄金分割点 C 4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( ) A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm A 当堂检测 （第4题） 4. [西安校级期中] 秦兵马俑被誉为“世界 第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴 的距离的比值约为 ，若如图所示的兵马俑头顶到下巴 的距离约为 ，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 _ ____ 。 返回 举一反三 20 5. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割 点处最自然得体，若舞台的长为，那么舞台 的长为 __________________________。 或 返回 举一反三 21 6. 如图，乐器上的一根弦，两个端点, 固 定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，则, 之间的距离为_________________。 返回 举一反三 22 7. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金 分割构图法，其原理是：如图，在正方形 的 边上取中点，以为圆心，线段 的长为半 径作圆，其与边的延长线交于点 ，这样就把 （1）若，则 _________。 正方形延伸为黄金矩形 。（宽与长的 比等于 的矩形叫作黄金矩形） 举一反三 23 （2）矩形 是黄金矩形吗？ 解：四边形 是正方形， 。 由题意得,,即是线段 的黄金分割点。 。 。 矩形 是黄金矩形。 返回 举一反三 24 探索三角形相似的条件-第4课时 黄金分割 一般地，如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段 AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。 黄金比 黄金比=. 黄金分割的应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $